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（十）

剩餘の分類

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$a_{k}',a_{k+1}',\ldots a_{c}',\ldots a_{k-1}'$

は同一の $c$ 數ならざるを得ず，隨て $a_{1}'$ が旣に [1] の中に存在せりといふ矛盾の結果に陷るべきなり．

是故に $b$ より小にして $b$ と素なる數 $c$ 個よりも多からば，斯の如き數は少くとも $2c$ 個なかるべからざるを知る．卽ち若し $\varphi (b)>c$ ならば必ず $\varphi (b)\geqq 2c$ なり．

若し $\varphi (b)=2c$ ならばよし，さらずば [1]，[2] の外尙 $b$ より小にして $b$ と素なる整數必ずこれあり，其一つを $a_{1}''$ と名づけ，$a_{1}''$ より發足して前の如く新に

[3]

$a_{1}'',a_{2}'',a_{3}'',\ldots a_{c}''$

なる [1] にも [2] にも含まれざる $c$ 個の數を得．$\varphi (b)$ 若し $2c$ より大ならば，少くとも $3c$ を下らざるを知る．

次第に斯の如くなし行きて竟に $b$ より小にして $b$ と素なる $\varphi (b)$ の整數を [1]，[2]，[3] $\ldots$ の如き $c$ 個づゝの幾組かに分つことを得．今 [1]，[2]，[3] $\ldots$ [f] に至り