解析概論/附録I/複素数

10．複素数

二つの実数の取り合せ $(x,y)$ としてのベクトルの加法は，既知のように，交換律，結合律に従い，かつ一意的の逆算法としての減法が可能で，そこで零の役目をするのは，ベクトル $(0,0)$ である．この加法の上に，或る特別なる第二の算法として，乗法を定義すれば，複素数が生ずる．

複素数 $(x,y)\ne (0,0)$ の座標 $x,y$ に対して，関係式

(1)

$x=\rho\cos\theta,\quad y=\rho\sin\theta,\quad \rho>0$

から，$\rho$ と $\theta$（$2\pi$ の整数倍なる差を無視して，すなわち $\mathrm{mod.}\, 2\pi$ に関して）とが確定する．極座標 $\rho, \theta$ がすなわち複素数 $(x,y)$ の絶対値および偏角である．$(0,0)$ に対しては，$\rho=0$ で，$\theta$ は任意である．この極座標を用いて，かりに $(x,y)=[\rho,\theta]$ と書いて，二つの複素数の積を

(2)

$[\rho_1,\theta_1]\cdot[\rho_2,\theta_2]=[\rho_1\rho_2,\theta_1+\theta_2]$

によって定義する（すなわち，幾何学的に約言すれば，$[\rho_2,\theta_2]$ を掛けることは，ベクトル $[\rho_1,\theta_1]$ を $\theta_2$ だけ正の向きに回転させて，かつその長さを $\rho_2$ 倍することである）．

この定義によれば，乗法は交換律，結合律に従い，また，$[\rho_2,\theta_2]\ne (0,0)$ なるとき，除法 $[\rho_1,\theta_1]/[\rho_2,\theta_2]=[\rho_1/\rho_2,\theta_1-\theta_2]$ が一意に可能である．積の定義 (2) を Descartes 座標で表わすために

$(a,b)=[r,\alpha],\quad (x,y)=[\rho,\theta]$

とすれば，(1)，(2) を用いて

$\begin{align} (a,b)\cdot(x,y) &=[r,\alpha]\cdot[\rho,\theta]=[r\rho,\alpha+\theta]\\ &=\bigl(r\rho\cos(\alpha+\theta),r\rho\sin(\alpha+\theta)\bigr), \end{align}$

さて

$\begin{align} r\rho\cos(\alpha+\theta)&=r\cos\alpha\cdot\rho\cos\theta-r\sin\alpha\cdot\rho\sin\theta=ax-by,\\ r\rho\sin(\alpha+\theta)&=r\sin\alpha\cdot\rho\cos\theta+r\cos\alpha\cdot\rho\sin\theta=bx+ay, \end{align}$

従って

$(a,b)\cdot(x,y)=(ax-by,bx+ay).$

これから，乗法が加法に関して分配律に従うことがわかる（$x,y$ に $x_1,y_1$ および $x_2,y_2$ を代入して加える）．

$y=0$ なる複素数に関しては

$(x_1,0)+(x_2,0)=(x_1+x_2,0),\quad (x_1,0)(x_2,0)=(x_1x_2,0)$

で，加法，乗法が実数 $x_1,x_2$ のそれらと全く同型であるから，$(x,0)$ を $x$ と同一視して，複素数を実数の拡張とみるのである．

$a\cdot(x,y) = (ax,ay)$ は，いわゆる，スカラー乗法（伸縮の意味での乗法）で，それは $(a,0)\cdot(x,y)$ に等しい．

$(1,0)=1,(0,1)=i$ と書けば，$(x,y)=x+yi$ で，

$i^2=(0,1)\cdot(0,1)=\left[1,\frac\pi2\right]\cdot\left[1,\frac\pi2\right]=[1,\pi]=(-1,0)=-1.$

故に形式的には，複素数の四則算法は，実数のそれと同様で，ただ，随所 $i^2$ を $-1$ で置き換えて，標準形 $x+yi$ を維持することに帰する．このような便宜上の規約を，18世紀には，天賦の法則のように考えていたのである．

複素数は伝統によって代数学的に導入される．上記の解説で，三角函数の加法定理を幾何学から引用したのは，方法上不純であるが，それを顧慮しないで，簡明を主としたのである．