解析概論/第9章/積分

109．積分

閉じた σ 系 $\mathrm{M}$ において測度 $\mu e$ と，集合 $E$ における点函数 とが与えられているとき，$E$ における $f(x)$ の積分を次のように定義する．

1º．

$f(x)\geqq 0$ なるとき，

$(\Delta)$

$E=e_1+e_2+\cdots+e_n$

を $E$ の任意の分割とする．すなわち $E$ を $e_i\,(i=1,2,\ldots,n)$ の有限単純和とする．そのとき，$e_i$ における $f(x)$ の値の下限を

$v_i=\inf_{x\in e_i}f(x)$

として，和

$s_\Delta = \sum_{i=1}^n v_i\mu e_i$

を作る．そうして，全ての分割 $\Delta$ に関する上限 $\sup s_{\Delta}$ を集合 $E$ の上の $f(x)$ の積分といい，それを

$\int_E f(x)\,d\mu$

と書く．ただし，$s_\Delta$ として $\infty$ を許容するが，その場合，$v_i$ または $\mu e_i$ が $\infty$ なるとき，規約 $0\cdot \infty= \infty\cdot 0= 0$（401 頁）を適用する．

2º．

$f(x)$ の符号が一定でない場合には，それを正･負の部分（400頁）に分けて，$f(x)=f^+(x)-f^-(x)$ として，

$\int_E f(x)\,d\mu = \int_E f^+(x)\,d\mu - \int_E f^-(x)\,d\mu$

によって積分を定義する．右辺の二つの積分がともに $\infty$ で，右辺が $\infty-\infty$ の形になる場合だけを除いて，この定義は有効で，積分の値は確定する．

このように定義された積分の値が有限であるとき，$f(x)$ は $E$ の上で積分有限（積分可能）であるという．

次の定理は積分の定義から，ただちに，得られるものである．

1．

$E=E_1+\cdots+E_p$ が単純和で，$E$ の上で $\textstyle \int_E f(x)d\mu$ が確定ならば

$\int_E f(x)\,d\mu= \sum_{i=1}^p f(x)\,d\mu.$

［証］

$p=2$ としてよい．また積分の定義 2．によって$f\geqq 0$ としてよい．さて $\textstyle E=\sum_{i=1}^n e_i$ を $E$ の分割 $\Delta$ として，

$e_i^{(1)}=E_1\cap e_i,\quad e_i^{(2)}=E_2\cap e_i\quad (i=1,2,\ldots,n)$

とすれば

$E_1=\sum e_i^{(1)},\quad E_2=\sum e_i^{(2)}$

は $E_1,E_2$ の分割である．それらを $\Delta_1,\Delta_2$ と書けば

$s_\Delta\leqq s_{\Delta_1}+s_{\Delta_2}\leqq \int_{E_1}+\int_{E_2}.$

$\Delta$ は任意だから，上限へ行って

$\int_E\leqq \int_{E_1}+\int_{E_2}.$

逆に $E_1,E_2$ の任意の分割を $\Delta_1,\Delta_2$ とすれば，それを合わせて $E$ の一つの分割 $\Delta$ が得られて

$s_{\Delta_1}+s_{\Delta_2}=s_\Delta\leqq \int_E.$

$\Delta_1,\Delta_2$ は任意だから上限へ行って

$\int_{E_1}+\int_{E_2}\leqq\int_E.$

故に

$\int_E=\int_{E_1}+\int_{E_2}.$

2．

$E$ において $f(x)$ が階段的で，互に異なる有限個の値 $a_1,\ldots,a_p$ を取り，

$E_i=E\{f(x)=a_i\}\quad (i=1,2,\ldots,p)$

とする．然らば $\textstyle E=\sum_{i=1}^p E_i$ は単純和だから，1．によって

$\int_E f(x)\,d\mu= \sum_{i=1}^p\int_{E_i}f(x)\,d\mu = \sum_{i=1}^p a_i\mu E_i.$

$E_i$ において $f(x)$ は定数に等しいから，$\textstyle \int_{E_i}=a_i\mu E_i$．これは積分の定義によって明白であろう．

ここで $f$ が M 函数であることを用いた．そのために $E_i$ が M 集合で，$\mu E_i$ が確定する．

3．

$E$ において $f(x)\leqq g(x)$ ならば，両辺の積分確定のとき，

(1)

$\int_E f(x)\,d\mu\leqq \int_E g(x)\,d\mu.$

［証］

$E_1=E\{0\leqq f(x)\leqq g(x)\},\, E_2=E\{f(x)< 0\leqq g(x)\},\,E_3=E\{f(x)\leqq g(x)< 0\}$ とすれば，$E=E_1+E_2+E_3$ は単純和である．さて $E_1$ では積分の定義 1．から (1) を得る．$E_2$ では積分の定義 2．から，(1) の左辺は $\leqq 0$，右辺は $\geqq 0$ だからよい．また $E_3$ では $\textstyle \int_{E_3}f(x)\,d\mu= -\int_{E_3}f^-(x)\,d\mu; \int_{E_3}g(x)\,d\mu= -\int_{E_3}g^-(x)\,d\mu$ で，$0<g^-(x)\leqq f^-(x)$ だから，(1) が成り立つ．故に 1．によって $E$ において (1) が成り立つ．

4．

$\textstyle \int_E f(x)\,d\mu$ が有限なるためには，$\textstyle \int_E|f(x)|d\mu$ が有限なることが必要かつ十分である｡

［証］

$E_1=E\{f(x)\geqq 0\},\, E_2=E\{f(x)< 0\},\,E=E_1+E_2,$ とすれば，1．によって

$\int_E|f(x)|d\mu = \int_{E_1}|f(x)|d\mu+\int_{E_2}|f(x)d\mu.$

故に，$f$ の正，負の部分 $f^+,f^-$（400頁）を用いて，

(2)

$\int_E|f(x)|d\mu = \int_{E_1}f^+(x)d\mu + \int_{E_2}f^-(x)d\mu.$

さて，(2) の左辺が有限なることは，その右辺の二つの積分が有限なることと同等であり，それは，$\textstyle \int_E f(x)d\mu$ が有限なることと同等であるから，4． が得られる．

5．

［平均値の定理］．$E$ において $f(x)$ は有界で，$m\leqq f(x)\leqq M$，また $g(x)$ は積分有限とすれば，$m,M$ の中間の或る値 $c$ をもって $(m\leqq c\leqq M)$

$\int_E f(x)|g(x)|\,d\mu= c\int_E |g(x)|\,d\mu.$

$m|g|\leqq f|g|\leqq M|g|$ だから，3．によって

$m\int_E |g|d\mu\leqq \int_E f|g|d\mu\leqq M\int_E |g|d\mu.$

さて 4．によって左右両端は有限だから，表記の等式を得る．

6．

$\mu E=0$ ならば，$\textstyle \int_E f(x)\,d\mu=0$．

積分の定義 2．によって $f\geqq 0$ としてよい．$E$ の任意の分割 $\Delta$ において，$\mu E=0$ から $\mu e_i=0$，従って（$v_i=\infty$ でも）$s_\Delta=0$．

7．

$\textstyle \int_E f(x)d\mu$ が有限ならば，$E\{f(x)=\pm\infty\}$ の測度は $0$ である．

この場合，$f^+(x),f^-(x)$ の積分が有限である．よって $f\geqq 0$ としてよい．もしも $E_1=E\{f=\infty\}$ に関して $\mu E_1\ne 0$ とするならば，$E_1$ を一つの成分とする $E$ の分割 $\Delta$ において，すでに $s_\Delta=\infty$．従って $\textstyle \int_E=\infty$．それは矛盾である．

8．

$\textstyle \int_E f(x)\,d\mu$ が有限なるとき，$e_n=E\{|f(x)|\geqq n\}$ とすれば，

$n\to\infty$　のとき　$\mu e_n\to 0.$

［証］

この場合，4．によって $\textstyle \int_E |f(x)|d\mu$ は有限である．また，任意の $n$ に関し，1．，3．によって

$\int_E|f(x)|d\mu\geqq \int_{e_n}|f(x)|d\mu\geqq \int_{e_n}n\,d\mu=n\,\mu e_n.$

故に $n\to\infty$ のとき $\mu e_n\to 0$．

上記 6．，7．，8．に関連して，次の定理を記録しておく．それは後に至って，一般的の見地から証明されるであろう（419 頁，6．および［注意］参照）．

9．

$\textstyle \int_E f(x)d\mu$ が有限で $e\subset E$ ならば

$\mu e\to 0$　のとき　$\int_e f(x)d\mu\to 0.$

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