解析概論/第9章/集合算

105．集合算

我々の目標は Euclid 空間の点集合にあるのだけれども，本節（§105-112）の概括論においては，まず抽象的に任意の集合を考察する．任意といっても，一つの集合 $\Omega$ を取って，それの部分集合のみを考察の対象とする．

以下，集合 $\Omega$ と，その元 $x$ とを，一つの空間 ($\Omega$) と，その空間の点 ($x$) とに当てはめて考えるならば，わかりよいだろう．もっとも，$\Omega$ をただちに一つの（抽象的）空間，$x$ をその空間の点と称することに，何等の差し障りもない．

$x$ が集合 $A$ の元であることを $x \in A$ と書く．$x \in A$ の否定を $x \notin A$ と書く．

$A$ が $B$ の部分集合なること（$x \in A$ ならば $x \in B$）を $A \subset B$ と書き，$A$ は $B$ に含まれるという．$A \subset B$ かつ $B \subset A$ のとき，集合 $A$ と $B$ とは相等しいという：記号 $A = B$．従って $A = B$ なる場合にも $A \subset B$ である．

合併（和）

集合 $A, B, \ldots$ のどれかに属する元の全部をもって，一つの集合を作ることができる．それを $A, B, \ldots$ の合併といい，$A \cup B \cup \cdots$ と書く．集合の合併は交換律および結合律に従う．

集合が有限個または可算個あるときには，それらに番号をつけて $A_n (n=1,2,\dots)$ と書いて，その全体を集合の列 $\{ A_n\}$ という．この列の集合の合併を $\textstyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$（あるいは略して $\textstyle \bigcup A_n$）と書くが，番号のつけ方は随意である．なかんずく，重要なのは $A_i, A_j (i \neq j)$ に共通の元がない場合で，そのとき $\{ A_n\}$ を単純列，またその合併を単純和と省略して，特に記号 $\textstyle +, \sum$ を用いる．

共通部分（積）

集合 $A, B, \ldots$ のどれにも属する元の全部をもって，一つの集合を作ることができる．それを $A, B, \ldots$ の共通部分または交わりといい，$A \cap B \cap \cdots$（または積の形に $AB\cdots$）と書く．集合列 $\{ A_n\}$ の場合には $\textstyle\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n$ と書く．$A,B$ に共通の元がないときは，交わりはないが，陳述の便宜上，交わりは空集合であるといい，数字 $0$ を流用して，それを $0$ と書く．集合の積に関しても，交換律および結合律が成り立つ．

余集合

集合 $A$ に属しない$\Omega$ の元全体は一つの集合を成す．それを $A$ の余集合といい，それを $\mathrm{C}A$ と書くのが慣例であるが，本書ではおりおり簡明に $A'$ とも書く．

$\Omega$ の各元 $x$ は，$A$ か $A'$ か，どちらか一方に属する．すなわち $x \notin A$ は $x \in A'$ と同値である．もちろん，$(A')' = A$．

次の互に双対的なる二つの等式は明白であろう．

(1)

$(A \cup B)' = A' \cap B',\quad(A \cap B)' = A' \cup B'.$

無数の集合に関しても同様である．特に集合列に関しては

(2)

$\left(\bigcup A_n\right)' = \bigcap A'_n,\quad \left(\bigcap A_n\right)' = \bigcup A'_n.$

実際，$\textstyle x \in \bigcup A_n$ ならば或る $n$ に関して $x \in A_n$．故に $\textstyle x \in (\bigcup A_n)'$ はすべての $n$ に関して $x \notin A_n$ すなわち $x \in A'_n$ を意味する．従って $\textstyle x \in \bigcap A'_n$ を意味する．すなわち $\textstyle \bigcup A_n$ と $\textstyle \bigcup A'_n$ とは互に余集合である．$A_n$ に $A'_n$ を代用すれば，第二の等式を得る．

ファイル:図

集合の差

集合 $A$ に属して，$B$ に属しない元の全体を $A-B$ と書く．従って

(3)

$A-B = A-AB = AB' = B'-A',$

$B-A = B-AB = BA' = A'-B',$

$A \cup B = (A-B)+(B-A)+AB.$

最後の等式の右辺は単純和である．

$A \supset B$ なるときは，$A-B$ を $A$ に対する$B$ の余集合という．$A,B$ が $K$ に含まれるとき，$K$ に対する $A,B$ の余集合に関しても(1)は成り立つ（$\Omega$ に $K$ を代用してもよいから）．

分配律

集合の和と積との間には，互に双対的なる二つの分配律が成り立つ．すなわち

(4)

$\left. \begin{align} (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C), \\ (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C). \end{align} \right\}$

これらは合併および共通部分の意味から，(2)のようにして導かれる．また(2)を適用して，一方の等式の両辺の余集合を作れば，他の等式が得られる．ファイル:図

集合列に関しても分配律は成り立つ．すなわち

$\begin{align} \bigcap_i\bigg(\bigcup_j A_j^{(i)}\bigg) =\bigcup(A_{j_1}^{(1)}\cap A_{j_2}^{(2)}\cap A_{j_3}^{(3)}\cap\cdots),\\ \bigcup_i\bigg(\bigcap_j A_j^{(i)}\bigg) =\bigcap(A_{j_1}^{(1)}\cup A_{j_2}^{(2)}\cup A_{j_3}^{(3)}\cup\cdots). \end{align}\quad (j_1,j_2,\ldots = 1,2,3,\ldots)$

定理 81．

集合の積は和と差とで表わされる．すなわち，集合列に関していえば，

(5)

$\bigcap_{n\geqq 1}A_n=A_1-\bigcup_{n\geqq 2}(A_1-A_n).$

［証］

(3)による．

右辺$=A_1-\bigcup_{n\geqq 2}A_1A_n'$

分配律および(3)．

$=A_1-A_1\bigcup_{n\geqq 2}A_n'=A_1-\bigcup_{n\geqq 2}A_n'$

(3)および(2)による．

$=A_1\bigg(\bigcup_{n\geqq 2}A_n'\bigg)' =A_1\bigcap_{n\geqq 2}A_n$

$=\bigcap_{n\geqq 1}A_n.$

［注意］ 

集合列の合併 $\textstyle E=\bigcup E_n$ を単純和 $\textstyle E=\sum e_n, e_n\subset E_n$ に修正することができる．例えば $e_1=E_1,\,e_n=E_n-(E_1\cup E_2\cup\cdots\cup E_{n-1}),\,(n=2,3,\ldots)$ とすればよい．

集合の上・下極限

集合列 $\{A_n\}$ に関して，上極限 $\varlimsup$，下極限 $\varliminf$　および極限 $\lim$ を次のように定義する：

(6)

$\varlimsup A_n=\bigcap_{n\geqq 1}\bigg(\bigcup_{i\geqq n}A_i\bigg),\quad \varliminf A_n=\bigcup_{n\geqq 1}\bigg(\bigcap_{i\geqq n}A_i\bigg).$

$\varlimsup A_n=\varliminf A_n$ なるとき，それを $\lim A_n$ とする．

この定義からみえるように，$\varlimsup,\varliminf$ は $A_n$ の順序には関係しない．すなわち $\varlimsup A_n$ は無数の $A_n$ に共通なる元の全体で，$\varliminf A_n$ は有限個を除いたほかの全ての $A_n$ に共通な元の全体である（除かれる集合は元によって違いうる）．故に $\varliminf A_n\subset \varlimsup A_n$．

$\{A_n\}$が増大列，すなわち $A_1\subset A_2\subset\cdots\subset A_n\subset\cdots$ ならば，

(7)

$\lim A_n = \bigcup_{n\geqq 1}A_n,$

$\{A_n\}$ が減少列，すなわち $A_1\supset A_2\supset\cdots\supset A_n\supset\cdots$ ならば

(8)

$\lim A_n= \bigcap_{n\geqq 1}A_n$

であることは，定義によって明らかである．従ってまた一般に，

(9)

$\varlimsup A_n=\lim\bigcup_{i\geqq n}A_i,\quad \varliminf A_n=\lim\bigcap_{i\geqq n}A_i.$

また余集合に関して

$(\varlimsup A_n)'=\varliminf A_n',\quad (\varliminf A_n)'=\varlimsup A_n'.$

集合の定義函数（特徴函数）

集合 $E$ の各元 $x$ に，一つの数 $f(x)$ が対応するとき， $f$ を $E$ における点函数という．

特に $x\in A$ なるとき $\varphi(x)=1$，$x\in A'$（余集合）なるとき $\varphi(x)=0$ なる函数 $\varphi(x)$ を $A$ の定義函数という．逆に，$1$ または $0$ なる値のみをとる点函数 $\varphi(x)$ が $\Omega$ において与えられるならば，$\varphi(x)=1$ なる点 $x$ の全部を $A$ とすれば，$\varphi(x)$ はすなわち $A$ の定義函数で，また $\varphi'(x)=1-\varphi(x)$ は余集合 $A'$ の定義函数である．

集合列 $\{A_n\}$ において，$A_n$ の定義函数を $\varphi_n(x)$ とすれば，

$\sup\varphi_n(x),\quad \inf\varphi_n(x),\quad \varlimsup\varphi_n(x),\quad \varliminf\varphi_n(x),\quad \lim\varphi_n(x)$

は，それぞれ

$\bigcup A_n,\qquad \bigcap A_n,\qquad \varlimsup A_n,\qquad\varliminf A_n,\qquad\lim A_n$

の定義函数である．

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