初等整数論講義/第1章/一次合同式

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1. が整係数の多項式であるとき,合同式

(1)

を満足せしめる未知の整数 を求めることを合同式を解くという. をこの合同式の一つの解とし, とすれば

即ち を法として と同類なる数はすべて (1) の解である.

故に合同式を解くとは,それを満足せしめる整数の類を求めることである.

由って(1)のすべての解を求めるには, なる 個の値を当てはめて見れば宜しい. (故にどのような合同式が与えられてあるとしても,手数さえ厭わねば,それを解くことは出来るのである.)

定理 1.13.

一次合同式

は, なるときは,一つの解を有する. なるときは, で割り切れるときに限って解を有する. その解の数は である.解の数は, を法としての類に関していう.

[証]

(一) の場合. を法としての剰余系

の値を与えるときに, の値

はやはり としての剰余の一組であることは明白である.

実際, となるのは で割り切れるときに限り, 仮定に由って であるから, .それは, なるときに限る.

由って が如何なる整数であっても, の中の唯一つに由って

が満足せしめられねばならぬ.

(二) の場合.

(1)

に解があるとすれば, であるから,割り切れねばならぬ で割り切れるとすれば,

と置くとき,(1)

(2)

に帰する(定理 1.12). ここでは であるから, (2) を満足せしめる を法としての一つの類である. それを とすれば, (2)の解は

(3)

に由って与えられる.ここで は任意の整数である. の二つの値 に関して,これらが を法として合同になるのは

が m で割り切れるとき,すなわち で割り切れるときに限るから, (3) に於いて なる値を与えるときに, を法としての (1) のすべての解が得られる. 即ち解の数は である.

[注意] 

合同式(1)を解くことは不定方程式

を満足せしめる整数 を求めることと同じである. 上記の定理 1.13定理 1.7と同一である.

[例]

を解くこと.

[証]

であるから,一つの解がある.その解を とする. を用いる為に,両辺に を掛けて

[1]

両辺に を掛けて与えられたる合同式の両辺に加えて

を得る.

即ち解があれば,それは でなければならないが,解があることがわかっているから, これが即ち求める解である.

[験算]

このようにして を解くまでもなく, を得たのである. 実際は上記のようにして の解を求めるのが近道である. 即ち一つの解が であるから,一般の解は である.[2]

読者は自ら任意の合同式を提出して解いて見るが宜しい.このような練習が整数論を理解するのに必要である.


2. 次の定理も後に引用されるものである.(補遺 5 参照)

定理 1.14[3]

が二つずつ互いに素で, は任意の整数であるとき

(4)

を満足せしめる を法として唯一つ存在する.

[証]

第一の合同式を満足せしめる

(5)

である.それが第二の合同式をも満足せしめるのは

即ち

(6)

なるときである.仮定に由って であるから (6) の解は

のような, を法としての一類である. これを (5) に代入すれば,

即ち

[4]

である.この一つの合同式で (4)の最初の二つの合同式を置き換えてよい. 由ってこれを(4)の第三の合同式と組みあわせて同様の方法を行うことが出来る. 次第にこのようにして竟に(4)と等値なる

を得る.

或いは又ガウスDisquisitiones に述べたように,すべての を 対称的に取り扱う方法もある.

前のように

とし,

(7)

と置いて

(8)

なる を求める.

然らば(4)の解は

実際、(8) に由って、右辺の第一項 [5] で, 第二項以下は(7)に由って で割り切れるから, に関しても同様であるから, (4)は満足せしめられる.

(4)の解が に関して唯一つに限ることは始めから明白である. (4)の解とすれば だから, で割り切れ, 従ってそれらの最小公倍数なる で割り切れる. 即ち


上記の解では、,従って に関係なく定められる. は即ち の中で だけが で, その他は なる場合に於ける(4)の解であって, それらの一次的結合として,任意の に関する(4)の解が得られるのである.

[例]
とすれば [6]

ゆえに

の解は

例えば, で割れば が残り, で割れば が残り, で割れば が残るような数

或いは一般に

[注意] 

上記の解法を部分分数への分解に応用することができる. 既約分数 の分母 を二つずつ互いに素なる因数 に(例えば素数冪に)分解し, で割った剰余を とすれば,

から

例えば上の例では

由って
.
命題 1.

の最大公約数を ,最小公倍数を とすれば,

が解を有する為に必要且つ充分なる条件は である. 解があれば, を法として唯一つである.

[解]
定理1.14の始めの証明のようにする.[7]
[例]
命題 2.

前の問題を一般化して 個の合同式

を考察する. 解があるために必要且つ充分なる条件は

である.解は の最小公倍数を法として唯一つである.

[証]

条件が必要であることは明らかである. 由って条件が成り立っていると仮定する.この場合仮に の最小公倍数を で表すことにする. 然らば問題1に由って二つの合同式

の解を のような形で合同式で表すことができる.これと第三の合同式とを組み合わせたときに,

それが を法として唯一つの解を有することを示そう.それが出来れば,以下同様に進んで問題が解決される.

さて仮定に由って , ゆえに , 従って , 即ち で割り切れる, 同様に でも割り切れる.従ってs で割り切れる.

吾々の目的の為には で割り切れてくれればよいのであるから,

ならば十分である.幸いにしてこの等式は成り立つ (問題.10).

〔注意〕

なるとき, の解は に関して一定であるから, それを で表すことがある.

例えば

このような記号に分数の計算法を適用することができる. 例えば

実際, とすれば,規約に由って

故に

[8]

だから


  1. officious: , 一方,, 両辺を引いて
  2. officious: を代入して を得る.
  3. officious: 「中国の剰余定理」
  4. officious: に反映されている.
  5. officious:
  6. officious:特にこの場合は「百五減算」として和算においても知られていた.
  7. officious: において、 すわなち これを他式に代入、, すなわち最終的に , 前節までにもみたように を定数とするとき、式 をいかように変化させても、 の整数倍の刻みでしか値をとらないし、 の整数倍の中で必ず解を持つ(等式を満たす の組が存在する.) すなわちもとに戻って、 を満たす が存在する必要十分条件は、 の整数倍であること、すなわち である.
  8. 辺々加えて