解析概論/附録I/実数の大小

2．実数の大小

［定理 1］

実数 $\alpha,\beta$ の下組 $A,B$ の間には次の三つの関係のうちの一つが，しかもただ一つのみが，成り立つ．

(1)

$A$ と $B$ とは一致する：

$A=B.$

(2)

$A$ は $B$ の一部分である：

$A\subset B.$

(3)

$B$ は $A$ の一部分である：

$B\subset A.$

［証］

$A\ne B$ とすれば，$B$ に属して $A$ に属しない有理数 $m$ があるか，あるいは $A$ に属して $B$ に属しない有理数 $m$ がある．

前の場合には $m\in A'$，故に $a\in A$ ならば $a<m$．然るに $m\in B$，故に $a\in B$．故に $A\subset B$．

同様に，後の場合には $B\subset A$．

［定義］

$A=B$ なるときは $\alpha=\beta$．

$A\subset B$ なるときは $\alpha<\beta$．

$B\subset A$ なるときは $\alpha>\beta$．

［系 1］

$\alpha=\beta,\alpha<\beta,\alpha>\beta$ に従って $A=B,A\subset B,B\subset A$．

［系 2］

$\alpha < \beta$ ならば $\beta > \alpha$．

［注意 1］ 

$\alpha,\beta$ が有理数なるとき，有理数に関しては既定なる大小の関係は，上記の定義と調和する（すなわち有理数 $\alpha,\beta$ の下組を $A,B$ とすれば，$A\subset B$，または $B\subset A$，に従って，既知のはずの意味で $\alpha < \beta$ または $\beta < \alpha$）．

［注意 2］ 

$m$ が $\alpha$ の下組に属するならば，上記の定義に従って$m<\alpha$．また $m$ が $\alpha$ の上組に属するならば $\alpha \leqq m$．

前の場合には，$m$ の下組 $M$ は全く $\alpha$ の下組 $A$ に含まれるが，規約によって $A$ に最大数がないから，$A$ の中には $m$ よりも大きい有理数がある．故に $M\subset A$，従って定義によって，$m<\alpha$．

後の場合（$m\in A'$）には，(1º) $m$ が $A'$ の最小数，従って $\alpha = m$ であることも可能であるが，もしも，(2º) $A'$ に最小数がないならば（$\alpha$ は無理数で），$m$ よりも小なる $m_1$ が $A'$ に属し，従って $A$ に属しないから $A\subset M$，従って $\alpha < m$．

［系 3］

$\alpha < \beta$ ならば $\alpha < m < \beta$ なる有理数 $m$ が（無数に）ある．

［証］

仮定によって $A\subset B$．故に $A'$ と $B$ とに共通の有理数 $c$ があるが，規約によって $B$ に最大数がないから，$c< m \in B$ なる有理数 $m$ は無数にある．そうして $\alpha < m < \beta$．

［定理 2］

$\alpha < \beta,\beta < \gamma$ ならば $\alpha < \gamma$．

［証］

$\alpha,\beta,\gamma$ の下組を $A,B,C$ とすれば $\alpha < \beta,\beta < \gamma$ から $A\subset B, B\subset C$（上記系 1）．従って $A\subset C$．故に $\alpha < \gamma$（定義）．

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