初等整数論講義/第1章/平方剰余,Legendreの記号

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1.本節に於いては 以外の素数とする. が解を有するときに,平方剰余, 然らざるときに 平方非剰余 という.(§11, 5)

 なるとき, が平方剰余なるか又は非剰余なるかに従って,

または

とする.これを ルジャンドル の記号という.

この記号に於いて横線の下に記される数 なる奇の素数で, 横線の上に記される数 で割り切れない正又は負の整数である.

の任意の原始根を底とするとき, が偶数なるか, 又は奇数なるかに従って, は平方剰余又は非剰余であるから,(§11, 3参照,ここではe = 2)

(1)

である.故に に関する の既約類の中,半数は平方剰余のみを, 他の半数は非剰余のみを含む.

[注意] 

だから, の平方が の平方剰余を与える.例えば とすれば,平方剰余は

すなわち である.

定理 1.30.

なるときは,

[証]

(1) に由って明白.

定理 1.31.


[証]

(1) に由って明白.


定理 1.32.

(オイラーの基準)

[証]

が平方剰余である為に必要且つ充分なる条件は

である(定理1.29).故に ならば

また ならば, . 然るに フェルマーの定理 に由って であるから,


2. オイラーの基準