解析概論/第9章/積分の性質

110．積分の性質

積分の性質を続けて述べる．

定理 88．

（予備定理）$E$ において $\{f_n(x)\}$ を正なる函数の増大列とし $\textstyle f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ とすれば

(1)

$\lim_{n\to\infty}\int_E f_n(x)\,d\mu=\int_E f(x)\,d\mu.$

［証］

仮定によって $f(x)\geqq f_n(x)\geqq 0$，従って（前節 3．）

$\int_E f(x)\,d\mu\geqq \int_E f_n(x)\,d\mu,$

$n\to\infty$ の極限へ行って

$\int_E f(x)\,d\mu \geqq \lim_{n\to\infty} f_n(x)\,d\mu.$

故に反対の向きの不等式を証明すればよい．そのために，$E$ の分割 $\textstyle\sum e_i\,(n=1,2,\ldots,p)$ において，$\textstyle v_i=\inf_{x\in e_i}f(x),\,s_\Delta=\sum v_i\,\mu e$ として

(2)

$\lim_{n\to\infty}\int_{e_1}f_n(x)\,d\mu\geqq v_i\,\mu e_i$

を示そう．それができれば，前節 1．によって

$\lim_{n\to\infty}\int_E f_n(x)\,d\mu\geqq s_\Delta$

が得られるが，分割 $\Delta$ は任意だから，上限へ行って

$\lim_{n\to\infty}\int_E f_n(x)\,d\mu\geqq\int_E f(x)\,d\mu,$

従って (1) を得る． よって，記号簡略のために，(2) において $e_i=e,v_i=v$，すなわち $\textstyle v=\inf_{x\in e}f(x)\geqq 0$ と書いて

(3)

$\lim\int_e f_n(x)\,d\mu\geqq v\,\mu e$

を証明する．$v=0$ ならば，（$\mu e=\infty$ でも）右辺は $0$ で，左辺は $\geqq 0$ だから，問題はない．同様に，$\mu e=0$ ならば，（$v=\infty$ でも）問題はない．よって，$v>0,\mu e>0$ とする．

(I)

$\mu(e)<\infty$ なる場合．

(1º)

$v<\infty$ とする．$v>\varepsilon>0$ として，$e_n=e\cdot E\{f_n(x)>v-\varepsilon\}$ と置く．然らば，$\{f_n(x)\}$ は増大列であったから，$e_1\subset e_2\subset\cdots\subset e_n\subset\cdots$ で，$\textstyle\lim e_n=\bigcup e_n=e$．――なぜなら： $x_0\in e$ とすれば，或る $n$ 以上，$f_n(x_0)>v-\varepsilon$，従って $x_0\in e_n$ だから．故に

（定理 87）

$\lim\mu e_n=\mu e,$

従って $n>N$ なるとき

$\mu e-\mu e_n<\varepsilon,$

（前節 1．）

$\int_e f_n(x)\,d\mu\geqq \int_{e_n}f_n(x)\,d\mu$

（前節 3．）

$\geqq (x-\varepsilon)\mu e_n$

$\begin{align} & > (v-\varepsilon)(\mu e-\varepsilon)\\ & > v\,\mu e-\varepsilon(v+\mu e). \end{align}$

$\varepsilon>0$ は任意だから，(3) を得る．

(2º)

$v=\infty$ とする．この場合には，$m>0$ として，

$e_n=e\cdot E\{f_n(x)>m\}$

と置けば，前と同様に $e=\lim e_n$ だから，$\varepsilon>0$ に対して十分大きく $n$ を取れば，

$\int_e f_n(x)\,d\mu\geqq\int_{e_n}f_n(x)\,d\mu\geqq m\,\mu e_n\geqq m\,\mu e-\varepsilon m.$

$\varepsilon$ は任意だから，

$\int_e f_n(x)\,d\mu\geqq m\,\mu e.$

$m>0$ も任意，また $\mu e>0$ としたから，$\textstyle\lim_{n\to\infty}\int_e f_n(x)\,d\mu=\infty$ で，(3) が成り立つ（$\infty=\infty$）．

(II)

$\mu e=\infty$ ならば，$v\infty$ として上記(1º) の記号を用いて，$\lim e_n=e$ から，$\lim\mu e_n=\infty$（定理 87，(1º)）．従って

$\int_e f_n(x)\,d\mu\geqq\int_{e_n}f_n(x)\,d\mu\geqq(v-\varepsilon)\mu e_n$

から，$\textstyle\lim\int_e f_n(x)\,d\mu=\infty$，すなわち (3) が $\infty=\infty$ の意味で成り立つ．$v=\infty$ でも同様．

定理 89．

積分は函数に関して線型である．詳しくいえば，任意の実係数 $a_i$ をもって

$\int_E(a_1f_1+a_2f_2+\cdots+a_nf_n)\,d\mu =a_1\int_E f_1\,d\mu+a_2\int_E f_2\,d\mu+\cdots+a_n\int_E f_n\,d\mu.$

ただし右辺の中の項に $+\infty$ と $-\infty$ が同時に出ていてはいけない．特に，右辺の各積分が有限なるとき，左辺も有限で，等式が成り立つのである．

［証］

二つの函数 $f,g$ に関して，次の式を証明すれば十分である：

(4)

$\int_E(f+g)\,d\mu=\int_E f\,d\mu+\int_E g\,d\mu.$

(1º)

$f\geqq 0,g\geqq 0$ が階段的で，それぞれ有限個の相異なる値 $a_i,b_j\,(i=1,2,\ldots,p;j=1,2,\ldots,q)$ を取るとする．

$E_i=E\{f(x)=a_i\},\quad E'_j=E\{g(x)=b_j\}$

として，$E_i\cap E'_j=e_{i,j}$ と置けば，$\textstyle E_i\sum_{j=1}^q e_{ij},\,E'_j=\sum_{i=1}^p e_{ij},\,E=\sum e_{i,j}$ は単純和で，$e_{i,j}$ において $f(x)=a_i,g(x)=b_j$．よって（§109，2．）

(5)

$\int_E f(x)\,d\mu=\sum_{i=1}^p a_i\,\mu E_i,\quad \int_E g(x)\,d\mu=\sum_{j=1}^q b_j\,\mu E'_j,$

$\begin{align} \int_E(f+g)d\mu &= \sum_{i,j}(a_i+b_j)\mu e_{ij} = \sum_i\Bigl(a_i\sum_j\mu e_{ij}\Bigr)+\sum_j\Bigl(b_j\sum_i\mu e_{ij}\Bigr)\\ &=\sum_i a_i\,\mu E_i + \sum_j b_j\,\mu E'_n. \end{align}$

(5) と比較して (4) を得る．

(2º)

$f\geqq 0,g\geqq 0$ なるとき，$f_n\to f,g_n\to g$ を定理83（401 頁，［注意］参照）の階段函数とすれば，(1º) によって

$\int_E(f_n+g_n)\,d\mu=\int_E f_n\,d\mu+\int_E g_n\,d\mu.$

これから定理 88によって (4) を得る．

(3º)

一般の場合． $f,g,f+g$ に符号に従って，$E$ を六つの集合に分割すれば，その中に空集合もありうるが，§109，1．によって，各部分集合に関して (4) を証明すればよい．よって，$E$ において，例えば $f\geqq 0,g<0,f+g\geqq 0$ とする．然らば $f=(f+g)-g$ から，(2º) によって

$\int_E f\,d\mu=\int_E(f+g)\,d\mu+\int_E(-g)\,d\mu.$

移行して (4) を得る．その他の場合も同様である．

定理 90． ［項別積分の定理］

函数列 $\{f_n(x)\}$ に関して $f_n(x)\to f(x)$，かつ

(6)

$|f_n(x)|\leqq S(x)\quad(n=1,2,\ldots)$

なる積分有限なる $S(x)$ が存在すれば（特に $\mu E<\infty,|f_n(x)|<c$（定数）ならば），

(7)

$\lim_{n\to\infty}\int_E f_n(x)\,d\mu=\int_E f(x)\,d\mu.$

各積分が有限で，等式が成り立つのである．

［証］

仮定 (6) によって，$f_n(x)$ は積分有限である．また §109，6．，7．によって，$S(x)\ne\infty$ と仮定してよい． まず一般に $g_n(x)\geqq 0,\,h_n(x)=\inf(g_n(x),g_{n+1}(x),\ldots)\geqq 0$ と置けば，$\varliminf g_n(x)=\lim h_n(x)$ で，$h_n(x)$ は増大列だから，定理 88によって，

$\int_E\varliminf g_n(x)\,d\mu=\int_E\lim h_n(x)\,d\mu=\lim\int_E h_n(x)\,d\mu.$

$g_n(x)\geqq h_n(x)$ だから

$\int_E g_n(x)\,d\mu\geqq \int_E h_n(x)\,d\mu,$

従って

$\varliminf\int_E g_n(x)\,d\mu\geqq\lim\int_E h_n(x)\,d\mu.$

すなわち

(8)

$\int_E\varliminf g_n(x)\,d\mu\leqq\varliminf\int_E g_n(x)\,d\mu.$

これを $S(x)+f_n(x)\geqq 0$ に適用すれば（上記の仮定 $S(x)\ne\infty$ を用いて），

$\int_E S(x)\,d\mu + \int_E\varliminf f_n(x)\,d\mu \leqq \int_E S(x)\,d\mu + \varliminf\int_E f_n(x)\,d\mu.$

両辺から有限なる $\textstyle\int_E S(x)\,d\mu$ を引いて，

(9)

$\int_E\varliminf f_n(x)\,d\mu\leqq\varliminf\int_E f_n(x)\,d\mu.$

同様に $S(x)-f_n(x)\geqq 0$ から，

$\int_E\varliminf(-f_n)\,d\mu\leqq\varliminf\int_E(-f_n)\,d\mu,$

すなわち

$-\int_E\varlimsup f_n\,d\mu\leqq -\varlimsup\int_E f_n\,d\mu,$

すなわち

(10)

$\int_E\varlimsup f_n\,d\mu\geqq \varlimsup\int_E f_n\,d\mu.$

以上仮定 (6) のみを用いた．さて $\lim f_n(x)=f(x)$ のはずであるから，(9)，(10) から

$\varlimsup\int_E f_n\,d\mu\leqq\int_E f(x)\,d\mu\leqq\varliminf\int_E f_n\,d\mu.$

もとより $\textstyle \varlimsup\int_E f_n\,d\mu\geqq\varliminf\int_E f_n\,d\mu$ だから，等式が成り立って，(7) を得る．

（証終）

定理 90 が上記のように寛大な条件の下において成り立つことは，Lebesgue の理論の著しい成功というべきであろう．

定理 91．

積分は集合函数として加法的である．すなわち，$\textstyle E=\sum_{n=1}^\infty E_n$ が単純和ならば，

(11)

$\int_E f(x)\,d\mu=\sum_{n=1}^\infty\int_{E_n}f(x)\,d\mu.$

左辺の積分は有限でなくてもよい（無意味でなければよい）．

［証］

$f(x)\geqq 0$ としてよい．また $\textstyle \tilde{E}_n=\sum_{n=1}^n E_i$とすれば（§109，1．），

$\int_{\tilde{E}_n}f(x)\,d\mu=\sum_{i=1}^n\int_{E_i}f(x)\,d\mu.$

故に

(12)

$\int_{\tilde{E}_n}f(x)\,d\mu\to\int_E f(x)\,d\mu$

を示せばよい．さて

$\begin{align} x&\in\tilde{E}_n\\ x&\in E-\tilde{E}_n \end{align}$	のとき	$\left.\begin{align} f_n(x)&=f(x),\\ f_n(x)&=0 \end{align}\ \right\}$	とすれば， $\int_{\tilde{E}_n}f(x)\,d\mu=\int_E f_n(x)\,d\mu.$
	のとき

$f_n(x)$ は増大列で，$f(x)$ に収束するから，(12) が成り立つ（定理 88）．

以上，積分の最も重要な性質を述べたが，ここで，積分の定義そのものを反省してみよう．我々は $E$ を分割して $e_i$ における $f(x)\geqq 0$ の下限 $v_i$ をもって $\textstyle s_\Delta=\sum v_i\,\mu e_i$ を作って，その上限として積分を定義したが，同様の立脚点において，$e_i$ における $f(x)$ の上限 $u_i$ をもって，和 $\textstyle S_\Delta=\sum u_i\,\mu e_i$ を作り，$S_\Delta$ の下限として積分を定義することも考えられる．しかし，$\mu E$ は有限，また $E$ において $f(x)$ は有界（$0\leqq f(x)<m$）なる根幹的の場合においては，このような定義からも積分は結局同一に帰する．

今，実数の区間 $[0,m]$ に目盛り

$0=a_0<a_1<\cdots<a_n=m,\quad\max(a_i-a_{i-1})=\delta$

をして

$E_i=E\{a_i\leqq f(x)< a_{i+1}\},\quad E=\sum_{i=1}^{n-1}E_i$

とすれば，$E$ のこの分割 $\Delta$ に関しては

$s_\Delta\geqq\sum a_i\,\mu E_i,\quad S_\Delta\leqq\sum a_{i+1}\,\mu E_i.$

さて

$0 \leqq \sum a_{i+1}\,\mu E_i-\sum a_i\,\mu E_i = \sum(a_{i+1}-a_i)\mu E_i\leqq \delta\sum\mu E_i=\delta\cdot\mu E.$

従って

$0\leqq S_\Delta-s_\Delta\leqq\delta\cdot\mu E.$

$\Delta$ は特別な分割であるが，一般に二つの分割 $\Delta^{(1)},\Delta^{(2)}$ を合併して分割 $\Delta^{(3)}$ が作られる．すなわち

$\Delta^{(1)}\colon\quad E=\sum_i e_i^{(1)},\qquad \Delta^{(2)}\colon\quad E=\sum_j e_j^{(1)},$

$\Delta^{(3)}\colon\quad E=\sum_{i,j} e_i^{(1)}e_j^{(2)}.$

そうすれば，

$S_{\Delta^{(1)}}\geqq S_{\Delta^{(3)}}\geqq s_{\Delta^{(3)}}\geqq s_{\Delta^{(2)}},$

すなわち

$S_{\Delta^{(1)}}\geqq s_{\Delta^{(2)}}.$

$\Delta^{(1)},\Delta^{(2)}$ は任意だから

$\inf S\geqq \sup s.$

よって，上記の $S_\Delta, s_\Delta$ を用いて

$0\leqq\inf S-\sup s\leqq S_\Delta -s_\Delta \leqq\delta\,\mu E.$

$\delta$ は任意に取れるから

$\inf S=\sup s=\int_E f(x)\,d\mu.$

なお考慮すべきは，§109 で $E$ を有限列 $e_i$ に分割して $s_\Delta$ を定義したが，上に述べたような思想圏において， $E$ を無限単純列 $\textstyle\sum e_i$ に分割して，そのような分割 $\Delta'$ に関して $s_{\Delta'}$ を定義して，$\sup s_{\Delta'}$ をもって積分を定義することである．然るに，$\Delta'$ は $\Delta$ の再分と考えられるから，$s_{\Delta'}\geqq s_\Delta$ であるが，一方 $s_\Delta\leqq S_{\Delta'}\leqq S_\Delta$ であるから，$\textstyle\sup s_{\Delta'}=\int_E f(x)\,d\mu$ である．$S$ に関しても同様である．

Riemann 積分に関して §30 に述べた Darboux の和においては，このような結果は得られなかった．あそこでは，$f(x)$ を単に有界としたが，ここでは $f(x)$ を M 函数とした．あそこでは $\Delta$ をば，区間を区間への分割に限定したが，ここでは，M 集合 $E$ を自由に M 集合に分割することを許したのである．

§109 に述べた積分の定義は簡明であるが，なお Lebesgue の定義との連絡のために，次の定理をつけ加える．簡明のために正なる函数を考察する．

定理 92．

集合 $E$ において $f(x)\geqq 0$ とする．正数の範囲に目盛り

($\Delta$)

(13)

$0=l_0<l_1<\cdots<l_n<\cdots,\qquad\sup(l_n-l_{n-1})=\delta$

をつけて，

$e_n=E\{l_n\leqq f(x)< l_{n+1}\},\qquad e_\infty=E\{f(x)=\infty\}$

と書けば，$\mu(e_\infty)=0$ なる条件の下において，

(14)

$\int_E f(x)\,d\mu=\lim_{\delta\to0}\sum_{1\leqq n<\infty}l_n\,\mu e_n.$

Lebesgue は初め $\mu E$ も $f(x)$ も有界なる場合に，(14) の右辺の極限をもって，左辺の積分を定義したのである．

［証］

目盛り $\Delta$ に対応して，

$\begin{align} f_\Delta(x)&=l_n, & x&\in e_n & &(n=0,1,2,\ldots)\\ &=\infty & x&\in e_\infty \end{align}$

なる函数 $f_\Delta(x)$ を取れば，$x\in e_n$ のとき，

$f(x)-f_\Delta(x)<l_{n+1}-l_n\leqq\delta$

だから，$\delta\to 0$ のとき

(15)

$f_\Delta(x)\to f(x).$

一方（定理 91），

$\int_E f_\Delta(x)\,d\mu = \sum_{1\leqq n<\infty}\int_{e_n}f_\Delta(x)\,d\mu +\int_{e_\infty}f_\Delta(x)\,d\mu$

(16)

$=\sum_{1\leqq n<\infty} l_n\,\mu e_n,$

後段の等式は仮定 $\mu e_\infty=0$ による（§109，6．）．さて，ここで二つの場合を区別する．

(1º)

$f(x)$ の積分が有限ならば（定理 90 の $S(x)$ に $f(x)$ 自身を当てて），(15) によって

$\int_Ef(x)\,d\mu=\lim_{\delta\to0}\int_Ef_\Delta(x)\,d\mu.$

従って，(16) から (14) を得る．

(2º)

$\textstyle\int_E f(x)\,d\mu=\infty$ ならば，(14) の右辺も $\infty$ である．――この場合，(8) と同様に，

$\varliminf\int_E f_\Delta(x)\,d\mu\geqq \int_E\varliminf f_\Delta(x)\,d\mu$

だから，(15) によって

$\varliminf\int_E f_\Delta(x)\,d\mu\geqq\int_E f(x)\,d\mu=\infty.$

従って

$\lim_{\delta\to 0}\int_E f_\Delta(x)\,d\mu=\infty.$

［附記］ 

$E_t=E\{t\leqq f(x)\},\mu E_t=\psi(t)$ と置けば，$\psi(t)$ は単調減少であるが，$e_n=E_{l_n}-E_{l_{n+1}}$ だから，

$\sum l_n\,\mu e_n=\sum\psi(l_n)(l_n-l_{n-1})$

で，$\textstyle\lim\sum l_n\,\mu e_n$ すなわち積分 $\textstyle\int_E f(x)d\mu$ は Riemann 積分$(R)\int^\infty\psi(t)dt$ に等しい．

次の定理は後に至って応用されるが，それ自身としても興味あるものである．

§109，5．において $g(x)=1$ とすれば，$e$ において $a\leqq f(x)\leqq b$ なるとき，$\textstyle a\,\mu e\leqq \int_e f(x)d\mu\leqq b\,\mu e$ で，これが本来の平均値の定理ともいうべきものである．この関係は，加法的集合函数としての積分の特徴である．すなわち次の定理が成り立つ．

定理 93．

$\mu E$ が有限なる $E$ において，$f(x)$ は M 函数，$F(e)$ は加法的集合函数で，$-\infty\leqq a\leqq b\leqq\infty$ なるすべての $a,b$ に関して

(17)

$e\subset E\{a\leqq f(x)\leqq b\}$　なるとき　$a\,\mu e\leqq F(e)\leqq b\,\mu e$

ならば

$F(E)=\int_e f(x)\,d\mu.$

［注意］ 

$a,b$ がその値として $\pm\infty$ をとる場合，規約 $0\cdot\infty=0$ を適用する． $E\{f(x)\geqq 0\}$ と $E\{f(x)<0\}$ とを別々に考察すればよいから，$E$ において $f(x)\geqq 0$ と仮定してよい．然らば，(17) において $a=0$ として，$F(e)\geqq 0$ を得る．また $e_\infty=E\{f(x)=\infty\}$ とすれば，$\mu e_\infty>0$ の場合には，(17) において $a=\infty$ と置いて $F(e_\infty)=\infty$，従って $F(E)=\infty$．また $\textstyle\int_E f(x)d\mu=\infty$ だから，定理は $\infty=\infty$ の意味で成り立つ．よって $\mu e_\infty=0$ としてよいが，そのとき (17) において $a=\infty$ とすれば $F(e_\infty)=0$ を得る（規約 $0\cdot\infty=0$）．故に

(18)

$f(x)\geqq 0,\quad F(e)\geqq 0,\quad \mu e_\infty=0,\quad F(e_\infty)=0$

と仮定して証明すればよい．この仮定の下においては，$-\infty<a\leqq b<\infty$ なる $a,b$ に関して (17) を仮定すれば，定理は成り立つ．それを証明する．

［証］

(13) の目盛りに関して，前のように

$e_n=E\{l_n\leqq f(x)<l_{n+1}\},\quad\sup(l_{n+1}-l_n)=\delta$

と置けば，

$E=\sum_{0\leqq n<\infty} e_n+e_\infty.$

さて (17) から

$l_n\,\mu e_n\leqq F(e_n)\leqq l_{n+1}\,\mu e_n.$

$F(e)$ の加法性から，$F(e_\infty)=0$ を用いて

$\sum l_n\,\mu e_n\leqq F(E)\leqq \sum l_{n+1}\,\mu e_n.$

$\mu e_\infty=0$ によって，積分 $\textstyle\int_E f(x)d\mu$ も同じ限界内にあるから，$\mu e_n<\infty$ を用いて

$\left|F(E)-\int_E f(x)\,d\mu\right|\leqq \sum(l_{n+1}-l_n)\mu e_n\leqq\delta\sum\mu e_n\leqq\delta\,\mu E.$

$\delta>0$ は任意であるから，$\mu E<\infty$ を用いて，

$F(E)=\int_E f(x)\,d\mu.$

［注意］ 

$\mu E=\infty$ ならば，規約によって $E_n\uarr E,\mu E<\infty$，よって $\textstyle F(E_n)=\int_{E_n}f(x)d\mu$ から，$n\to\infty$ の極限へ行って標記の等式を得る．

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