解析概論/第9章/累次積分

119．累次積分

前節の方法を応用して，高次元積分を低次元積分のくりかえし（累次積分）に帰せしめることができる．すなわち次の定理が成り立つ．

定理 110．

［Fubini の定理］ $R^n$ における L 函数 $f(x,y)\,(x\in R^p,y\in R^q,p+q=n)$ に関して，積分

(1)

$J=\int_{R^n}f(x,y)d\mu$

が確定であるとする．然らば

(2)

$J=\int_{R^p}\left(\int_{R^q}f(x,y)(dy)\right)(dx).$

定理の意味は次の通りである．積分 (1) が確定（または有限）ならば，ほとんどすべての $x$ に関して，$f(x,y)$ は $R^q$ における L 函数で，積分 $\textstyle\int_{R^q}f(x,y)(dy)$ は，ほとんどすべての $x$ に対して確定（または有限）で，$R^p$ における L 函数となる．そうして (2) の右辺の積分が確定（または有限）で，(2) が成り立つというのである．

［証］

(1º)

$f(x,y)\geqq0$ の場合．

そのとき，$f(x,y)$ から生ずる縦線集合

$E=E\{(x,y,z);x\in R^p,y\in R^q,0\leqq z\leqq f(x,y)\}$

は $R^{n+1}$ の L 集合で，(1) の $J$ は$E$ の測度である（定理 109）．すなわち

$J=\mu E,$

故に．（§118，(23)）

(3)

$J=\int_{R^p}mE(x)\,(dx).$

ここで $E$ の断面 $E(x)$ は $(y,z)$ 空間における縦線集合，$m$ 派その空間における L 測度である．前に述べたように，$mE(x)$ は或る零集合に属する $x$ に対して無意味のこともあろうが，その零集合を無視しても，(3) の右辺の積分の値には影響はないのである． さて，$E(x)$ が L 集合なる $x$ に対して，$f(x,y)$ は $R^q$ における L 函数であり，

(4)

$mE(x)=\int_{R^q}f(x,y)\,(dy).$

故に (3)，(4) から (2) が得られる． (1) の積分が有限のときには，(3) によって，(4) の積分は，ほとんどすべての $x$ に対して有限である．

(2º)

$f(x,y)$ が正負の値を取る場合．

$f^+$ と $f^-$ とを別々に考察すれば，1º．によって

(5)

$\int_{R^n}f^{\pm}(x,y)d\mu=\int_{R^p}\left(\int_{R^q}f^{\pm}(x,y)(dy)\right)(dx)$

を得る．(1) の積分が確定なら，(5) の左辺の積分の一方（少くとも）は有限で，その差が (1) の積分に等しい．また，(5) の右辺の内側の二つの積分は，1º．によって，或る零集合に属しない $x$ に対しては，ともに L 函数で，そのうちの一方は有限である．故に

(6)

$\int_{R^q}f(x,y)\,(dy)=\int_{R^q}f^+(x,y)\,(dy)-\int_{R^q}f^-(x,y)\,(dy)$

はほとんどすべての $x$ に対して確定である（無意味 $\infty-\infty$ でない）．(6) の両辺を空間 $R^p$ において積分すれば，(5) の右辺の差が，(2) の積分に等しいことがわかる．

（証終）

累次積分における積分の順序が自由にできるところにも，Lebesgue 積分の優秀性が認められるであろう．

次の定理は，定理 110 からの直接の帰結であるが，定理 110 とあわせて，積分の順序の変更に関し，実用上，有効である．

定理 111．

$R^n\,(n=p+q)$ における L 函数 $f(x,y)$ に関し，累次積分

$I=\int_{R^p}\left(\int_{R^q}|f(x,y)|(dy)\right)(dx)$

が有限ならば，$f(x,y)$ の $R^n$ における積分は有限である．

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