解析概論/附録I/有理数の切断

1．有理数の切断

有理数の全部を次の条件 (1º)，(2º) に従って二組（部分集合）$A,A'$ に分けるとき，それを切断という．

(1º)

各有理数は $A$ あるいは $A'$ のいずれか一方のみに属する．すなわち $A,A'$ は有理数の部分集合として互に余集合である．

(2º)

$A$ に属する各有理数は $A'$ に属する各有理数よりも小さい．記号で書けば，$a\in A,a'\in A'$ ならば $a<a'$．

この切断を $(A,A')$ と書く．また $A$ を切断の下組，$A'$ を上組という．

切断 $(A,A')$ において $A$ と $A'$ とは互に余集合だから，そのうち一方がきまれば，他の一方は自然にきまる．今上組と切り離して，下組を単独に考察するならば，それを次のように定義することができる．

切断の下組 $A$ は上方に有界なる有理数の集合で，

$a\in A,\ x<a$　ならば，　$x\in A$．

さて有理数の切断には二つの型が考えられる．

（第一）は下組と上組との境界をなす一つの有理数 $a$ が存在する場合で，すなわち $a$ よりも小なる有理数はすべて下組に属し，$a$ よりも大なる有理数はすべて上組に属するのであるが，条件 (1º) によって，$a$ 自身も下組かまたは上組かに属せねばならない．もしも $a$ が下組に属するならば，$a$ は下組の最大数で，そのとき上組には最小数がない．もしまた $a$ が上組に属するならば，$a$ は上組の最小数で，そのとき下組には最大数がない．

これは有理数の稠密性による．もしもかりに下組に最大数 $a$ があって，同時に上組に最小数 $a'$ があるとするならば，$a<m<a'$ なる $m$ は下組にも上組にも属しえないから，条件 (1º) に反するであろう．

このようにして，任意の有理数 $a$ に切断 $(A,A')$ が対応するが，逆に切断 $(A,A')$ において下組 $A$ に最大数 $a$，あるいは上組 $A'$ に最小数 $a'$ があるならば，$(A,A')$ はすなわち上記の意味で $a$ あるいは $a'$ に対応するものである．そのとき切断 $(A,A')$ は有理数 $a$ あるいは $a'$ を定めるという．

（第二）切断 $(A,A')$ において $A$ に最大の有理数がなく，同時にまた $A'$ にも最小の有理数がないとする．この場合には，上記の意味で $(A,A')$ に対応する有理数は存在しない．よって切断 $(A,A')$ は（下組と上組との境界として）一つの無理数 $\alpha$ を定めるということにする．

有理数と無理数とを総称して実数という．

これは単なる称呼に過ぎない．すなわち実数 $\alpha$ といっても，今のところそこには有理数の一つの切断 $(A,A')$ があるだけである．実数の概念は，それの大小および四則の意味を適当に定義することができた後に，初めて確定するのである．我々はまだ第二の型の切断が実際可能であることすらも証明していないが，その存在証明はしばらく留保して話を進める．

切断 $(A,A')$ が一つの実数 $\alpha$ に対応するということにしたから，ついでに $A$ を $\alpha$ の下組，$A'$ を $\alpha$ の上組と呼ぼう．ただし $\alpha$ が有理数であるときには，$\alpha$ が下組の最大数として下組に属することもあるが，その場合には $\alpha$ を上組に移転することにする．然らば，この規約の下において，第一，第二の場合を統一して，$\alpha$ の下組 $A$ には最大数がないことになる．技術上の便利のために，しばらくこのような規約を設けるのである．

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