解析概論/第9章/加法的集合函数

111．加法的集合函数

σ 系 $\mathrm{M}$ における加法的集合函数 $F(e)$ の定義は既に述べた（403 頁），すなわち

(1º)

単純和 $\textstyle e=\sum e_n$ に関して $\textstyle F(e)=\sum F(e_n)$．

これより後，簡単のためこの定義に次の条件を追加する．

(2º)

一つの $\mathrm{M}$ 集合 $E$ の内で，$F(e)$ は有限である： $e\subset E, e\in \mathrm{M}$ ならば $F(e)\ne\pm\infty.$

この条件のために次の定理が成り立つ．

定理 94．

$F(e)$ は $E$ において有界である．すなわち一つの定数 $m$ をもって，$e\subset E$ なるとき，$|F(e)|<m$．

［証］

$|F(E)|=c$ と置けば定義の (2º) によって $c\ne\infty$，もしも $F(e)$ が有界でないとするならば，任意の $\eta>0$ をもって

$e_1\subset E,\quad |F(e_1)|> c+\eta$

なる $e_1$ が存在する．従って

$F(e_1)+F(E-e_1)=F(E)$

から

$|F(E-e_1)|>\eta.$

そうして $e_1$ または $E-e_1$ の内で $F$ は有界でないはずである．今両者のうちで $F$ が有界でないほうを改めて $e_1$ と書いて，同様の考察を継続すれば，

(1)

$e_1\supset e_2\supset\cdots\supset e_n\supset\cdots, \quad |F(e_n-e_{n+1})|>\eta$

なる集合列 $\{e_n\}$ を得る．そこで $e_0=\lim e_n$ とすれば

$e_1-e_0=\sum_{n=1}^\infty(e_n-e_{n+1})$

は単純和だから，

$F(e_1-e_0)=\sum F(e_n-e_{n+1})$

であるべきであるが，(1) によって右辺は収束しない．これは不合理である．

定理 95．

$F$ が加法的ならば，

$e_n\to e$　のとき　$F(e_n)\to F(e).$

［証］

$F$ が常に正： $F(e)\geqq 0$ なるときは，$F$ は有限であることを用いて，定理 87 で $\nu e$ に関して述べたのと同様である．$F$ の符号が一定でないときには，次の定理 96 によって $F\geqq 0$ の場合に帰する．

加法的集合函数 $F(e)$ が与えられているとき

(2)

$F^+(E)=\sup_{e\in E}F(e),\quad F^-(E)=\inf_{e\in E}F(e)$

によって，集合函数 $F^+,F^-$ が定義される．$e=0$ を空集合とすれば，$F(0)=0$ だから，上記の $sup$ は $\geqq 0$，$\inf$ は $\leqq 0$，従って

(3)

$F^+(E)\geqq 0,\quad F^-(E)\leqq 0.$

定義．

$F^+,F^-$ をそれぞれ $F$ の正の変動（または変分），負の変動といい，また $V(E)=F^+(E)+|F^-(E)|$ を $F(E)$ の絶対変動（または全変動）という．

定理 96．

$F(E)=F^+(E)+F^-(E).$

［証］

$E=E_1+E_2$ を単純和とすれば，

$F(E)=F(E_1)+F(E_2).$

$E_2\subset E$ だから，(2) によって

$F(E_2)\leqq F^+(E),\quad F(E_2)\geqq F^-(E).$

故に

$F(E)-F^-(E)\geqq F(E_1)\geqq F(E)-F^+(E).$

$E_1$ は $E$ の任意の部分集合（M 集合）だから，上限，下限へ行って

$F(E)-F^-(E)\geqq F^+(E),\quad F^-(E)\geqq F(E)-F^+(E).$

故に標記の等式が成り立つ．

定理 97．

$F^+,F^-,V$ は加法的である．

［証］

$\textstyle E=\sum E_n$ を単純和とし，$F^+(E)=g,F^+(E_n)=g_n$ と書いて，$\textstyle g=\sum g_n$ を証明する． 任意に $\varepsilon>0$ を取って $\textstyle \varepsilon=\sum \varepsilon_n,\varepsilon_n>0$ とする．然らば上限としての $F^+$ の意味によって，

$e_n\subset E_n,\quad F(e_n)>g_n-\varepsilon_n\quad(n=1,2,\ldots)$

なる $e_n$ がある．そこで $\textstyle e=\sum e_n$ とすれば，これも単純和で，$e\subset E$ だから，

$g\geqq F(e)=\sum F(e_n)>\sum g_n-\varepsilon.$

故に $\textstyle \sum g_n$ は収束するが，$\varepsilon>0$ は任意だから $\textstyle g\geqq \sum g_n$． 逆に $e\subset E, F(e)>g-\varepsilon, eE_n=e_n$ とすれば，$\textstyle e=\sum e_n$ は単純和で，

$g-\varepsilon < F(e)=\sum F(e_n) \leqq \sum g_n.$

$\varepsilon$ は任意だから $\textstyle g\leqq \sum g_n$．故に $\textstyle g=\sum g_n$．すなわち $F^+(E)$ は加法的である．従って $F^-=F-F^+, V=F^++|F^-|$ も加法的である．

定理 98．

上下限 $F^+(E),F^-(E)$ は $E$ 内で到達される．すなわち

1º

$E=P+N$ なる分割があって［Hahn の分割］，

$F^+(E)=F(P),\quad F^-(E)=F(N).$

2º

$e\subset P$ ならば，$F(e)\geqq 0$，$e\subset N$ ならば，$F(e)\leqq 0$．

3º

$e\subset E$ なる $e$ に関しては

$F^+(e)=F(eP),\quad F^-(e)=F(eN).$

［証］

(4)

$E=P+N,\quad F^+(N)=0,\quad F^-(P)=0$

なる $P,N$ の存在を示せばよい．そうすれば（定理 96）

$\begin{align} F(P)=F^+(P)+F^-(P)=F^+(P),\\F(N)=F^+(N)+F^-(N)=F^-(N). \end{align}$

また一方（定理 97）

$\begin{align} F^+(E)=F^+(P)+F^+(N)=F^+(P),\\F^-(E)=F^-(P)+F^-(N)=F^-(N) \end{align}$

だから 1º が得られる．

2º も (4) から得られる．実際，(4) から $F^-(P)=0$ だから，$e\subset P$ なるとき $F(e)\geqq 0$．同様に $F^+(N)=0$ だから，$e\subset N$ なるとき $F(e)\leqq 0$．

次に，$e'\subset eP$ ならば，2º によって $F(e')\geqq 0$，従って $F^-(eP)=0$．また $e'\subset eN$ ならば $F(e')\leqq 0$．故に $e=eP+eN$ は $e$ の Hahn 分割である．それが 3º である．

さて (4) を満足せしめる $P,N$ を求めよう．$F^+(E)=g$ と置く．そのとき $1$ より小なる一定の $\varepsilon$ に対して

$F(e_n)>g-\varepsilon^n\quad(1>\varepsilon>0)$

なる集合列 $e_n$ が $E$ 内にある．そうして

$F^+(e_n)>g-\varepsilon^n,\quad F^+(E-e_n)<\varepsilon^n.$

今

$P=\varliminf e_n,\quad N=E-P$

とする．然らば任意の $p$ に関して

$N=\varlimsup(E-e_n)\subset \bigcup_{p\leqq n<\infty}(E-e_n).$

故に

$0\leqq F^+(N)\leqq \sum_{p\leqq n<\infty}F^+(E-e_n) <\sum_{n=p}^\infty \varepsilon^n =\frac{\varepsilon^n}{1-\varepsilon}.$

$1>\varepsilon>0$ で $p$ は任意だから，$p\to\infty$ の極限へ行って，$F^+(N)=0$． 一方，$F^+(e_n)\leqq g, F(e_n)=F^+(e_n)+F^-(e_n)>g-\varepsilon^n$ から，$-F(e_n)<\varepsilon^n$．よって 404 頁 (2) と同様に（あそこの $\mu$ に $-F^-$ をあてて），

$\varepsilon^n\geqq\varliminf(-F^-(e_n))\geqq -F^-(\varliminf e_n)=-F^-(P)\geqq 0.$

従って $n\to\infty$ に行って $F^-(P)=0$．

すなわち $P,N$ は (4) に適合する．