解析概論/附録I/極限

[編集] 6．極限

ここまできたところで，一応第 1 章の基本定理を一つ一つ検討してみよう．

実数の大小の定義から Dedekind の原則（定理 1）および Weierstrass の定理（定理 2）が導かれることはすでに述べた（459，460 頁）．その上に今実数の加法減法が定義されたから，数列の極限の定義（§4）およびそれに基づく第 1 章の定理 6，7 および Cauchy の判定法（定理 8）が確定する．

ただし，数列 $\{\alpha_n\}$ の上極限，下極限の定義は大小の関係だけでできる．従って，それらが一致する場合として極限も定義される．ただ，Cauchy の収束条件は差を使わないでは，うまく行かない．無理数論において加法が重要なる役をするのは，そこにある．

なお定理5（§4）に関しては (1º)，(2º) はよいが，我々はまだ実数の乗法を定義していないから，(3º)，(4º) は未決である．

ここで中間的に次の定理を述べておく．

［定理 12］

実数 $\alpha$ に収束する有理数列が存在する．

［証］

この存在証明のついでに， $\alpha$ を十進数として表現する方法を述べる． $n$ を一つの自然数（ $\geqq 0$ ）， $a$ を任意の整数として $\textstyle \frac{a}{10^n}$ なる有理数

$\ldots,\, \frac{-3}{10^n},\,\frac{-2}{10^n},\,\frac{-1}{10^n},\,0,\,\frac{1}{10^n},\,\frac{2}{10^n},\,\frac{3}{10^n},\,\ldots$

を取れば，そのうちで

$\frac{a_n}{10^n}\leqq \alpha < \frac{a_n+1}{10^n}$

なる整数 $a_n$ が確定する．然らば

$0 \leqq \alpha-\frac{a_n}{10^n}<\frac{1}{10^n}.$

さて $\varepsilon>0$ とするとき， $\varepsilon>r>0$ なる有理数 $r$ を取れば十分大なる $n$ に関して $\textstyle r>\frac{1}{10^n}$ （有理数の性質： $\textstyle n>\frac{1}{r}$ とすれば $\textstyle 10^n>n>\frac{1}{r}$ ）．従って

$0\leqq \alpha-\frac{a_n}{10^n}<\varepsilon.$

すなわち

$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{10^n}=\alpha.$

これで［定理 12］は証明されたのであるが，上記 $a_n$ の意味から

$10a_{n-1}\leqq a_n < 10a_{n-1}+10,\quad (n=1,2,\cdots).$

故に $a_n = 10a_{n-1}+c_n$ と置けば

$\frac{a_n}{10^n}=\frac{a_{n-1}}{10^{n-1}}+\frac{c_n}{10^n},\quad 0\leqq c_n \leqq 9.$

すなわち

$\frac{a_n}{10^n}=a_0+\frac{c_1}{10}+\frac{c_2}{10^n}+\cdots+\frac{c_n}{10^n}.$

従って

$\alpha=a_0+\frac{c_1}{10}+\frac{c_2}{10^2}+\cdots+\frac{c_n}{10^n}+\cdots.$

これが十進数としての $\alpha$ の表現である．

このような表現は一般には一意であるが，ただ $\textstyle \alpha=\frac{a_n}{10^n}, c_n\ne 0$ ，なるとき，最後の項 $\textstyle \frac{c_n}{10^n}$ を $\textstyle \frac{c_n-1}{10^n}+\frac{9}{10^{n+1}}+\frac{9}{10^{n+2}}+\cdots$ に換えることができる．これは周知である．