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六

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分數に關する整數論的の硏究

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なる旣約分數の分母 $b$ は $t$ と相素なりとなすべし．

さて先 $\alpha$ を超えざる最大の整數を $\alpha$ より引き去りて

$\alpha =g+\alpha _{1}\qquad \alpha _{1}={\frac {a_{1}}{b}}$

$0<\alpha _{1}<1,\qquad a_{1}<b$

となし $\alpha _{1}$ の展開の係數 $c_{1},c_{2}\ldots$ を求めんが爲に $a_{1}t$ を $b$ にて除し，商 $c_{1}$ 及剩餘 $a_{2}$ を得．次に $a_{2}t$ を $b$ にて除し商 $c_{2}$ 及剩餘 $a_{3}$ を得．順次斯の如くなし行きて

(1)

${\begin{aligned}a_{1}t&=c_{1}b+a_{2}\\a_{2}t&=c_{2}b+a_{3}\\\ldots \\a_{n}t&=c_{n}b+a_{n+1}\end{aligned}}$

を得，$\alpha _{1}$ の展開式を定むること次の如し．

(1*)

$\alpha _{1}={\frac {c_{1}}{t}}+{\frac {c_{2}}{t^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{t^{n}}}+\alpha _{n+1}$