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六

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分數に關する整數論的の硏究

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${\frac {4}{15}}={\frac {2}{3}}+{\frac {3}{5}}-1,\qquad {\frac {13}{15}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}},$

${\frac {7}{15}}={\frac {2}{3}}+{\frac {4}{5}}-1,\qquad {\frac {14}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {3}{5}},$

にして右邊には ${\frac {1}{3}},\ {\frac {2}{3}}$ なる $\varphi (3)=2$ 個の分數と ${\frac {1}{5}},\ {\frac {2}{5}},\ {\frac {3}{5}},\ {\frac {4}{5}}$ なる $\varphi (5)=4$ 個の分數との一つ一つのあらゆる組み合はせが唯一度づゝ立てるを見るべし．

一般に $\varphi (n)$ の算式を求むるは (5) によりて素數羃 $p^{\pi }$ につきて $\varphi (p^{\pi })$ を求むるに歸着す．さて $1$ より $p^{\pi }$ に至る $p^{\pi }$ 個の整數の中 $p^{\pi }$ と相素ならざるは $p$ の倍數なる $p,2p,\ldots p^{\pi -1}\cdot p$ の $p^{\pi -1}$ 個に止まれり，故に

$\varphi (p^{\pi })=p^{\pi }-p^{\pi -1}=p^{\pi -1}(p-1)=p^{\pi }\left(1-{\frac {1}{p}}\right)$

隨て (5) によりて

$\varphi (n)=p^{\pi -1}(p-1)q^{\chi -1}(q-1)\cdots$

又は

$\varphi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1-{\frac {1}{q}}\right)\cdots$