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（四）

部分的分數

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なるヂオフアント方程式は $x=a',\ y=k$ なる解答を有し，且 $h$ と $a$ とは相素なるが故に此方程式の解答の中 $a>x>0$ なる條件に適合すべきもの唯一個（$x=a'$）を外にして存在することを得ず．卽ち $a'$ は一定の數なり．$b',c'\ldots$ につきても亦同じく，隨て $\pm g$ も亦一定の整數なり．

$n$ を素數冪に分解して

$n=p^{\pi }q^{\chi }r^{\rho }\cdots$

を得たりとせば，上の結果により

(4)

${\frac {m}{n}}={\frac {P}{p^{\pi }}}+{\frac {Q}{q^{\chi }}}+{\frac {R}{r^{\rho }}}+\cdots \pm g$

を得，$P,Q,R\ldots$ はそれぞれ $p^{\pi },q^{\chi },r^{\rho }\ldots$ より小なる正の整數なり．これら $P,Q,R\ldots$ 等を $p,q,r\ldots$ の冪に從て展開し

$P=\pi _{1}p^{\alpha -1}+\pi _{2}p^{\alpha -2}+\cdots +\pi _{\alpha -1}p+\pi _{\alpha },\qquad p>\pi \geqq 0,$

$Q=\chi _{1}q^{\beta -1}+\chi _{2}q^{\beta -2}+\cdots +\chi _{\beta -1}q+\chi _{\beta },\qquad q>\chi \geqq 0,$

$\cdots$