解析概論/第9章/加法的集合函数の微分法

[編集] 124．加法的集合函数の微分法

準備として，B 集合に関する次の考察を挿入する． $F(e)\geqq 0$ を正なる加法的集合函数^{[* 1]}とする．一般的に開集合を $G$ ，閉集合を $E$ で表せば，

$\inf_{G\supset e}F(G)\geqq F(e)\geqq \sup_{E\subset e}F(E)$

であるが，B 集合 $e$ に関しては

(1)

$\inf_{G\supset e}F(G) = \sup_{E\subset e}F(E)$

が成り立つ．それを見るために，(1) を成立せしめる L 集合 $e$ の一類を $S$ とする．

任意の閉区間 $w$ は $S$ に属する．実際， $G_n\darr w$ なる列 $\{G_n\}$ があるから，定理 95によって，

$\inf_{G\supset w}F(G)=F(w)=\sup_{E\subset w}F(E).$

さて， $S$ は σ 系をなす． $G\supset e\supset E$ から $G'\subset e'\subset E'$ だから， $e$ と共に余集合 $e'$ が $S$ に属する．次に， $\textstyle e_i\in S, e=\bigcup e_i$ とすれば， $e\in S$ である．実際， $\textstyle \varepsilon_i > 0, \sum \varepsilon_i =\varepsilon$ とすれば，(1) によって， $e_i\in S$ から

$G_i\supset e_i\supset E_i,\quad F(G_i-E_i) < \varepsilon_i$

なる $G_i,E_i$ がある．今， $\textstyle G=\bigcup G_i, H=\bigcup E_i$ とすれば，

$G\supset e\supset H,\quad G-H\subset\bigcup(G_i-E_i),$

$F(G-H)\leqq \sum F(G_i-E_i) < \sum\varepsilon_i = \varepsilon.$

然るに $H$ は閉集合の増加列の極限だから，

$H\supset H, \quad F(H-E) < \varepsilon$

なる $E$ があって（定理 95）， $F(G-E)=F(G-h)+F(H-E)<2\varepsilon$ である．すなわち

$G\supset e\supset E,\quad F(G-H)< 2\varepsilon$

なる $G,E$ がある． $\varepsilon$ は任意だから，(1) が成り立ち， $e\in S$ である．

任意の閉区間が $S$ に属するから， $S$ は少なくともすべての B 集合を含む．すなわち $e$ が B 集合なら (1) が成り立つ．

定理 114．

（予備定理） $F(e)\geqq$ を正なる加法的集合函数とし，任意の集合 $A$ の各点において $\bar{D}_F(x)\geqq a > 0$ とすれば， $\bar{m}A<\infty$ で， $A$ を含む B 集合 $e$ 関して， $F(e)\geqq a\bar{m}A$ ．

［証］

$e$ を集合 $A$ を含む B 集合とする．然らば，任意の $\varepsilon > 0$ に対応して，(1) によって，

(2)

$e\subset G,\quad F(e)>F(G)-\varepsilon$

なる開集合 $G$ がある．また任意に $0<b<a$ なる $b$ を取れば，仮定によって， $A$ の各点 $x$ に収束する正則なる閉集合 $E$ の列があって， $F(E)>bmE$ ．これらの集合の中から $G$ に含まれる単純列 $\{E_n\}$ を取って，ほとんど $A$ を覆うことができる（定理 113）．故に (2) から

(3)

$F(e) > F(G)-\varepsilon \leqq \sum F(E_n)-\varepsilon > b\sum mE_n-\varepsilon \leqq b\bar{m}A-\varepsilon.$

仮定により $F(e)<\infty$ だから $\bar{m}A<\infty$ ，また $\varepsilon$ は任意， $b < a$ も任意だから， $F(e)\leqq a\bar{m}A$ ．

［注意］

もしも $A$ において $\bar{D}_F(x)=\infty$ ならば， $\bar{m}A=0$ ．実際，この場合，任意の $M > 0$ に関して $F(e)\leqq M\bar{m}A$ ． $F(e)$ は有限だから $\bar{m}A=0$ ．

定理 115．

（予備定理） $F$ は前の定理の通りとする．任意の集合 $A$ において $\underline{D\!}\,_F(x)\leqq a, (a>0)$ ，ならば，ほとんど $A$ を覆う B 集合 $e$ が存在して

$A\simeq A_0\subset e,\quad F(e)\leqq a\bar{m}A$

になる。

［証］

$\bar{m}A<\infty$ として証明すればよい．そのとき任意の $\varepsilon>0$ に対して，

$A\subset G,\quad \bar{m}A > mG-\varepsilon$

とする． $b>a$ とすれば，仮定によって， $A$ の各点に収束する正則なる閉集合 $E$ の列があって， $F(E)\leqq bmE$ だが，それらのうち， $G$ に含まれる単純列 $\{E_n\}$ を取って，ほとんど $A$ を覆うことができる（定理 113）．そこで $\textstyle e=\sum E_n$ とすれば

$F(e)\leqq b\sum mE_n = bme\leqq bmG < b(\bar{m}A+\varepsilon).$

今， $\varepsilon=\tfrac{1}{n}, b=a+\tfrac{1}{n}$ に対応する $e$ を $e_n$ と書いて，改めて $\varliminf e_n$ とする．すなわち

$A\simeq A_n\subset e_n,\quad F(e_n)\leqq \left(a+\frac{1}{n}\right)\left(\bar{m}A+\frac{1}{n}\right),$

従って $A_0=\varliminf A_n$ とすれば，

$A\simeq A_0\subset e, \quad F(e)=F(\varliminf e_n)\leqq \varliminf F(e_n)\leqq a\bar{m}A.$

定理 116．

加法的なる集合函数は，ほとんど各所で微分可能である［Lebesgue の定理］．

［証］

$F\geqq 0$ を加法的なる集合函数とする．今

$\bar{D}_F(x)>\underline{D\!}^\,_F(x)$

なる点 $x$ の集合を $A$ とする．もしも $\bar{m}A\ne 0$ とするならば，或る有理数 $r,s(>0)$ に関して

$\bar{D}_F(x)>r>s>\underline{D\!}\,_F(x)$

なる点 $x$ の集合を $A_0$ とするとき， $\bar{m}A_0>0$ ．また， $\bar{m}A_0<\infty$ （定理 114）．

然らば，ほとんど $A_0$ を覆う或る B 集合 $e$ に関して（定理 115）

$F(e)\leqq s\bar{m}A_0,$

一方， $A_0\cap e\subset e$ から（定理 114）

$F(e)\geqq r\bar{m}(A_0\cap e)=r\bar{m}A_0.$

従って

$r\bar{m}A_0\leqq s\bar{m}A_0.$

$r>s,\infty >\bar{m}A_0>0$ だから，これは不合理である．故に $mA=0$ ，すなわち

$\bar{D}_F(x)\simeq \underline{D\!}\,_F(x).$

$F$ の符号が一定でないならば，

$F(e)=F^+(e)+F^-(e),\quad F^+(e)\geqq 0,\quad -F^-(e)\geqq 0$

で， $D_F(x)=D_{F^+}(x)+D_{F^-}(x)$ ．故に定理は成り立つ．

［注意］

$D_F(x)$ はほとんど常に有限である（前頁，［注意］）．

定理 117．

$\{F_n\}$ が加法的集合函数の単調列で，

$\lim_{n\to\infty}F_n(e)=F(e)$

ならば

$D_F(x)\simeq \lim_{n\to\infty}D_{F_n}(x).$

［証］

$\{F_n\}$ を増大列として，

$f_n(e)=F(e)-F_n(e)$

と置けば（減少列の場合には $f_n=F_n-F$ と置く）， $f_n\geqq 0, f_n\to 0$ で， $\{f_n\}$ は減少列である．故に $\bar{D}_{f_n}(x)\geqq 0$ も $n$ に関して減少列である．そこで

$\lim_{n\to\infty}\bar{D}_{f_n}(x)\simeq 0$

を示せばよい．

もしも，これが真でないとするならば，或る $a>0$ に関して

$x\in A,\quad \bar{m}A>0,\quad \bar{D}_{f_n}(x)>a.\quad (n=1,2,\ldots)$

なる集合 $A$ が存在すべきである．然らば（定理 114）， $A\subset e$ なる任意の B 集合 $e$ に対して，

$f_n(e)\geqq a\bar{m}A.\quad(n=1,2,\ldots)$

$f_n(e)\to 0$ だからこれは不合理である．

定理 118．

$F(e)$ は加法的で，L 集合 $E$ の内で常に 0 に等しいとする．すなわち $e\subset E$ ならば $F(e)=0$ ．然らば， $E$ において $D_F(x)\simeq 0$ ．

［証］

$F\geqq 0$ として十分である．或る B 集合 $B$ をとって， $E\supset B, m(E-B)=0$ とする（§117）． $x\in B$ かつ $D_F(x)>\tfrac{1}{n}$ なる $x$ の集合を $A_n$ とすれば， $F(B)\geqq \tfrac{1}{n}\bar{m}A_n$ （定理 114）．仮定により $F(B)=0$ だから， $\bar{m}A_n=0$ ．さて， $x\in B, D_F(x)>0$ なる $x$ の集合は $\{A_n\}$ の合併であるから，それは零集合である．故に $B$ において $D_F(x)\simeq 0$ ．然るに $m(E-B)=0$ だから， $E$ において $D_F(x)\simeq 0$ ．

定理 119．

特異函数 $F$ に関しては $D_F(x)\simeq 0$ ．

［証］