解析概論/第9章/Vitaliの被覆定理

123．Vitali の被覆定理

定理 113．

$R^n$ において任意の集合 $A$ の各点 $x$ に収束する正則なる閉集合の列が与えられたとき，それらの集合の中から単純列 $\{E_n\}$ を抽き出して，それだけで，ほとんど全く $A$ を覆うことができる．すなわち $\textstyle\sum E_n$ に含まれない $A$ の点は零集合を成すのである：

(1)

$m\!\left(A-\sum E_n\right)=0.$

これを Vitali の被覆定理という．

［証］

二次元に即して，Banach の証明法を紹介する．言語節約のために，定理にいう閉集合を $\mathrm{C}$ と総称する．

1º．

$A$ は有界で，集合 $\mathrm{C}$ に正則性の指数は一定の正数 $a$ より大きいとする．

$A$ を含む一つの有界なる開集合を $S$ として，集合 $\mathrm{C}$ は $S$ に含まれるもののみをとっても差し支えない．

$\mathrm{C}$ から任意に一つの集合 $E_1$ を取り出して，$E_1$ に触れない集合 $\mathrm{C}$ の径の上限を $\delta_1$ とし，それらの集合 $\mathrm{C}$ の中から $E_2$ の径 $\delta E_2>\tfrac12\delta_1$ なる一つの集合 $E_2$ を取り出す．同じようにして，次々に $\{E_n\}$ を定めて行く．すなわちすでに $E_n$ までが定められたとき，$E_1+E_2+\cdots+E_n$ なる閉集合がまだ全く $A$ を覆っていないならば，それに触れない集合 $\mathrm{C}$ の径の上限 $\delta_n>0$ だから，その中から $\delta E_{n+1}>\tfrac12\delta_n$ なる $E_{n+1}$ が取り出されるのである．このようにして，$\mathrm{C}$ から取り出される有限または無限の単純列 $\{E_n\}$ が定理の条件 (1) に適合するのである．

まず仮定によって，$E_n$ を包んで $mE_n>cmW_n$ なる円 $W_n$ があるが，$\textstyle\sum mE_n\leqq mS$ だから，$\textstyle\sum mW_n<mS/c$ は収束する．従って $n\to\infty$ のとき，（円 $W_n$ の直径）$\delta W_n\to 0$，故に $\delta E_n\to 0$．

さて，$A$ に属して $\textstyle\sum E_n$ に属しない点 $x$ があるとして，その $x$ に収束する集合 $\mathrm{C}$ の中の任意の一つを $E$ とすれば，$E$ は $\{E_n\}$ の中のどれかと交わる．――さもなければ，すべての $n$ に対して $0<\delta E\leqq\delta_n<2\delta E_{n+1}$ で，$\delta E_n\to 0$ に矛盾する．

今かりに (1) が成り立たないとして，

$A'=A-\sum E_n,\quad \bar{m}A'>0.$

とするならば，上記の各円 $W_n$ を同心の $W_n'$ にまで $k$ 倍（$k\geqq 5$，後述）に拡大するとき，$\textstyle\sum mW_n'=k^2\sum mW_n<\tfrac{k^2}{c}mS$ は収束するから，十分大きい $N$ に対して，

$\sum_{n>N}mW_n'<\bar{m}A'.$

故に

(2)

$x\in A',\quad x\notin\bigcup_{n>N}W_n'$

なる点 $x$ がある．この点 $x$ は $\textstyle\sum E_n$ に属しないから，$x$ を含んで $E_1,E_2,\ldots,E_N$ に交わらない $\mathrm{C}$ の集合 $E$ があるが，前にいったように，$E$ は $\{E_n\}$ の中のどれかと交わるのだから，$\{E_n\}$ の中で $E$ と交わる最初のものを $E_p$ とすれば，$p>N$ で，$E$ は $E_1,E_2,\ldots,E_{p-1}$ とは交わらない．従って

(3)

$\delta E\leqq\delta_{p-1}.$

ファイル:図

そうして $x$ は $W_p'$ には属しないのだから，$E$ は $W_p'$ の外部の点 $x$ を含む．また $E$ は $W_p$ 内にある $E_p$ と交わるから，$W_p$ の内部の点をも含む．従って

$\delta E\geqq \frac12(k-1)\delta W_p \geqq\frac12(k-1)\delta E_p > \frac14(k-1)\delta_{p-1}.$

$k\geqq 5$ とすれば，これは (3) と矛盾する．すなわち $\bar{m}A'>0$ は不合理である．故に (1) が成り立つ．

2º．

一般の場合．原点 $O$ を中心とする半径 $n$ の円の内部を $S_n$ とする．$A$ の点 $x$ が $S_n$ に含まれ，かつ $x$ に収束する $\mathrm{C}$ の集合列の正則性の指数が $\tfrac1n$ よりも大きいとして，そのような点 $x$ の集合を $A_n$ とする．従って $\{A_n\}$ は増大列で，$\textstyle A=\lim_{n\to\infty}A_n$． さて 1º によって，集合 $\mathrm{C}$ の単純和 $\textstyle\sum E_i$ でほとんど $A_n$ が覆われる．すなわち

(4)

$\bar{m}\!\left(A_n-\sum_{i=1}^\infty E_i\right)=0.$

単純和 $\textstyle\sum_{i=1}^\infty E_i$ は有界だから $\textstyle\sum_{i=1}^\infty mE_i$ は収束する．よって十分大きく $p$ を取って

(5)

$\sum_{i>p}mE_i <\frac{1}{n}$

とする．然らば $\textstyle F_n=\sum_{i=1}^p E_i$ と置くとき

(6)

$\bar{m}(A_n-F_n)<\frac{1}{n}$

である．実際，

$A_n-F_n\subset\left(A_n-\sum_{i=1}^\infty E_i\right)+\sum_{i>p}E_i$

だから，(4)，(5) によって

$\bar{m}(A_n-F_n)\leqq \bar{m}\!\left(A_n-\sum_{i=1}^\infty E_i\right)+\sum_{i>p}mE_i <\frac{1}{n},$

すなわち (6) が成り立つ． さて，集合 $A_{n+1}-F_n$ は開集合 $S_{n+1}-F_n$ に含まれ，その各点に正則性の指数が $\tfrac{1}{n+1}$ より大きい集合 $\mathrm{C}$ の列が収束するから，前と同じようにして，それらの $\mathrm{C}$ 集合の中から単純なる有限列 $\textstyle\sum_{i=1}^q E_i'$ を取り出して

$\bar{m}\!\left(A_{n+1}-F_n-\sum_{i=1}^q E_i'\right)<\frac{1}{n+1}$

にすることができる．ここで $E_i'$ は閉集合 $F_n$ の外にあるから，

(7)

$F_{n+1}=F_n+\sum_{i=1}^q E_i'$

と置けば，$F_{n+1}$ は集合 $\mathrm{C}$ の有限単純列で，

$\bar{m}(A_{n+1}-F_{n+1})<\frac{1}{n+1}.$

このような操作は，$n=1$ から始めて，どこまでも続けられるから，記号を変えて，集合 $\mathrm{C}$ の或る単純列 $\{E_n\}$ に関し，各〻の $n$ に対して，(6) が成り立つと見てよい．そのとき，(7) によって $\{F_n\}$ は増大列だから，

$B=\lim_{n\to\infty}F_n=\sum_{i=1}^\infty E_i$

と置けば，$B$ は集合 $\mathrm{C}$ の単純和で，

(8)

$\bar{m}(A-B)=0.$

実際，$n$ を決めておいて，任意に $r>n$ を取れば，$F_r\subset B,A_n\subset A_r$ から

$A_n-B\subset A_n-F_r\subset A_r-F_r,$

$\bar{m}(A_n-B)\leqq\bar{m}(A_r-F_r)<\frac{1}{r}.$

$r$ は任意であったから，$\bar{m}(A-B)=0$ を得る．これから $\textstyle A-B=\bigcup_n(A_n-B)$ を用いて

$\bar{m}(A-B)\leqq\sum_n\bar{m}(A_n-B)=0$

を得る．よって (8) が成り立ち，$\textstyle B=\sum_{i=1}^\infty$ をもって，(1) を得る．

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