解析概論/第9章/加法的集合類(σ系)

106．加法的集合類（$\sigma$系）

$\Omega$ の部分集合の一類 M が次の条件に適合するとき， それを $\sigma$系（または加法的集合類）といい $\sigma$系 M に属する集合を M 集合系と略称する ．

1°．M集合の列 $\{e_n\}$ の合併はM集合である．すなわち

$e_n \in \text{M}\ (n=1,2,$…) ならば $\cup e_n \in \text{M}$．

2°．M集合の差はM集合である．すなわち

$e_1 \in \text{M},\ e_2\in \text{M}$ ならば $e_1-e_2 \in \text{M}$．

特に，空集合は $e_1-e_1$ として M に属する．

前節 (5)，(6) によって， $e_n\in \text{M}$ なるとき，$\cap e_n,\ \overline{\lim}e_n,\ \underline{\lim}e_n$ も M 集合である．

M の中に最大の集合 $\omega$ があるとき（すなわち$e \in \text{M}$ ならば $e \subset \omega$），M を 閉じた$\sigma$系 という．この場合には 2°を次の条件で置き換えてよい．

2'．M は $e$ と同時に，$\omega$ に対する $e$ の余集合 $e'$ を含む．

実際，$e_1 \in \text{M},\ e_2\in \text{M}$ ならば $e' \in \text{M}$ で， $e_1-e_2 =(e_1'\cup e_2)'\in \text{M}$．

$\Omega$ の部分集合の任意の一組 $S$ があたえらるとき，$S$に属する集合から，列の合併および引算（差を作ること） によって，次から次へと週ずる集合の全体は，一つの$\sigma$系を成すであろう．それは$S$を含む最小の$\sigma$系（$S$から生ずる$\sigma$系）である．

$\Omega$のすべての集合は一つの$\sigma$系を成すが，それは$S$を含む．このように$S$を含む$\sigma$系は確かに存在するから，$S$を含むすべての$\sigma$系の共通部分は，すなわち$S$から生ずる$\sigma$系である．

$S$に属する集合列の合併として生ずる集合を一般的に$S_{\sigma}$，またその交わりとして生ずる集合を$S_{\delta}$というように書けば，$S_{\sigma},S_{\sigma\delta},S_{\sigma\delta\sigma},\cdots,S_{\delta},S_{\delta\sigma},S_{\delta\sigma\delta},\cdots,$ またそのようにして，すでに生じた一組の $T$ からさらに生ずる$T_{\sigma},T_{\delta},\cdots$は，みなこの$\sigma$系に属する． （故にこの最小$\sigma$系でも，ほとんど無際涯というべきで，いささか心もとない．すでにできている$\sigma$系ならば安心である！）

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