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（八）

循環小數の起源

α_{n + 1} = \frac{a_{n + 1}}{b \cdot t^{n}}

さて $b$ は $a_{1}$ 及 $t$ と相素なるが故に，(1) の第一の等式によりて $a_{2}$ は $b$ と相素なるを知るべし．何とならば $b$ と $a_{2}$ との公約數は $a_{1} t$ の約數卽ち $a_{1} t$ と $b$ との公約數ならざるを得ざるが故に $b$ と $a_{2}$ との公約數は $1$ を外にしてあり得べからざればなり． $a_{2}$ と $b$ と相素なるが故に同一の理由によりて $a_{3}$ と $b$ とも亦相素ならざるを得ず．次第に斯の如くして $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ 等逐次現れ來る剩餘は盡く $b$ と相素なるを知るべし．

$a_{1}, a_{2}, a_{3} \dots$ は皆 $b$ より小なる正の整數にして， $b$ より小なる正の整數に限りあるが故に $a_{1}, a_{2}, a_{3} \dots$ 等を何處までも求め行かば，其中に同一の數の反復して出て來ること已むを得ざる所なり．今

a_{h} = a_{h + c}

なりとせば

(2)

α_{1} = \frac{c_{1}}{t} + \frac{c_{2}}{t^{2}} + \dots + \frac{c_{h - 1}}{t^{h - 1}} + \frac{a_{h}}{b t^{h - 1}}