解析概論/第9章/有界変動・絶対連続の点函数

126．有界変動・絶対連続の点函数

$R^1$ において加法的なる集合函数 $F(e)$ に対応して点函数 $f(x)$ が定義される．すなわち $e=(-\infty,x)$ なるとき $F(e)=f(x)$ とするのである．今最も興味ある場合として，$F(e)$ を連続と仮定する．すなわち $\delta e\to 0$ なるとき $F(e)\to 0$ とするのである．$\delta e$ は集合 $e$ の径，すなわち $R^1$ においては，$e$ を含む区間の幅（長さ）の下限である．故に $e$ が一点から成り立つとき，$F(e)=0$ で，$f(x)$ は点函数として連続である．

さて，$F(e)$ が有界なる $e$ に対して有限，したがって有界（定理 94）であることを仮定するならば，$F$ に対応する $f(x)$ は $e$ において有界変動である．$F$ の正負の変分 $F^+,F^-$ および絶対変分 $V=F^+ +|F^-|$ に対応する点函数を，それぞれ $f^+(x),f^-(x)$ および $v(x)$ と書けば，

$f(x)=f^+(x)+f^-(x),\quad v(x)=f^+(x)+|f^-(x)|$

で，$f^+(x),|f^-(x)|$ は単調増大である（§111）． さて，$F(e)$ を既述の意味（[[解析概論/第9章/絶対連続性 特異性|§112）で絶対連続とする．すなわち $me=0$ なるとき，$F(e)=0$．$F$ の加法性のために，それは $me\to 0$ のとき，$F(e)\to 0$ を意味するのであった（419 頁）．$F(e)$ のこの絶対連続性は，それに対応する点函数 $f(x)$ の性質として次のようにいい表わされる．――今互に重なり合わない小区間 $w_i=[x_i,x_i']$ の有限列の合併を $w$ とし，それら小区間 $w_i$ における $f(x)$ の変動の絶対値の和を

$V(w)=\sum|f(x_i)-f(x_i)|$

と書くならば，

$mw=\sum|x_i'-x_i|$

で，$F(e)$ の絶対連続性によって，$mw\to 0$ のとき，$V(w)\to 0$．詳しくいえば，任意の $\varepsilon>0$ に対応して $\delta$ が定められて，

(1)

$mw<\delta$　なるとき　$V(w)<\varepsilon$

ならしめうるのである．函数 $f(x)$ のこの性質を Vitali が絶対連続と名づけた．これが絶対連続という用語の由来である．すなわち，Vitali の意味で絶対連続なる点函数に対応する集合函数 $F(e)$ が絶対連続と名づけられたのである．

逆に $f(x)$ が絶対連続ならば，$F(e)$ も絶対連続である．――まず $f(x)$ が絶対連続だから，(1) において $\varepsilon$ を固定して，それに対応する $\delta$ を取って，任意の区間を長さが $\delta$ を超えない小区間に分けて，それらの区間の数を $p$ とするならば，その区間における任意の小区間群 $\textstyle w=\sum w_i$ に関して，$V(w)\leqq p\varepsilon$ だから，$f(x)$ は有界変動である．故に $f(x)$ が単調増大なる場合を考慮すればよいが，そのとき $F(e)\geqq 0$ だから，今 $mE=0$ とするならば，$E\subset G_n,mG_n\to 0$ なる開集合 $G_n$ の列があって，$F(G_n)\to 0$．故に $F(E)=0$．すなわち $F$ は絶対連続である．

同様の意味で，特異なる集合函数 $F(e)$ に対応する点函数 $f(x)$ をも特異というならば，$f(x)$ に関しては，$K$ を任意の区間とするとき，任意の $\varepsilon>0$ に対して $m(K-w)<\varepsilon$ で，$V(w)<\varepsilon$ なる区間列 $w$ が $K$ 内に存在する．

さて区間 $K$ において $f(x)$ を連続とする．その区間内で $x$ を固定し，$h$ を動かして，

$\Delta(x,h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

と書いて，

1）

$\bar{D}_f^+(x)=\varlimsup_{h\to+0}\Delta(x,h),$

2）

$\underline{D\!}\,_f^+(x)=\varliminf_{h\to+0}\Delta(x,h),$

3）

$\bar{D}_f^-(x)=\varlimsup_{h\to-0}\Delta(x,h),$

4）

$\underline{D\!}\,_f^-(x)=\varliminf_{h\to-0}\Delta(x,h)$

と置く．$h\to+0$ は‘$h>0,h\to 0$’の略記，$h\to-0$ は‘$h<0,h\to 0$’の略記である．

もしも 1），2） が一致するならば，その共通の値を $D_f^+(x)$ と書く．それは $x$ における $f(x)$ の右への微分商である．同様に3），4）が一致すれば，その共通の値 $D_f^-(x)$ は左への微分商である．もしも 1）―4）がすべて一致すれば，その共通の値 $D_f(x)$ はすなわち $x$ における $f(x)$ の微分商で，その場合 $f(x)$ は $x$ において微分可能である．狭い意味では，$D_f(x)$ が有限なることを要求し，広い意味では $\pm\infty$ をも許容する．

今，$f(x)$ が集合函数 $F(e)$ に対応するとするならば，1）―4）は §122 に述べた $F(e)$ の微分商の特別の場合，あそこの $e$ を $[x,x+h]$ または $[x-h,x]$ に限定した場合で，これらの $e$ の正則性の指数は $\tfrac12$ である．

このように $h$ が限定された結果として，導函数は B 函数である．例えば $\bar{D}^+$ に関していえば $\varlimsup$ の意味によって，$h$ を有理数に限ってもよいが，$f$ の連続性から，$\Delta(x,h)$ は $x$ に関して連続で、$\bar{D}^+(x)$ は連続函数列の $\varlimsup$ として B 函数である（§117）．

以上を前置きとして，$f(x)$ を区間 $K=[a,b]$ において連続かつ有界変動として，$f(x)$ に対応する（完全）加法的集合函数 $F(e)$（§121 参照）に §§124，125 の定理を適用すれば，次のような結果が得られる．

1．

区間 $K$ において連続かつ有界変動なる函数 $f(x)$ は，ほとんど常に微分可能で，微分商はほとんど常に有限である．

2．

区間 $t_0\leqq t\leqq t_1$ において $\varphi(t),\psi(t)$ が連続かつ有界変動ならば，$x=\varphi(t),y=\psi(t)$ によって定義される曲線はほとんど各点で接線を有する．

3．

区間 $[a,b]$ の点を $x$ とすれば

$f(x)-f(a)=\mathit\Phi(x)+\int_a^x\Delta(x)\,dx.$

右辺の $\Delta(x)$ は前頁 1）―4）の四つの微分商の中のどれでもよい．$\textstyle \int_a^x$ は $[a,x]$ における L 積分で，$\mathit\Phi(x)$ は特異函数である． 特に $f(x)$ が $f'(x)$ の Lebesgue の意味の不定積分であるためには，$f(x)$ が絶対連続であることが必要かつ十分である．

4．

特異函数は，ほとんど常に微分可能で，微分商は 0 に等しい．

最後に，特異函数 $\mathit\Phi(x)$ のなるべく手近な実例を作るために，§115 に述べた三進集合 $E$ を考察する．区間 $K=[0,1]$ において三進集合 $E$ を作るために，次々に $K$ から取り去った区間は第 $n$ 回には $2^{n-1}$ 個であったが，それらの区間において $\mathit\Phi(x)$ の値を左から順に $1/2^n,3/2^n,\ldots,(2^n-1)/2^n$ とする．すべての $n$ に関して，このように $\mathit\Phi(x)$ の値を決めるならば，$\mathit\Phi(x)$ は $K$ において稠密に分布される $E'$（余集合）において決定するが，それを $K$ において連続なる $\mathit\Phi(x)$ に拡張することができる．この $\mathit\Phi(x)$ は $K$ において単調に $0$ から $1$ まで増大し，零集合 $E$ 以外の各点では $\mathit\Phi'(x)=0$．$E$ の点では一般に $\mathit\Phi'(x)=\infty$ であるが，$E'$ を組成する区間の端では，右または左への微分商が $0$ になるであろう．