解析概論/附録I/乗法

7．乗法

乗法の定義は，切断によるよりも，極限の概念を自由に運用する方が得策であろう．与えられた実数 $\alpha,\beta$ に収束する任意の有理数列を $\{a_n\},\{b_n\}$ とすれば，数列 $\{a_nb_n\}$ は収束する（Cauchy の判定法）．なぜなら： 有理数の乗法（既知）によって

$a_nb_n -a_mb_m = a_n(b_n-b_m) + b_m(a_n-a_m)$

で，$\{a_n\},\{b_n\}$ は有界だから，すべての $n,m$ に関して

$|a_n|<c,\quad |b_m|<c,$

なる有理数 $c$ がある．さて任意に $\varepsilon >0$ が与えられるとき $\varepsilon > r > 0$ なる有理数 $r$ を取れば，それに対応して $n,m$ を十分大きくして $\textstyle |a_n-a_m| < \frac{r}{2c}, |b_n-b_m| < \frac{r}{2c}$，従って

$|a_nb_n-a_mb_m| \leqq |a_n||b_n-b_m| + |b_m||a_n-a_m| < c\frac{r}{2c} + c\frac{r}{2c} = r < \varepsilon.$

故に数列 $\{a_nb_n\}$ は収束する．その極限は $\alpha,\beta$ に収束する有理数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ の選択に無関係である（§9）．

［定義］

$\textstyle \lim a_n =\alpha, \lim b_n=\beta$ なるとき

$\lim a_nb_n=\alpha\beta$

をもって積 $\alpha\beta$ の定義とする．

$\alpha=a, \beta=b$ が有理数なるとき，この定義は有理数に関する既定の定義と調和する（$a_n=a, b_n=b$ とすればよい）．

$\alpha\cdot 0=0,\quad \alpha\cdot 1=\alpha,\quad (-\alpha)\beta=-\alpha\beta$

なども，この定義からすぐに出る．これらを後に証明で使う．

［定理 13］ （交換律）

$\alpha\beta=\beta\alpha.$

［証］

$a_n\to\alpha,b_n\to\beta$ とすれば $a_nb_n\to \alpha\beta, b_na_n\to\beta\alpha$．有理数に関して $a_nb_n=b_na_n$ は既知．故に $\alpha\beta=\beta\alpha$．

［定理 14］ （結合律）

$(\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma).$

［定理 15］ （分配律）

$(\alpha+\beta)\gamma=\alpha\gamma+\beta\gamma.$

［証］

同様．ここでは $a_n+b_n\to\alpha+\beta$ をも用いる．

［定理 16］

$\alpha>0, \beta>0$ ならば $\alpha\beta > 0$．

［証］

$\alpha>0,\beta>0$ ならば，$\alpha,\beta$ に収束する単調増大の正の有理数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ がある（例えば十進数列）．然らば $\{a_nb_n\}$ も単調増大で $a_nb_n\leqq \alpha\beta$．$a_nb_n>0$ だから $\alpha\beta>0$．

［注意］ 

これから $(-\alpha)\beta=-\alpha\beta$ を用いて，$\alpha,\beta$ が同符号または異符号なるに従って，$\alpha\beta\gtrless 0$ を得る．

［定理 17］

$\alpha\beta=0$ ならば $\alpha=0$ または $\beta=0$．

［証］

$\alpha>0$ として，$\beta=0$ を示せばよい．もしも $\beta\ne 0$ ならば $\alpha\beta\ne 0$（上記注意）．

［定理 18］ （除法）

$\alpha\ne 0$ と $\beta$ とが与えられるとき，$\alpha\xi=\beta$ なる $\xi$ が一意的に存在する．

［証］

(1º)

まず $\alpha\bar{\alpha}=1$ なる $\bar{\alpha}$ の存在を証明する．$\alpha >0$ として，$\alpha$ に収束する単調増大の正の有理数列を $\{a_n\}$ とすれば，$\textstyle \left\{\frac1{a_n}\right\}$ は単調減少で有界だから，収束する．その極限を $\bar{\alpha}$ とすれば，

$\alpha\bar{\alpha}=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot\frac1{a_n}=1.$

$-\alpha$ に関しては $-\bar{\alpha}$ が逆数である．

(2º)

$\xi=\bar{\alpha}\beta$ とすれば $\alpha\xi=\alpha(\bar{\alpha}\beta)=(\alpha\bar{\alpha})\beta=1\cdot\beta=\beta$．

(3º)

$\xi$ の一意性は分配律から出る．$\alpha\xi=\beta,\alpha\xi'=\beta$ とすれば，$\alpha\xi-\alpha\xi'=\alpha(\xi-\xi')=0$．$\alpha\ne 0$ だから $\xi-\xi'=0$［定理 17］．すなわち $\xi=\xi'$．