解析概論/附録I/実数の集合の一つの性質

[編集] 9．実数の集合の一つの性質

有理数の全部には番号がつけられる（可算，abzählbar^{[* 1]}，countable）．番号といっても，それは大小の順序とは無関係である．――有理数に大小の順序に従って番号をつけることは，稠密性が許さない．今正の有理数を自然数の商として $n/m$ の形に書いて，それに平面上の格子点 $(m,n)$ を対応させるならば，それらの格子点に 173 頁に述べたようにして，番号がつけられる．同一の有理数に無数の格子点が対応するけれども，重複するものを除いて番号を繰上げればよい．

例えば 173 頁，右の図のようにすれば，番号順は次のようになる．

$\frac11,\frac12,\frac21,\frac13,\frac31,\frac14,\frac23,\frac32,\frac41,\frac15,\frac51,\ldots.$

正の有理数に $a_1,a_2,a_3,\ldots$ のように番号がつけば， $0$ および負の有理数をも入れて，例えば

$0,a_1,-a_1,a_2,-a_2,\ldots$

のようにして，すべての有理数の順番がきめられる．

然るに，実数の全体に関しては，たとえそれを一定の区間内に限っても，決して漏れなく番号をつけることはできない．それを手軽に証明するために，かりに区間を $(0,1)$ として，区間内のすべての実数に $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n,\ldots$ のように番号がつけられたと仮定して，これらの実数を十進法で表わして

$\begin{align} \alpha_1 &= 0\cdot c_1^{(1)}\!c_2^{(1)}\!\!\ldots c_n^{(1)}\!\!\ldots,\\ \alpha_2 &= 0\cdot c_1^{(2)}\!c_2^{(2)}\!\!\ldots c_n^{(2)}\!\!\ldots,\\ \ldots & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots,\\ \alpha_n &= 0\cdot c_1^{(n)}\!c_2^{(n)}\!\!\ldots c_n^{(n)}\!\!\ldots,\\ \ldots & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \end{align}$

とおいてみる．ただし十進数として二様に書かれるものは，正規の記法を取ることとする（例えば $0.5000\ldots$ のように書いて， $0.4.999\ldots$ のようには書かない）．

さて上記のような表が与えられているとき，その表に漏れている数が区間 $(0,1)$ に必らずあることが，次のようにして示される．今十進法で

$\alpha = 0\cdot c_1c_2\ldots c_n\ldots$

と置いて，数字 $c_1,c_2,\ldots$ を次のようにきめる．すなわち，各〻の位 $n$ に関して $\alpha_n$ の数字 $c_n^{(n)}$ が偶数（ $0$ をも含めていう）ならば $c_n=1$ ，また $c_n^{(n)}$ が奇数ならば $c_n=2$ とする．そうすれば， $\alpha$ と $\alpha_1$ とは第一位の数字が違い， $\alpha_2$ とは第二位の数字が違い，一般に $\alpha_n$ とは第 $n$ 位の数字が違って，しかも $\alpha$ の数字は $1$ か $2$ かで， $999\ldots$ で終ることはないから， $\alpha$ は $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n,\ldots$ のどれとも違う．この $\alpha$ は区間 $(0,1)$ にあるけれども，上記の表にはない．すなわち番号がついていない．

これが Cantor の有名な対角線論法である．

任意の区間 $a<x'<b$ においても同様である．それをみるには変換 $x'=a+(b-a)x$ によって区間 $(0,1)$ 内の $x$ と $(a,b)$ 内の $x'$ との間に一対一対応を作ればよい．もしも $(a,b)$ 内の $x'$ に番号がつけきれるならば， $x'$ に対応する $x$ に同じ番号を与えて $(0,1)$ 内の $x$ に番号をつけてしまえるはずであるが，それは不可能である．

それよりも重要なのは，無理数だけを取っても，すでに番号づけができないことである．――もし或る区間内のすべての無理数に， $b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots$ のように，番号がつけられるならば，同じ区間内の有理数に $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ のように番号をつけて，双方を交代に $a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots$ のように入れ交ぜて，区間内のすべての実数の順番がきめられるであろう．それは不合理である．