解析概論/第9章/微分法の定義

122．微分法の定義

$R^n$ において，集合函数 $f$ が与えられたとき，点 $x$ における $f$ の密度ともいうべきものを考察して，$R^n$ における点函数を導き出すことができる．例えば，$x$ を中心とする $n$ 次元立方体（区間の意味でいう）を $e$ として，$e$ が $x$ に収束するとき

$\frac{f(e)}{m(e)}$

の極限を考察する．そうして $me\to 0$ のとき，

$\bar{D}_{f}(x)=\varlimsup\frac{f(e)}{m(e)},\quad \underline{D\!}\,_{f}(x)=\varliminf\frac{f(e)}{m(e)}$

を点 $x$ における $f$ の上・下微分商といい，両者が一致するとき，その共通の値

$D_f(x)=\lim\frac{f(e)}{m(e)}$

を単に微分商という．$x$ が変動するとき，これらの微分商を点 $x$ の函数とみて，それを $f$ の導函数という．

上記の定義において，$x$ に収束させる $e$ を立方体に限る必要はない．例えば，$x$ を中心とする $n$ 次元の球としてもよい．これらはいわゆる対称的微分商であるが，最も一般には，$x$ を含む任意の集合 $e$ を取ってもよい．ただし $me\to 0$ なるとき，$e$ の形に若干の制限を加えることが適切でもある．$e$ があまりに極端な形を取ることを防ぐためには，集合 $e$ を包む最小の立方体を $w$ として，

$\alpha(e)=\frac{m(e)}{m(w)} > 0$

をかりに $e$ の正則性の指数 と名づけて，それが $0$ でないことを要求する．これは十分寛大な制限である．以下，我々は $x$ に収束する閉集合の列 $\{e_n\}$ において，$\alpha(e_n)$ が一定の正数（$\ne 0$）よりも小でないとき，$\{e_n\}$ を正則といい，$\alpha(e_n)$ の下限 $\alpha(>0)$ を $\{e_n\}$ の正則性の指数という．

以下，集合函数 $f$ は少なくともすべての B 集合に対して定義されているものとし，また微分商に関しては $x$ に収束する集合 $e$ を正則なる閉集合に限定して

(1)

$\bar{D}_f(x)=\varlimsup_{me\to 0}\frac{f(e)}{m(e)},\quad \underline{D\!}\,_f(x)=\varliminf_{me\to 0}\frac{f(e)}{m(e)},$

$D_f(x)=\lim_{me\to 0}\frac{f(e)}{m(e)}$

を一般的に上，下，または単に導函数という．極限値として $\pm\infty$ を許容すれば，$\bar{D}_f,\underline{D\!}\,_f$ は各点 $x$ において確定するが，$D_f$ は必らずしも存在しない．$D_f$ が存在するとき，$f$ は $x$ において微分可能であるという．通例は $D_f(x)\ne\pm\infty$ を要求するが，広義では $D_f(x)=\pm\infty$ をも許容する．

導函数を導くために集合 $e$ に課せられる制限が加重するに従って，$\underline{D\!}$ は増大（不減少）し，$\bar{D}$ は減少（不増大）することは当然である．

［附記］ 

上記 (1) における $\varlimsup$ の意味は明瞭であろうけれども，念のために説明をする．簡明のために $f(e)/m(e)$ を$F(e)$ と略記する．$x$ を含んで $x$ に収束する正則なる閉集合を一般的に $e$ と書いたのだが，なお精密に $x$ を中心とする半径 $\rho$ の円（二次元に即していう）に含まれる $e$ の全体を $S(\rho)$ とする（点 $x$ をも正則なる閉集合と見られないでもなかろうが，それは $S(\rho)$ から除外する）．そうして $S(\rho)$ に属する $e$ に対する $F(e)$ の値の集合（値域）の上限を $M(\rho)$ とすれば，それは $\rho$ が減少するに従って単調に減少する．そこで $\textstyle M=\lim_{\rho\to 0}M(\rho)$ とすれば，

(2)

$\bar{D}_f(x)=M.$

これが (1) の意味である．$\bar{D}_f(x)$ はまた数列の $\varlimsup$ に基づいて

(3)

$\bar{D}_f(x)=\sup_{\{e_n\}}\bigl(\varlimsup_{n\to\infty}F(e_n)\bigr) \quad (e_n\to x)$

としても定義される．ここで $\{e_n\}$ は $x$ に収束する正則なる閉集合の列である．(3) は (1) の左の式と同等である．実際，まず $e_n$ を含む上記の円の最小半径を $\rho_n$ とすれば $e_n\in S(\rho_n)$．従って $F(e_n)\leqq M(\rho_n)$．故に $\textstyle \varlimsup_{n\to\infty}F(e_n)\leqq \lim_{n\to\infty}M(\rho_n)=M$．

さて，一方において，$\rho_n\to 0$ とすれば，$\textstyle e_n\in S(\rho_n), M(\rho_n)-\varepsilon < F(e_n)\leqq M(\rho_n)$ なる $e_n$ があるが，$n\to\infty$ の極限へ行って $\textstyle M-\varepsilon \leqq \varliminf_{n\to\infty}F(e_n) \leqq \varlimsup_{n\to\infty}F(e_n) \leqq M$，$\varepsilon >0$ は任意に取れるから $\textstyle \lim_{n\to\infty}F(e_n)=M$．すなわち (3) における $\sup$ は実は $\mathrm{Max}$ で，$\bar{D}_f(x)$ は或る集合列 $\{e_n\}$ に関する $\textstyle \lim_{n\to\infty}F(e_n)$ に等しい．

$\underline{D\!}\,_f(x)$ に関しても同様である．

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