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（八）

循環小數の起源

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$\alpha _{n+1}={\frac {a_{n+1}}{b\cdot t^{n}}}$

さて $b$ は $a_{1}$ 及 $t$ と相素なるが故に，(1) の第一の等式によりて $a_{2}$ は $b$ と相素なるを知るべし．何とならば $b$ と $a_{2}$ との公約數は $a_{1}t$ の約數卽ち $a_{1}t$ と $b$ との公約數ならざるを得ざるが故に $b$ と $a_{2}$ との公約數は $1$ を外にしてあり得べからざればなり．$a_{2}$ と $b$ と相素なるが故に同一の理由によりて $a_{3}$ と $b$ とも亦相素ならざるを得ず．次第に斯の如くして $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ 等逐次現れ來る剩餘は盡く $b$ と相素なるを知るべし．

$a_{1},a_{2},a_{3}\ldots$ は皆 $b$ より小なる正の整數にして，$b$ より小なる正の整數に限りあるが故に $a_{1},a_{2},a_{3}\ldots$ 等を何處までも求め行かば，其中に同一の數の反復して出て來ること已むを得ざる所なり．今

$a_{h}=a_{h+c}$

なりとせば

(2)

$\alpha _{1}={\frac {c_{1}}{t}}+{\frac {c_{2}}{t^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{h-1}}{t^{h-1}}}+{\frac {a_{h}}{bt^{h-1}}}$