解析概論/第9章/III

III．集合函数の微分法

122．微分法の定義

$R^n$ において，集合函数 $f$ が与えられたとき，点 $x$ における $f$ の密度ともいうべきものを考察して，$R^n$ における点函数を導き出すことができる．例えば，$x$ を中心とする $n$ 次元立方体（区間の意味でいう）を $e$ として，$e$ が $x$ に収束するとき

$\frac{f(e)}{m(e)}$

の極限を考察する．そうして $me\to 0$ のとき，

$\bar{D}_{f}(x)=\varlimsup\frac{f(e)}{m(e)},\quad \underline{D\!}\,_{f}(x)=\varliminf\frac{f(e)}{m(e)}$

を点 $x$ における $f$ の上・下微分商といい，両者が一致するとき，その共通の値

$D_f(x)=\lim\frac{f(e)}{m(e)}$

を単に微分商という．$x$ が変動するとき，これらの微分商を点 $x$ の函数とみて，それを $f$ の導函数という．

上記の定義において，$x$ に収束させる $e$ を立方体に限る必要はない．例えば，$x$ を中心とする $n$ 次元の球としてもよい．これらはいわゆる対称的微分商であるが，最も一般には，$x$ を含む任意の集合 $e$ を取ってもよい．ただし $me\to 0$ なるとき，$e$ の形に若干の制限を加えることが適切でもある．$e$ があまりに極端な形を取ることを防ぐためには，集合 $e$ を包む最小の立方体を $w$ として，

$\alpha(e)=\frac{m(e)}{m(w)} > 0$

をかりに $e$ の正則性の指数 と名づけて，それが $0$ でないことを要求する．これは十分寛大な制限である．以下，我々は $x$ に収束する閉集合の列 $\{e_n\}$ において，$\alpha(e_n)$ が一定の正数（$\ne 0$）よりも小でないとき，$\{e_n\}$ を正則といい，$\alpha(e_n)$ の下限 $\alpha(>0)$ を $\{e_n\}$ の正則性の指数という．

以下，集合函数 $f$ は少なくともすべての B 集合に対して定義されているものとし，また微分商に関しては $x$ に収束する集合 $e$ を正則なる閉集合に限定して

(1)

$\bar{D}_f(x)=\varlimsup_{me\to 0}\frac{f(e)}{m(e)},\quad \underline{D\!}\,_f(x)=\varliminf_{me\to 0}\frac{f(e)}{m(e)},$

$D_f(x)=\lim_{me\to 0}\frac{f(e)}{m(e)}$

を一般的に上，下，または単に導函数という．極限値として $\pm\infty$ を許容すれば，$\bar{D}_f,\underline{D\!}\,_f$ は各点 $x$ において確定するが，$D_f$ は必らずしも存在しない．$D_f$ が存在するとき，$f$ は $x$ において微分可能であるという．通例は $D_f(x)\ne\pm\infty$ を要求するが，広義では $D_f(x)=\pm\infty$ をも許容する．

導函数を導くために集合 $e$ に課せられる制限が加重するに従って，$\underline{D\!}$ は増大（不減少）し，$\bar{D}$ は減少（不増大）することは当然である．

［附記］ 

上記 (1) における $\varlimsup$ の意味は明瞭であろうけれども，念のために説明をする．簡明のために $f(e)/m(e)$ を$F(e)$ と略記する．$x$ を含んで $x$ に収束する正則なる閉集合を一般的に $e$ と書いたのだが，なお精密に $x$ を中心とする半径 $\rho$ の円（二次元に即していう）に含まれる $e$ の全体を $S(\rho)$ とする（点 $x$ をも正則なる閉集合と見られないでもなかろうが，それは $S(\rho)$ から除外する）．そうして $S(\rho)$ に属する $e$ に対する $F(e)$ の値の集合（値域）の上限を $M(\rho)$ とすれば，それは $\rho$ が減少するに従って単調に減少する．そこで $\textstyle M=\lim_{\rho\to 0}M(\rho)$ とすれば，

(2)

$\bar{D}_f(x)=M.$

これが (1) の意味である．$\bar{D}_f(x)$ はまた数列の $\varlimsup$ に基づいて

(3)

$\bar{D}_f(x)=\sup_{\{e_n\}}\bigl(\varlimsup_{n\to\infty}F(e_n)\bigr) \quad (e_n\to x)$

としても定義される．ここで $\{e_n\}$ は $x$ に収束する正則なる閉集合の列である．(3) は (1) の左の式と同等である．実際，まず $e_n$ を含む上記の円の最小半径を $\rho_n$ とすれば $e_n\in S(\rho_n)$．従って $F(e_n)\leqq M(\rho_n)$．故に $\textstyle \varlimsup_{n\to\infty}F(e_n)\leqq \lim_{n\to\infty}M(\rho_n)=M$．

さて，一方において，$\rho_n\to 0$ とすれば，$\textstyle e_n\in S(\rho_n), M(\rho_n)-\varepsilon < F(e_n)\leqq M(\rho_n)$ なる $e_n$ があるが，$n\to\infty$ の極限へ行って $\textstyle M-\varepsilon \leqq \varliminf_{n\to\infty}F(e_n) \leqq \varlimsup_{n\to\infty}F(e_n) \leqq M$，$\varepsilon >0$ は任意に取れるから $\textstyle \lim_{n\to\infty}F(e_n)=M$．すなわち (3) における $\sup$ は実は $\mathrm{Max}$ で，$\bar{D}_f(x)$ は或る集合列 $\{e_n\}$ に関する $\textstyle \lim_{n\to\infty}F(e_n)$ に等しい．

$\underline{D\!}\,_f(x)$ に関しても同様である．

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123．Vitali の被覆定理

定理 113．

$R^n$ において任意の集合 $A$ の各点 $x$ に収束する正則なる閉集合の列が与えられたとき，それらの集合の中から単純列 $\{E_n\}$ を抽き出して，それだけで，ほとんど全く $A$ を覆うことができる．すなわち $\textstyle\sum E_n$ に含まれない $A$ の点は零集合を成すのである：

(1)

$m\!\left(A-\sum E_n\right)=0.$

これを Vitali の被覆定理という．

［証］

二次元に即して，Banach の証明法を紹介する．言語節約のために，定理にいう閉集合を $\mathrm{C}$ と総称する．

1º．

$A$ は有界で，集合 $\mathrm{C}$ に正則性の指数は一定の正数 $a$ より大きいとする．

$A$ を含む一つの有界なる開集合を $S$ として，集合 $\mathrm{C}$ は $S$ に含まれるもののみをとっても差し支えない．

$\mathrm{C}$ から任意に一つの集合 $E_1$ を取り出して，$E_1$ に触れない集合 $\mathrm{C}$ の径の上限を $\delta_1$ とし，それらの集合 $\mathrm{C}$ の中から $E_2$ の径 $\delta E_2>\tfrac12\delta_1$ なる一つの集合 $E_2$ を取り出す．同じようにして，次々に $\{E_n\}$ を定めて行く．すなわちすでに $E_n$ までが定められたとき，$E_1+E_2+\cdots+E_n$ なる閉集合がまだ全く $A$ を覆っていないならば，それに触れない集合 $\mathrm{C}$ の径の上限 $\delta_n>0$ だから，その中から $\delta E_{n+1}>\tfrac12\delta_n$ なる $E_{n+1}$ が取り出されるのである．このようにして，$\mathrm{C}$ から取り出される有限または無限の単純列 $\{E_n\}$ が定理の条件 (1) に適合するのである．

まず仮定によって，$E_n$ を包んで $mE_n>cmW_n$ なる円 $W_n$ があるが，$\textstyle\sum mE_n\leqq mS$ だから，$\textstyle\sum mW_n<mS/c$ は収束する．従って $n\to\infty$ のとき，（円 $W_n$ の直径）$\delta W_n\to 0$，故に $\delta E_n\to 0$．

さて，$A$ に属して $\textstyle\sum E_n$ に属しない点 $x$ があるとして，その $x$ に収束する集合 $\mathrm{C}$ の中の任意の一つを $E$ とすれば，$E$ は $\{E_n\}$ の中のどれかと交わる．――さもなければ，すべての $n$ に対して $0<\delta E\leqq\delta_n<2\delta E_{n+1}$ で，$\delta E_n\to 0$ に矛盾する．

今かりに (1) が成り立たないとして，

$A'=A-\sum E_n,\quad \bar{m}A'>0.$

とするならば，上記の各円 $W_n$ を同心の $W_n'$ にまで $k$ 倍（$k\geqq 5$，後述）に拡大するとき，$\textstyle\sum mW_n'=k^2\sum mW_n<\tfrac{k^2}{c}mS$ は収束するから，十分大きい $N$ に対して，

$\sum_{n>N}mW_n'<\bar{m}A'.$

故に

(2)

$x\in A',\quad x\notin\bigcup_{n>N}W_n'$

なる点 $x$ がある．この点 $x$ は $\textstyle\sum E_n$ に属しないから，$x$ を含んで $E_1,E_2,\ldots,E_N$ に交わらない $\mathrm{C}$ の集合 $E$ があるが，前にいったように，$E$ は $\{E_n\}$ の中のどれかと交わるのだから，$\{E_n\}$ の中で $E$ と交わる最初のものを $E_p$ とすれば，$p>N$ で，$E$ は $E_1,E_2,\ldots,E_{p-1}$ とは交わらない．従って

(3)

$\delta E\leqq\delta_{p-1}.$

ファイル:図

そうして $x$ は $W_p'$ には属しないのだから，$E$ は $W_p'$ の外部の点 $x$ を含む．また $E$ は $W_p$ 内にある $E_p$ と交わるから，$W_p$ の内部の点をも含む．従って

$\delta E\geqq \frac12(k-1)\delta W_p \geqq\frac12(k-1)\delta E_p > \frac14(k-1)\delta_{p-1}.$

$k\geqq 5$ とすれば，これは (3) と矛盾する．すなわち $\bar{m}A'>0$ は不合理である．故に (1) が成り立つ．

2º．

一般の場合．原点 $O$ を中心とする半径 $n$ の円の内部を $S_n$ とする．$A$ の点 $x$ が $S_n$ に含まれ，かつ $x$ に収束する $\mathrm{C}$ の集合列の正則性の指数が $\tfrac1n$ よりも大きいとして，そのような点 $x$ の集合を $A_n$ とする．従って $\{A_n\}$ は増大列で，$\textstyle A=\lim_{n\to\infty}A_n$． さて 1º によって，集合 $\mathrm{C}$ の単純和 $\textstyle\sum E_i$ でほとんど $A_n$ が覆われる．すなわち

(4)

$\bar{m}\!\left(A_n-\sum_{i=1}^\infty E_i\right)=0.$

単純和 $\textstyle\sum_{i=1}^\infty E_i$ は有界だから $\textstyle\sum_{i=1}^\infty mE_i$ は収束する．よって十分大きく $p$ を取って

(5)

$\sum_{i>p}mE_i <\frac{1}{n}$

とする．然らば $\textstyle F_n=\sum_{i=1}^p E_i$ と置くとき

(6)

$\bar{m}(A_n-F_n)<\frac{1}{n}$

である．実際，

$A_n-F_n\subset\left(A_n-\sum_{i=1}^\infty E_i\right)+\sum_{i>p}E_i$

だから，(4)，(5) によって

$\bar{m}(A_n-F_n)\leqq \bar{m}\!\left(A_n-\sum_{i=1}^\infty E_i\right)+\sum_{i>p}mE_i <\frac{1}{n},$

すなわち (6) が成り立つ． さて，集合 $A_{n+1}-F_n$ は開集合 $S_{n+1}-F_n$ に含まれ，その各点に正則性の指数が $\tfrac{1}{n+1}$ より大きい集合 $\mathrm{C}$ の列が収束するから，前と同じようにして，それらの $\mathrm{C}$ 集合の中から単純なる有限列 $\textstyle\sum_{i=1}^q E_i'$ を取り出して

$\bar{m}\!\left(A_{n+1}-F_n-\sum_{i=1}^q E_i'\right)<\frac{1}{n+1}$

にすることができる．ここで $E_i'$ は閉集合 $F_n$ の外にあるから，

(7)

$F_{n+1}=F_n+\sum_{i=1}^q E_i'$

と置けば，$F_{n+1}$ は集合 $\mathrm{C}$ の有限単純列で，

$\bar{m}(A_{n+1}-F_{n+1})<\frac{1}{n+1}.$

このような操作は，$n=1$ から始めて，どこまでも続けられるから，記号を変えて，集合 $\mathrm{C}$ の或る単純列 $\{E_n\}$ に関し，各〻の $n$ に対して，(6) が成り立つと見てよい．そのとき，(7) によって $\{F_n\}$ は増大列だから，

$B=\lim_{n\to\infty}F_n=\sum_{i=1}^\infty E_i$

と置けば，$B$ は集合 $\mathrm{C}$ の単純和で，

(8)

$\bar{m}(A-B)=0.$

実際，$n$ を決めておいて，任意に $r>n$ を取れば，$F_r\subset B,A_n\subset A_r$ から

$A_n-B\subset A_n-F_r\subset A_r-F_r,$

$\bar{m}(A_n-B)\leqq\bar{m}(A_r-F_r)<\frac{1}{r}.$

$r$ は任意であったから，$\bar{m}(A-B)=0$ を得る．これから $\textstyle A-B=\bigcup_n(A_n-B)$ を用いて

$\bar{m}(A-B)\leqq\sum_n\bar{m}(A_n-B)=0$

を得る．よって (8) が成り立ち，$\textstyle B=\sum_{i=1}^\infty$ をもって，(1) を得る．

---

124．加法的集合函数の微分法

準備として，B 集合に関する次の考察を挿入する．$F(e)\geqq 0$ を正なる加法的集合函数とする．一般的に開集合を $G$，閉集合を $E$ で表せば，

$\inf_{G\supset e}F(G)\geqq F(e)\geqq \sup_{E\subset e}F(E)$

であるが，B 集合 $e$ に関しては

(1)

$\inf_{G\supset e}F(G) = \sup_{E\subset e}F(E)$

が成り立つ．それを見るために，(1) を成立せしめる L 集合 $e$ の一類を $S$ とする．

任意の閉区間 $w$ は $S$ に属する．実際，$G_n\darr w$ なる列 $\{G_n\}$ があるから，定理 95によって，

$\inf_{G\supset w}F(G)=F(w)=\sup_{E\subset w}F(E).$

さて，$S$ は σ 系をなす．$G\supset e\supset E$ から $G'\subset e'\subset E'$ だから，$e$ と共に余集合 $e'$ が $S$ に属する．次に，$\textstyle e_i\in S, e=\bigcup e_i$ とすれば，$e\in S$ である．実際，$\textstyle \varepsilon_i > 0, \sum \varepsilon_i =\varepsilon$ とすれば，(1) によって，$e_i\in S$ から

$G_i\supset e_i\supset E_i,\quad F(G_i-E_i) < \varepsilon_i$

なる $G_i,E_i$ がある．今，$\textstyle G=\bigcup G_i, H=\bigcup E_i$ とすれば，

$G\supset e\supset H,\quad G-H\subset\bigcup(G_i-E_i),$

$F(G-H)\leqq \sum F(G_i-E_i) < \sum\varepsilon_i = \varepsilon.$

然るに $H$ は閉集合の増加列の極限だから，

$H\supset H, \quad F(H-E) < \varepsilon$

なる $E$ があって（定理 95），$F(G-E)=F(G-h)+F(H-E)<2\varepsilon$ である．すなわち

$G\supset e\supset E,\quad F(G-H)< 2\varepsilon$

なる $G,E$ がある．$\varepsilon$ は任意だから，(1) が成り立ち，$e\in S$ である．

任意の閉区間が $S$ に属するから，$S$ は少なくともすべての B 集合を含む．すなわち $e$ が B 集合なら (1) が成り立つ．

定理 114．

（予備定理） $F(e)\geqq$ を正なる加法的集合函数とし，任意の集合 $A$ の各点において $\bar{D}_F(x)\geqq a > 0$ とすれば，$\bar{m}A<\infty$ で，$A$ を含む B 集合 $e$ 関して，$F(e)\geqq a\bar{m}A$．

［証］

$e$ を集合 $A$ を含む B 集合とする．然らば，任意の $\varepsilon > 0$ に対応して，(1) によって，

(2)

$e\subset G,\quad F(e)>F(G)-\varepsilon$

なる開集合 $G$ がある．また任意に $0<b<a$ なる $b$ を取れば，仮定によって，$A$ の各点 $x$ に収束する正則なる閉集合 $E$ の列があって，$F(E)>bmE$．これらの集合の中から $G$ に含まれる単純列 $\{E_n\}$ を取って，ほとんど $A$ を覆うことができる（定理 113）．故に (2) から

(3)

$F(e) > F(G)-\varepsilon \leqq \sum F(E_n)-\varepsilon > b\sum mE_n-\varepsilon \leqq b\bar{m}A-\varepsilon.$

仮定により $F(e)<\infty$ だから $\bar{m}A<\infty$，また $\varepsilon$ は任意，$b < a$ も任意だから，$F(e)\leqq a\bar{m}A$．

［注意］ 

もしも $A$ において $\bar{D}_F(x)=\infty$ ならば，$\bar{m}A=0$．実際，この場合，任意の $M > 0$ に関して $F(e)\leqq M\bar{m}A$．$F(e)$ は有限だから $\bar{m}A=0$．

定理 115．

（予備定理） $F$ は前の定理の通りとする．任意の集合 $A$ において $\underline{D\!}\,_F(x)\leqq a, (a>0)$，ならば，ほとんど $A$ を覆う B 集合 $e$ が存在して

$A\simeq A_0\subset e,\quad F(e)\leqq a\bar{m}A$

になる。

［証］

$\bar{m}A<\infty$ として証明すればよい．そのとき任意の $\varepsilon>0$ に対して，

$A\subset G,\quad \bar{m}A > mG-\varepsilon$

とする．$b>a$とすれば，仮定によって，$A$ の各点に収束する正則なる閉集合 $E$ の列があって，$F(E)\leqq bmE$ だが，それらのうち，$G$ に含まれる単純列 $\{E_n\}$ を取って，ほとんど $A$ を覆うことができる（定理 113）．そこで $\textstyle e=\sum E_n$ とすれば

$F(e)\leqq b\sum mE_n = bme\leqq bmG < b(\bar{m}A+\varepsilon).$

今，$\varepsilon=\tfrac{1}{n}, b=a+\tfrac{1}{n}$ に対応する $e$ を $e_n$ と書いて，改めて $\varliminf e_n$ とする．すなわち

$A\simeq A_n\subset e_n,\quad F(e_n)\leqq \left(a+\frac{1}{n}\right)\left(\bar{m}A+\frac{1}{n}\right),$

従って $A_0=\varliminf A_n$ とすれば，

$A\simeq A_0\subset e, \quad F(e)=F(\varliminf e_n)\leqq \varliminf F(e_n)\leqq a\bar{m}A.$

定理 116．

加法的なる集合函数は，ほとんど各所で微分可能である［Lebesgue の定理］．

［証］

$F\geqq 0$ を加法的なる集合函数とする．今

$\bar{D}_F(x)>\underline{D\!}^\,_F(x)$

なる点 $x$ の集合を $A$ とする．もしも $\bar{m}A\ne 0$ とするならば，或る有理数 $r,s(>0)$ に関して

$\bar{D}_F(x)>r>s>\underline{D\!}\,_F(x)$

なる点 $x$ の集合を $A_0$ とするとき，$\bar{m}A_0>0$．また，$\bar{m}A_0<\infty$（定理 114）．

然らば，ほとんど $A_0$ を覆う或る B 集合 $e$ に関して（定理 115）

$F(e)\leqq s\bar{m}A_0,$

一方，$A_0\cap e\subset e$ から（定理 114）

$F(e)\geqq r\bar{m}(A_0\cap e)=r\bar{m}A_0.$

従って

$r\bar{m}A_0\leqq s\bar{m}A_0.$

$r>s,\infty >\bar{m}A_0>0$ だから，これは不合理である．故に $mA=0$，すなわち

$\bar{D}_F(x)\simeq \underline{D\!}\,_F(x).$

$F$ の符号が一定でないならば，

$F(e)=F^+(e)+F^-(e),\quad F^+(e)\geqq 0,\quad -F^-(e)\geqq 0$

で，$D_F(x)=D_{F^+}(x)+D_{F^-}(x)$．故に定理は成り立つ．

［注意］ 

$D_F(x)$ はほとんど常に有限である（前頁，［注意］）．

定理 117．

$\{F_n\}$ が加法的集合函数の単調列で，

$\lim_{n\to\infty}F_n(e)=F(e)$

ならば

$D_F(x)\simeq \lim_{n\to\infty}D_{F_n}(x).$

［証］

$\{F_n\}$ を増大列として，

$f_n(e)=F(e)-F_n(e)$

と置けば（減少列の場合には $f_n=F_n-F$ と置く），$f_n\geqq 0, f_n\to 0$ で，$\{f_n\}$ は減少列である．故に $\bar{D}_{f_n}(x)\geqq 0$ も $n$ に関して減少列である．そこで

$\lim_{n\to\infty}\bar{D}_{f_n}(x)\simeq 0$

を示せばよい．

もしも，これが真でないとするならば，或る $a>0$ に関して

$x\in A,\quad \bar{m}A>0,\quad \bar{D}_{f_n}(x)>a.\quad (n=1,2,\ldots)$

なる集合 $A$ が存在すべきである．然らば（定理 114），$A\subset e$ なる任意の B 集合 $e$ に対して，

$f_n(e)\geqq a\bar{m}A.\quad(n=1,2,\ldots)$

$f_n(e)\to 0$ だからこれは不合理である．

定理 118．

$F(e)$ は加法的で，L 集合 $E$ の内で常に 0 に等しいとする．すなわち $e\subset E$ ならば $F(e)=0$．然らば，$E$ において $D_F(x)\simeq 0$．

［証］

$F\geqq 0$ として十分である．或る B 集合 $B$ をとって，$E\supset B, m(E-B)=0$ とする（§117）．$x\in B$ かつ $D_F(x)>\tfrac{1}{n}$ なる $x$ の集合を $A_n$ とすれば，$F(B)\geqq \tfrac{1}{n}\bar{m}A_n$（定理 114）．仮定により $F(B)=0$ だから，$\bar{m}A_n=0$．さて，$x\in B, D_F(x)>0$ なる $x$ の集合は $\{A_n\}$ の合併であるから，それは零集合である．故に $B$ において $D_F(x)\simeq 0$．然るに $m(E-B)=0$ だから，$E$ において $D_F(x)\simeq 0$．

定理 119．

特異函数 $F$ に関しては $D_F(x)\simeq 0$．

［証］

$F\geqq0$ として十分である．今 $mN=0,F(N')=0$ とする．ただし $N'$ は $N$ の余集合である．然らば，$N'$ において $D_F(x)\simeq 0$（定理 118）．$mN=0$ だから，これは全空間で成り立つ．

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125．不定積分の微分法

定理 120．

［密度定理］．L 集合 $E$ の定義函数を $\varphi(x)$ として，$F(e)=m(Ee)$ と書けば，

$D_F(x)\simeq \varphi(x).$

すなわち $E$ の内では $D_F(x)\simeq 1$，余集合 $E'$ の内では $D_F(x)\simeq 0$．

［証］

$F'(e)=m(E'e)$ と置けば

$F(e)+F'(e)=m(Ee)+m(E'e)=m(e).$

故に $F,F'$ が微分可能なる点において，すなわち，ほとんど各所（定理 116），

(1)

$D_F(x)+D_{F'}(x)\simeq 1.$

さて，$E'$ においては $F(e)=m(Ee)=m(0)=0$．従って（定理 118）$D_F(x)\simeq 0$．また $E$ においては $F'(e)=0$，従って $D_{F'}(x)=0$，従って (1) から $D_F(x)\simeq 1$．

（証終）

定理 121．

$f(x)$ を積分可能（有限）なる点函数，

$F(e)=\int_e f(x)\,dm$

とすれば，

$D_F(x)\simeq f(x).$

［証］

(1º)

$E$ の定義函数を $\varphi(x)$ とすれば

$F(e)=m(Ee)=\int_e f(x)\,dm$

で密度定理に帰する．

(2º)

$f(x)$ が階段的で，$x\in E_i$ なるとき，$f(x)=a_i\,(i=1,2,\ldots, p)$ とする．然らば $\varphi_i(x)$ を $E_i$ の定義函数とすれば，

$f(x)=\sum_{i=1}^{n}a_i\varphi_i(x).$

故に

$F(e)=\int_e f(x)dm = \sum a_i\int_e \varphi(x)dm.$

従って (1º) によって

$D_F(x)\simeq \sum a_i\varphi_i(x) = f(x).$

(3º)

一般の場合には，$f(x)\geqq 0$ として証明すればよいから，$f(x)$ を階段的なる函数 $f_m(x)$ の増大列の極限とする（定理 83）．然らば

$F(e)=\int_e f(x)dm.\quad F_n(e)=\int_e f_n(x)dm$

と置くとき，

（定理 88）

$F(e)=\lim F_n(e).$

故に（定理 117）

$D_F(x)\simeq \lim_{n\to\infty}D_{F_n}(x)\simeq \lim_{n\to\infty}f_n(x)= f(x).$

定理 122．

加法的なる集合函数 $F(e)$ の導函数 $D_F(x)$ は積分可能で，$F(e)$ は $D_F(x)$ の不定積分と一つの特異函数との和に等しい．

［証］

定理 99，100 によって

$F(e)=F(eH)+\int_e f(x)\,dm$

で，$F(eH)$ は特異函数である．故に定理 119，定理 121 によって

$D_F(x)\simeq f(x).$

従って

$F(e)=F(eH)+\int_e D_F(x)\,dm.$

右辺の積分において，$e$ 内の或る零集合 $e_0$ では $D_F(x)$ が存在しないこともありうるが，そのような $e_0$ は積分範囲 $e$ から除くべきである．それを了解の上で，上記のように書いた．$\bar{D}_F(x),\underline{D\!}\,_F(x)$ は常に存在して，

（定理 116）

$\bar{D}_F(x)\simeq \underline{D\!}\,_F(x)\simeq D_F(x)$

であるから，積分記号の下へ $\bar{D}_F(x)$ または $\underline{D\!}\,_F(x)$ を入れてもよい．

以上，我々は $D_F(x)$ を 446 頁に述べた一般的の意味に取ったが，あるいはそれを狭義にしても，結果は同じである．狭い意味を，かりに記号 ${}^0$ で示せば，

$\bar{D}_F(x)\simeq \bar{D}_F^0(x)\simeq \underline{D\!}\,_F^0(x)\simeq \underline{D\!}\,_F(x).$

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126．有界変動・絶対連続の点函数

$R^1$ において加法的なる集合函数 $F(e)$ に対応して点函数 $f(x)$ が定義される．すなわち $e=(-\infty,x)$ なるとき $F(e)=f(x)$ とするのである．今最も興味ある場合として，$F(e)$ を連続と仮定する．すなわち $\delta e\to 0$ なるとき $F(e)\to 0$ とするのである．$\delta e$ は集合 $e$ の径，すなわち $R^1$ においては，$e$ を含む区間の幅（長さ）の下限である．故に $e$ が一点から成り立つとき，$F(e)=0$ で，$f(x)$ は点函数として連続である．

さて，$F(e)$ が有界なる $e$ に対して有限，したがって有界（定理 94）であることを仮定するならば，$F$ に対応する $f(x)$ は $e$ において有界変動である．$F$ の正負の変分 $F^+,F^-$ および絶対変分 $V=F^+ +|F^-|$ に対応する点函数を，それぞれ $f^+(x),f^-(x)$ および $v(x)$ と書けば，

$f(x)=f^+(x)+f^-(x),\quad v(x)=f^+(x)+|f^-(x)|$

で，$f^+(x),|f^-(x)|$ は単調増大である（§111）． さて，$F(e)$ を既述の意味（[[解析概論/第9章/絶対連続性 特異性|§112）で絶対連続とする．すなわち $me=0$ なるとき，$F(e)=0$．$F$ の加法性のために，それは $me\to 0$ のとき，$F(e)\to 0$ を意味するのであった（419 頁）．$F(e)$ のこの絶対連続性は，それに対応する点函数 $f(x)$ の性質として次のようにいい表わされる．――今互に重なり合わない小区間 $w_i=[x_i,x_i']$ の有限列の合併を $w$ とし，それら小区間 $w_i$ における $f(x)$ の変動の絶対値の和を

$V(w)=\sum|f(x_i)-f(x_i)|$

と書くならば，

$mw=\sum|x_i'-x_i|$

で，$F(e)$ の絶対連続性によって，$mw\to 0$ のとき，$V(w)\to 0$．詳しくいえば，任意の $\varepsilon>0$ に対応して $\delta$ が定められて，

(1)

$mw<\delta$　なるとき　$V(w)<\varepsilon$

ならしめうるのである．函数 $f(x)$ のこの性質を Vitali が絶対連続と名づけた．これが絶対連続という用語の由来である．すなわち，Vitali の意味で絶対連続なる点函数に対応する集合函数 $F(e)$ が絶対連続と名づけられたのである．

逆に $f(x)$ が絶対連続ならば，$F(e)$ も絶対連続である．――まず $f(x)$ が絶対連続だから，(1) において $\varepsilon$ を固定して，それに対応する $\delta$ を取って，任意の区間を長さが $\delta$ を超えない小区間に分けて，それらの区間の数を $p$ とするならば，その区間における任意の小区間群 $\textstyle w=\sum w_i$ に関して，$V(w)\leqq p\varepsilon$ だから，$f(x)$ は有界変動である．故に $f(x)$ が単調増大なる場合を考慮すればよいが，そのとき $F(e)\geqq 0$ だから，今 $mE=0$ とするならば，$E\subset G_n,mG_n\to 0$ なる開集合 $G_n$ の列があって，$F(G_n)\to 0$．故に $F(E)=0$．すなわち $F$ は絶対連続である．

同様の意味で，特異なる集合函数 $F(e)$ に対応する点函数 $f(x)$ をも特異というならば，$f(x)$ に関しては，$K$ を任意の区間とするとき，任意の $\varepsilon>0$ に対して $m(K-w)<\varepsilon$ で，$V(w)<\varepsilon$ なる区間列 $w$ が $K$ 内に存在する．

さて区間 $K$ において $f(x)$ を連続とする．その区間内で $x$ を固定し，$h$ を動かして，

$\Delta(x,h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

と書いて，

1）

$\bar{D}_f^+(x)=\varlimsup_{h\to+0}\Delta(x,h),$

2）

$\underline{D\!}\,_f^+(x)=\varliminf_{h\to+0}\Delta(x,h),$

3）

$\bar{D}_f^-(x)=\varlimsup_{h\to-0}\Delta(x,h),$

4）

$\underline{D\!}\,_f^-(x)=\varliminf_{h\to-0}\Delta(x,h)$

と置く．$h\to+0$ は‘$h>0,h\to 0$’の略記，$h\to-0$ は‘$h<0,h\to 0$’の略記である．

もしも 1），2） が一致するならば，その共通の値を $D_f^+(x)$ と書く．それは $x$ における $f(x)$ の右への微分商である．同様に3），4）が一致すれば，その共通の値 $D_f^-(x)$ は左への微分商である．もしも 1）―4）がすべて一致すれば，その共通の値 $D_f(x)$ はすなわち $x$ における $f(x)$ の微分商で，その場合 $f(x)$ は $x$ において微分可能である．狭い意味では，$D_f(x)$ が有限なることを要求し，広い意味では $\pm\infty$ をも許容する．

今，$f(x)$ が集合函数 $F(e)$ に対応するとするならば，1）―4）は §122 に述べた $F(e)$ の微分商の特別の場合，あそこの $e$ を $[x,x+h]$ または $[x-h,x]$ に限定した場合で，これらの $e$ の正則性の指数は $\tfrac12$ である．

このように $h$ が限定された結果として，導函数は B 函数である．例えば $\bar{D}^+$ に関していえば $\varlimsup$ の意味によって，$h$ を有理数に限ってもよいが，$f$ の連続性から，$\Delta(x,h)$ は $x$ に関して連続で、$\bar{D}^+(x)$ は連続函数列の $\varlimsup$ として B 函数である（§117）．

以上を前置きとして，$f(x)$ を区間 $K=[a,b]$ において連続かつ有界変動として，$f(x)$ に対応する（完全）加法的集合函数 $F(e)$（§121 参照）に §§124，125 の定理を適用すれば，次のような結果が得られる．

1．

区間 $K$ において連続かつ有界変動なる函数 $f(x)$ は，ほとんど常に微分可能で，微分商はほとんど常に有限である．

2．

区間 $t_0\leqq t\leqq t_1$ において $\varphi(t),\psi(t)$ が連続かつ有界変動ならば，$x=\varphi(t),y=\psi(t)$ によって定義される曲線はほとんど各点で接線を有する．

3．

区間 $[a,b]$ の点を $x$ とすれば

$f(x)-f(a)=\mathit\Phi(x)+\int_a^x\Delta(x)\,dx.$

右辺の $\Delta(x)$ は前頁 1）―4）の四つの微分商の中のどれでもよい．$\textstyle \int_a^x$ は $[a,x]$ における L 積分で，$\mathit\Phi(x)$ は特異函数である． 特に $f(x)$ が $f'(x)$ の Lebesgue の意味の不定積分であるためには，$f(x)$ が絶対連続であることが必要かつ十分である．

4．

特異函数は，ほとんど常に微分可能で，微分商は 0 に等しい．

最後に，特異函数 $\mathit\Phi(x)$ のなるべく手近な実例を作るために，§115 に述べた三進集合 $E$ を考察する．区間 $K=[0,1]$ において三進集合 $E$ を作るために，次々に $K$ から取り去った区間は第 $n$ 回には $2^{n-1}$ 個であったが，それらの区間において $\mathit\Phi(x)$ の値を左から順に $1/2^n,3/2^n,\ldots,(2^n-1)/2^n$ とする．すべての $n$ に関して，このように $\mathit\Phi(x)$ の値を決めるならば，$\mathit\Phi(x)$ は $K$ において稠密に分布される $E'$（余集合）において決定するが，それを $K$ において連続なる $\mathit\Phi(x)$ に拡張することができる．この $\mathit\Phi(x)$ は $K$ において単調に $0$ から $1$ まで増大し，零集合 $E$ 以外の各点では $\mathit\Phi'(x)=0$．$E$ の点では一般に $\mathit\Phi'(x)=\infty$ であるが，$E'$ を組成する区間の端では，右または左への微分商が $0$ になるであろう．