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（四）

整數論の定理

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る正數なる者（$x=-k'$，$y=h'$）各唯一對に限り存在す．

例へば $a=16$，$b=6$ とせば $g=2$，$h=8$，$k=3$ にして

$16x+6y=2$

の解答の中上文特筆せる二對は $x=2$，$y=-5$ 及 $x=-1$，$y=3$ なり．

吾輩が幾何學的に證明したる事實を直接に論證せんことも亦容易なり．今

$b,2b,\ldots (h-1)b$

を $a$ にて除して得べき剩餘（最小正剩餘，以下同じ）を考へんに此等の剩餘は $nb-qa=r$の如き數なるが故に何れも $a$，$b$ の公約數なる $g$ の倍數なること明白なり．而も此等の剩餘の中相等しき者決してあることなし．何とならば今假に $n$，$n'$ は $1,2,\ldots h-1$ の中より採りたる二個の相異なる數にして，而も $nb-qa=r$，$n'b-q'a=r$ なりとせば，例へば $n>n'$ となすとき，$(n-n')b=(q-q')a$ を得，$b$ に $h$ よりも小なる數 $n-n'$ を乘じて得たる積が旣に $a$ の倍數なりとの許すべからざる結論を生ずべければなり．吾輩の作れる $b-1$ 個