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『解析概論』増訂第二版64節冒頭 |
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==== 白駒による注 ==== |
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『解析概論』増訂第二版を元に、片仮名を平仮名に、旧字体を新字体に変換したサンプルです。第三版と見比べると、異なる点が多々あることが分かります(第三パラグラフで §53 とあるのはミスか。第三版では修正済み)。どうせ旧字体を完全に再現するのは無理ですから、初めからこのサンプルのように投稿してはどうか、というのが私の考えです。増訂第二版を元に機械的に字体を変えるだけならば、第三版の著作権を侵害することにはならないでしょう。 |
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『解析概論』増訂第二版をなるべく忠実に再現したサンプルです。出力できない旧字体はやむを得ず新字体にしています。例えば「弱」「節(節とは異なる字体)」「述」「化」「既(既とは異なる字体)」。旧字体と新字体の対応を調べたり、旧字体が Unicode に含まれているかどうか調べるには、[http://brickhouse.jp/qji/ こちらのサイト]が便利です。 |
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==== 64.指 |
==== 64.指数函数,三角函数 ==== |
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§54 |
§54 で実数に関する展開 |
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{{解析概論/equation|<math>e^z =\sum \frac{z^n}{n!}</math>}} |
{{解析概論/equation|<math>e^z =\sum \frac{z^n}{n!}</math>}} |
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に於て <math>z</math> を複素数にして,<math>e^z</math> の定義を拡張したが,このやうな拡張は全く規約的 (conventional) で,拘束力薄弱である.然るに前節に述べた解析的延長の原則によれば,<math>e^z</math> を拡張して解析函数を得るには,上記が唯一無二の方法であることが確定したのである(261頁注意).<math>\sin z</math>, <math>\cos z</math> 等に関しても同様である. |
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本節 |
本節では,このやうな立場から指数函数,三角函数を再考する.(所謂代数解析の現代化!) |
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この拡張の実質上の意味を示すために次の考察を附け加へる.§53 で,拡張されたる <math>e^z=\exp(z)</math> に関しても加法定理 <math>\exp(z_1+z_2)=\exp(z_1)\cdot\exp(z_2)</math> が成立つことを計算によつて証明したが,解析的延長の原則によれば,それは当然で,計算を用ゐずして明白である.今先づ <math>z_2</math> を一つの実数とする.然らば左辺の <math>\exp(z_1+z_2)</math> も又右辺の <math>\exp(z_1)\cdot\exp(z_2)</math> も <math>z_1</math> に関しては正則で,それらが実数軸上の <math>z_1</math> に関しては一致することが既知だから,任意の <math>z_1</math> に関しても一致する.さて今度は <math>z_1</math> を任意の複素数として,上記の両辺を <math>z_2</math> の函数と見て,同様に解析的延長の方法を適用すれば,任意の複素数 <math>z_1, z_2</math> に関して指数函数の加法定理が成立つことが分かる.約言すれば函数 <math>\exp(z)</math> は解析的延長に際して,その解析的性質を保有する.これは重要なる論点である. |
2011年9月20日 (火) 13:15時点における版
白駒による注
『解析概論』増訂第二版を元に、片仮名を平仮名に、旧字体を新字体に変換したサンプルです。第三版と見比べると、異なる点が多々あることが分かります(第三パラグラフで §53 とあるのはミスか。第三版では修正済み)。どうせ旧字体を完全に再現するのは無理ですから、初めからこのサンプルのように投稿してはどうか、というのが私の考えです。増訂第二版を元に機械的に字体を変えるだけならば、第三版の著作権を侵害することにはならないでしょう。
64.指数函数,三角函数
§54 で実数に関する展開
に於て を複素数にして, の定義を拡張したが,このやうな拡張は全く規約的 (conventional) で,拘束力薄弱である.然るに前節に述べた解析的延長の原則によれば, を拡張して解析函数を得るには,上記が唯一無二の方法であることが確定したのである(261頁注意)., 等に関しても同様である.
本節では,このやうな立場から指数函数,三角函数を再考する.(所謂代数解析の現代化!)
この拡張の実質上の意味を示すために次の考察を附け加へる.§53 で,拡張されたる に関しても加法定理 が成立つことを計算によつて証明したが,解析的延長の原則によれば,それは当然で,計算を用ゐずして明白である.今先づ を一つの実数とする.然らば左辺の も又右辺の も に関しては正則で,それらが実数軸上の に関しては一致することが既知だから,任意の に関しても一致する.さて今度は を任意の複素数として,上記の両辺を の函数と見て,同様に解析的延長の方法を適用すれば,任意の複素数 に関して指数函数の加法定理が成立つことが分かる.約言すれば函数 は解析的延長に際して,その解析的性質を保有する.これは重要なる論点である.