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（十）

剩餘の分類

{a_{k}}^{'}, a_{k^{'} + 1}, \dots {a_{c}}^{'}, \dots a_{k^{'} - 1}

は同一の $c$ 數ならざるを得ず，隨て ${a_{1}}^{'}$ が旣に [1] の中に存在せりといふ矛盾の結果に陷るべきなり．

是故に $b$ より小にして $b$ と素なる數 $c$ 個よりも多からば，斯の如き數は少くとも $2 c$ 個なかるべからざるを知る．卽ち若し $φ (b) > c$ ならば必ず $φ (b) ≧ 2 c$ なり．

若し $φ (b) = 2 c$ ならばよし，さらずば [1]，[2] の外尙 $b$ より小にして $b$ と素なる整數必ずこれあり，其一つを ${a_{1}}^{″}$ と名づけ， ${a_{1}}^{″}$ より發足して前の如く新に

[3]

{a_{1}}^{″}, {a_{2}}^{″}, {a_{3}}^{″}, \dots {a_{c}}^{″}

なる [1] にも [2] にも含まれざる $c$ 個の數を得． $φ (b)$ 若し $2 c$ より大ならば，少くとも $3 c$ を下らざるを知る．

次第に斯の如くなし行きて竟に $b$ より小にして $b$ と素なる $φ (b)$ の整數を [1]，[2]，[3] $\dots$ の如き $c$ 個づゝの幾組かに分つことを得．今 [1]，[2]，[3] $\dots$ [f] に至り