解析概論/第9章/Riemann積分との比較

120．Riemann 積分との比較

Lebesgue 積分と Riemann 積分との関係を考察するに当って，解説を透明にするために，予備的の説明から始める．

$R^n$ の有界なる集合 $E$ において，有界なる任意の函数 $f(x)$ が与えられているとする．点 $x$ の近傍 $U$（すなわち $x$ を内点とする開集合）と $E$ との共通部分における $f(x)$ の値の上限 $\textstyle \sup_{x\in U}f(x)$ は $U$ が縮小するとき，減少（不増大）するであろう．すべての $U$ に関するそれの下限

$\bar{f}(x)=\inf_U(\sup_{x\in U}f(x))$

は点 $x$ において確定する．$x$ が $E$ 内を動くとき，$\bar{f}(x)$ は $E$ における函数である．大小の関係を逆にすれば，同様にして函数

$\underline{f\!}\,(x)=\sup_U(\inf_{x\in U}f(x))$

が確定する．上記において任意の $U$ の代りに，単調に $x$ に収束する開区間の列 $W_1\supset W_2\supset\cdots\supset W_n\supset\cdots$ を取ってもよい．任意の $U$ の内に或る $W_n$ が含まれ，また任意の $W_n$ の内に或る $U$ が含まれているから，それは明らかであろう．さて

$\underline{f\!}\,(x)\leqq f(x)\leqq \bar{f}(x)$

で，点 $x_0$ において $f(x)$ が連続なることは，すなわち

$\underline{f\!}\,(x_0)=f(x_0)=\bar{f}(x_0)$

である．もしも等号が一方のみ成り立つときは $f(x)$ は $x$ において半連続という（$f=\bar{f}$ ならば上半連続，$f=\underline{f\!}$ ならば下半連続）． 今 $E$ の全局において，一律に $\bar{f}(x),\underline{f\!}\,(x)$ を定めるために §116 に述べたような基準格子系列 $\{\mathrm{G}^{(n)}\}$ を取るならば，各点 $x$ は格子 $\mathrm{G}^{(n)}$ において一定の（半開）区間 $w^{(n)}$ に属する．そこで

$M^{(n)}(x)=\sup_{x\in w^{(n)}}f(x),\quad m^{(n)}(x)=\inf_{x\in w^{(n)}}f(x)$

と置けば，$M^{(n)}(x),m^{(n)}(x)$ は階段的なる B 函数で，それらは，それぞれ，一定の $x$ に関し，$n$ と共に単調（広義）に減少または増大する．従って

$M(x)=\lim_{n\to\infty}M^{(n)}(x),\quad m(x)=\lim_{n\to\infty}m^{(n)}(x)$

とすれば，$M(x),m(x)$ も B 函数である（§107）． さて $M(x),m(x)$ と $\bar{f}(x),\underline{f\!}\,(x)$ との関係はどうであるか．もしも点 $x$ が格子系列の各 $\mathrm{G}^{(n)}$ において，区間 $w^{(n)}$ の内点であるならば（上記の $W_n$ に $w^{(n)}$ の開核を代用してもよいから）

$M(x)=\bar{f}(x),\quad m(x)=\underline{f\!}\,(x)$

であるが，もしも $x$ が或る $\mathrm{G}^{(n)}$ において，従って $\mathrm{G}^{(m)}\,(m\geqq n)$ において，区間 $w^{(n)}$ の境界上（格子線上）にあるならば，（$U$ が $w^{(n)}$ に限定されるために）

$M(x)\leqq \bar{f}(x),\quad m(x)\geqq \underline{f\!}\,(x)$

ではあるが，そのような除外点（すなわちすべての格子線上の点）は零集合（B 系）だから，

(1)

$M(x)\simeq \bar{f}(x),\quad m(x)\simeq \underline{f\!}\,(x).$

従って $\bar{f}(x),\underline{f\!}\,(x)$ は B 函数である．

以上を前置きとして，Riemann 積分の考察に移る．§90 に連絡して有界なる $f(x)$ が有界なる区間 $K$ において与えられているとする．§90 で述べたように，分割 $\Delta$ は基準格子系列 $\mathrm{G}^{(n)}$ によるものに限定してよいから，$s_\Delta,S_\Delta$ の代りに $s^{(n)},S^{(n)}$ と書く．そうすれば，それらは階段函数の L 積分として，次のように表わされる．

$S^{(n)}=\int_K M^{(n)}(x)dm,\quad s^{(n)}=\int_K m^{(n)}(x)dm,$

従って $n\to\infty$ の極限へ行って（定理 90），

$S=\int_K M(x)\,dm,\quad s=\int_K m(x)\,dm.$

従って (1) から

$S=\int_K \bar{f}(x)\,dm,\quad s=\int_K \underline{f\!}\,(x)\,dm.$

このように，Darboux の和 $S,s$ は L 積分として表わされる．そこで，Riemann 積分可能の条件 $S=s$ は

$\int_K(\bar{f}(x)-\underline{f\!}\,(x))dm=0$

であるが，$\bar{f}(x)\geqq f(x)\geqq\underline{f\!}\,(x)$ だから，これは $K$ において

$\bar{f}(x)\simeq f(x)\simeq \underline{f\!}\,(x)$

ということに帰する（§115）．換言すれば：

定理 112．

有界なる区間 $K$ において有界なる $f(x)$ の Riemann 積分が可能なるために必要かつ十分なる条件は，$K$ における $f(x)$ の不連続点が零集合をなることである．その場合 Riemann 積分は Lebesgue 積分に等しい． この意味において Lebesgue 積分は Riemann 積分の拡張である．

零集合は区間を含みえない．Riemann 積分可能なる函数は，任意の区間内に連続点を有することを 96 頁で述べたが，それは当然である．Riemann 積分可能なる函数は，ほとんど各所連続である．

［注意］ 

上記，Riemann 積分は本来の意味でいう．いわゆる広義積分で絶対収束をしないもの（一次元）は §109 の意身で $\infty-\infty$ の形になって Lebesgue 積分としては成り立たない（例えば $\textstyle\int_0^\infty \frac{\sin x}x dx=\infty-\infty$）．それを除けば，絶対収束の場合，広義の Riemann 積分は Lebesgue 積分である（§94 および定理 88 参照）．

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