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（十）

循環小數と分數

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てたりとせば，此時逐次現出すべき剩餘は $a_{2},a_{3}\ldots a_{c},a_{1}$ にして商は $c_{2},c_{3}\ldots c_{c},c_{1}$ なるべきこと明白なり．又若し ${\frac {a_{2}}{b}}$ より發足せば，剩餘及商はそれぞれ $a_{3}\ldots a_{c},a_{1},a_{2}$ 及び $c_{3}\ldots c_{c},c_{1},c_{2}$ にして，一般に $a_{1},a_{2}\ldots a_{c}$ の中の一つを $a_{h}$ とせば ${\frac {a_{h}}{b}}$ より發足するとき逐次現出すべき剩餘は $a_{h},a_{h+1},\ldots a_{c},a_{1}\ldots a_{h-1}$ にして，同一の $c$ 數が同一の順序に，唯，其の起點を異にして，循環するを看るべし．

例へば $t$ を $10$，$b$ を $7$，$a_{1}$ を $1$ となすときは $10^{6}-1=7\times 142857$，$c=6$ にして $7$ を分母とせる分數の展開に於ける剩餘及係數の週期は次の如し．

• 
  剩餘の週期
  $1\cdot 10=1\cdot 7+3$
  $3\cdot 10=4\cdot 7+2$
  $2\cdot 10=2\cdot 7+6$
  $6\cdot 10=8\cdot 7+4$
  $4\cdot 10=5\cdot 7+5$
  $5\cdot 10=7\cdot 7+1$
  
• 
  係數の週期
  ${\frac {1}{7}}=0.142857\cdots$
  ${\frac {3}{7}}=0.428571\cdots$
  ${\frac {2}{7}}=0.285714\cdots$
  ${\frac {6}{7}}=0.857142\cdots$
  ${\frac {4}{7}}=0.571428\cdots$
  ${\frac {5}{7}}=0.714285\cdots$
  

若し $c=\varphi (b)$ なるときは

[1]

$a_{1},a_{2},a_{3},\ldots a_{c}$