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六

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分數に關する整數論的の硏究

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とも $a^{n}$ なる冪は此定義に從て完全なる意義を有し，羃につきて第二章（六）に說きたる諸定理は，基數が分數（正又は負の）なる場合にも，其まゝ適用せられ得べし．要するに羃の凡ての性質は次の二等式より推定し得べきものなり．

(1)

$a^{1}=a$

(2)

$a^{n+1}=a^{n}\cdot a$

吾人は今指數は自然數なるべしとの制限を撤去し，此二等式を以て冪の定義として，以て冪の觀念を指數 $n$ が $0$ 又は負の整數なる場合に擴充せんとす．基數 $a$ が $0$ なる場合は姑らく之を度外に措かんに，(2) に於て $n$ に代ふるに $0$ を以てするときは $a^{1}=a^{0}\cdot a$ を得，更に (1) を用ゐて $a=a^{0}\cdot a$ さて $a$ は $0$ にあらずとせるにより

(3)

$a^{0}=1$

指數が $0$ なる場合に於ける冪の意義は之によりて定まる．次に (2) に於て $n$ に代ふるに $-1$ を以てせば $a^{0}=a^{-1}\cdot a$ 卽ち (3) によりて $1=a^{-1}\cdot a$ よりて