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『解析概論』増訂第二版64節冒頭
 
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==== 白駒による注 ====
==== 白駒による注 ====
『解析概論』増訂第二版を元に、片仮名を平仮名に、旧字体を新字体に変換したサンプルです。第三版と見比べると、異なる点が多々あることが分かります(第三パラグラフで §53 とあるのはミスか。第三版では修正済み)。どうせ旧字体を完全に再現するのは無理ですから、初めからこのサンプルのように投稿してはどうか、というのが私の考えです。増訂第二版を元に機械的に字体を変えるだけならば、第三版の著作権を侵害することにはならないでしょう。
『解析概論』増訂第二版をなるべく忠実に再現したサンプルです。出力できない旧字体はやむを得ず新字体にしています。例えば「弱」「節(節とは異なる字体)」「述」「化」「既(既とは異なる字体)」。旧字体と新字体の対応を調べたり、旧字体が Unicode に含まれているかどうか調べるには、[http://brickhouse.jp/qji/ こちらのサイト]が便利です。


==== 64.指,三角函 ====
==== 64.指,三角函 ====
§54 デ實數ニ關スル展開
§54 で実数に関する展開
{{解析概論/equation|<math>e^z =\sum \frac{z^n}{n!}</math>}}
{{解析概論/equation|<math>e^z =\sum \frac{z^n}{n!}</math>}}
<math>z</math> 複素數ニシテ,<math>e^z</math> 定義ヲ擴シタガコノヤウナ擴規約的 (conventional) ,拘束力薄弱デアル.然ルニ前節ベタ解析的延長原則ニヨレバ,<math>e^z</math> ヲ擴シテ解析函數ヲルニハ,上記唯一無二方法デアルコトガ確定シタノデアル(261頁注意).<math>\sin z</math>, <math>\cos z</math> 等ニ關シテモ同様デアル
<math>z</math> 複素数にして,<math>e^z</math> 定義を拡したがこのやうな拡規約的 (conventional) ,拘束力薄弱である.然るに前節べた解析的延長原則によれば,<math>e^z</math> を拡して解析函数をるには,上記唯一無二方法であることが確定したのである(261頁注意).<math>\sin z</math>, <math>\cos z</math> 等に関しても同様である


本節デハコノヤウナ立場カラ,三角函數ヲ再考スル.(所謂代解析現代化!)
本節ではこのやうな立場から,三角函数を再考する.(所謂代解析現代化!)


コノ擴ノ實質上意味スタメニ考察ヘル.§53 サレタル <math>e^z=\exp(z)</math> ニ關シテモ加法定理 <math>\exp(z_1+z_2)=\exp(z_1)\cdot\exp(z_2)</math> 成立ツコトヲ計算ニヨツテ證シタガ,解析的延長原則ニヨレバソレハ當,計算ヰズシテ明白デアル.今先 <math>z_2</math> ツノ實數トスル.然ラバ邊ノ <math>\exp(z_1+z_2)</math> 又右邊ノ <math>\exp(z_1)\cdot\exp(z_2)</math> <math>z_1</math> ニ關シテハ正則ソレラガ實數軸上 <math>z_1</math> ニ關シテハ一致スルコトガ既知ダカラ,任意 <math>z_1</math> ニ關シテモ一致スルサテ今度 <math>z_1</math> 任意複素數トシテ,上記ノ兩邊ヲ <math>z_2</math> 數ト,同様解析的延長方法適用スレバ,任意複素 <math>z_1, z_2</math> ニ關シテ數ノ加法定理成立ツコトガカル.約言スレバ <math>\exp(z)</math> 解析的延長シテソノ解析的性質保有スルコレハ重要ナル點デアル
この拡の実質上意味すために考察へる.§53 されたる <math>e^z=\exp(z)</math> に関しても加法定理 <math>\exp(z_1+z_2)=\exp(z_1)\cdot\exp(z_2)</math> 成立つことを計算によつて証したが,解析的延長原則によればそれは当,計算ゐずして明白である.今先 <math>z_2</math> つの実数とする.然らば辺の <math>\exp(z_1+z_2)</math> 又右辺の <math>\exp(z_1)\cdot\exp(z_2)</math> <math>z_1</math> に関しては正則それらが実数軸上 <math>z_1</math> に関しては一致することが既知だから,任意 <math>z_1</math> に関しても一致するさて今度 <math>z_1</math> 任意複素数として,上記の両辺を <math>z_2</math> 数と,同様解析的延長方法適用すれば,任意複素 <math>z_1, z_2</math> に関して数の加法定理成立つことがかる.約言すれば <math>\exp(z)</math> 解析的延長してその解析的性質保有するこれは重要なる点である

2011年9月20日 (火) 13:15時点における版

白駒による注

『解析概論』増訂第二版を元に、片仮名を平仮名に、旧字体を新字体に変換したサンプルです。第三版と見比べると、異なる点が多々あることが分かります(第三パラグラフで §53 とあるのはミスか。第三版では修正済み)。どうせ旧字体を完全に再現するのは無理ですから、初めからこのサンプルのように投稿してはどうか、というのが私の考えです。増訂第二版を元に機械的に字体を変えるだけならば、第三版の著作権を侵害することにはならないでしょう。

64.指数函数,三角函数

§54 で実数に関する展開

に於て を複素数にして, の定義を拡張したが,このやうな拡張は全く規約的 (conventional) で,拘束力薄弱である.然るに前節に述べた解析的延長の原則によれば, を拡張して解析函数を得るには,上記が唯一無二の方法であることが確定したのである(261頁注意)., 等に関しても同様である.

本節では,このやうな立場から指数函数,三角函数を再考する.(所謂代数解析の現代化!)

この拡張の実質上の意味を示すために次の考察を附け加へる.§53 で,拡張されたる に関しても加法定理 が成立つことを計算によつて証明したが,解析的延長の原則によれば,それは当然で,計算を用ゐずして明白である.今先づ を一つの実数とする.然らば左辺の も又右辺の に関しては正則で,それらが実数軸上の に関しては一致することが既知だから,任意の に関しても一致する.さて今度は を任意の複素数として,上記の両辺を の函数と見て,同様に解析的延長の方法を適用すれば,任意の複素数 に関して指数函数の加法定理が成立つことが分かる.約言すれば函数 は解析的延長に際して,その解析的性質を保有する.これは重要なる論点である.