解析概論/第9章/不定積分の微分法

125．不定積分の微分法

定理 120．

［密度定理］．L 集合 $E$ の定義函数を $\varphi(x)$ として，$F(e)=m(Ee)$ と書けば，

$D_F(x)\simeq \varphi(x).$

すなわち $E$ の内では $D_F(x)\simeq 1$，余集合 $E'$ の内では $D_F(x)\simeq 0$．

［証］

$F'(e)=m(E'e)$ と置けば

$F(e)+F'(e)=m(Ee)+m(E'e)=m(e).$

故に $F,F'$ が微分可能なる点において，すなわち，ほとんど各所（定理 116），

(1)

$D_F(x)+D_{F'}(x)\simeq 1.$

さて，$E'$ においては $F(e)=m(Ee)=m(0)=0$．従って（定理 118）$D_F(x)\simeq 0$．また $E$ においては $F'(e)=0$，従って $D_{F'}(x)=0$，従って (1) から $D_F(x)\simeq 1$．

（証終）

定理 121．

$f(x)$ を積分可能（有限）なる点函数，

$F(e)=\int_e f(x)\,dm$

とすれば，

$D_F(x)\simeq f(x).$

［証］

(1º)

$E$ の定義函数を $\varphi(x)$ とすれば

$F(e)=m(Ee)=\int_e f(x)\,dm$

で密度定理に帰する．

(2º)

$f(x)$ が階段的で，$x\in E_i$ なるとき，$f(x)=a_i\,(i=1,2,\ldots, p)$ とする．然らば $\varphi_i(x)$ を $E_i$ の定義函数とすれば，

$f(x)=\sum_{i=1}^{n}a_i\varphi_i(x).$

故に

$F(e)=\int_e f(x)dm = \sum a_i\int_e \varphi(x)dm.$

従って (1º) によって

$D_F(x)\simeq \sum a_i\varphi_i(x) = f(x).$

(3º)

一般の場合には，$f(x)\geqq 0$ として証明すればよいから，$f(x)$ を階段的なる函数 $f_m(x)$ の増大列の極限とする（定理 83）．然らば

$F(e)=\int_e f(x)dm.\quad F_n(e)=\int_e f_n(x)dm$

と置くとき，

（定理 88）

$F(e)=\lim F_n(e).$

故に（定理 117）

$D_F(x)\simeq \lim_{n\to\infty}D_{F_n}(x)\simeq \lim_{n\to\infty}f_n(x)= f(x).$

定理 122．

加法的なる集合函数 $F(e)$ の導函数 $D_F(x)$ は積分可能で，$F(e)$ は $D_F(x)$ の不定積分と一つの特異函数との和に等しい．

［証］

定理 99，100 によって

$F(e)=F(eH)+\int_e f(x)\,dm$

で，$F(eH)$ は特異函数である．故に定理 119，定理 121 によって

$D_F(x)\simeq f(x).$

従って

$F(e)=F(eH)+\int_e D_F(x)\,dm.$

右辺の積分において，$e$ 内の或る零集合 $e_0$ では $D_F(x)$ が存在しないこともありうるが，そのような $e_0$ は積分範囲 $e$ から除くべきである．それを了解の上で，上記のように書いた．$\bar{D}_F(x),\underline{D\!}\,_F(x)$ は常に存在して，

（定理 116）

$\bar{D}_F(x)\simeq \underline{D\!}\,_F(x)\simeq D_F(x)$

であるから，積分記号の下へ $\bar{D}_F(x)$ または $\underline{D\!}\,_F(x)$ を入れてもよい．

以上，我々は $D_F(x)$ を 446 頁に述べた一般的の意味に取ったが，あるいはそれを狭義にしても，結果は同じである．狭い意味を，かりに記号 ${}^0$ で示せば，

$\bar{D}_F(x)\simeq \bar{D}_F^0(x)\simeq \underline{D\!}\,_F^0(x)\simeq \underline{D\!}\,_F(x).$

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