解析概論/第9章

第 9 章 Lebesgue 積分

I．概括論

105．集合算

我々の目標は Euclid 空間の点集合にあるのだけれども，本節（§105-112）の概括論においては，まず抽象的に任意の集合を考察する．任意といっても，一つの集合 $\Omega$ を取って，それの部分集合のみを考察の対象とする．

以下，集合 $\Omega$ と，その元 $x$ とを，一つの空間 ($\Omega$) と，その空間の点 ($x$) とに当てはめて考えるならば，わかりよいだろう．もっとも，$\Omega$ をただちに一つの（抽象的）空間，$x$ をその空間の点と称することに，何等の差し障りもない．

$x$ が集合 $A$ の元であることを $x \in A$ と書く．$x \in A$ の否定を $x \notin A$ と書く．

$A$ が $B$ の部分集合なること（$x \in A$ ならば $x \in B$）を $A \subset B$ と書き，$A$ は $B$ に含まれるという．$A \subset B$ かつ $B \subset A$ のとき，集合 $A$ と $B$ とは相等しいという：記号 $A = B$．従って $A = B$ なる場合にも $A \subset B$ である．

合併（和）

集合 $A, B, \ldots$ のどれかに属する元の全部をもって，一つの集合を作ることができる．それを $A, B, \ldots$ の合併といい，$A \cup B \cup \cdots$ と書く．集合の合併は交換律および結合律に従う．

集合が有限個または可算個あるときには，それらに番号をつけて $A_n (n=1,2,\dots)$ と書いて，その全体を集合の列 $\{ A_n\}$ という．この列の集合の合併を $\textstyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$（あるいは略して $\textstyle \bigcup A_n$）と書くが，番号のつけ方は随意である．なかんずく，重要なのは $A_i, A_j (i \neq j)$ に共通の元がない場合で，そのとき $\{ A_n\}$ を単純列，またその合併を単純和と省略して，特に記号 $\textstyle +, \sum$ を用いる．

共通部分（積）

集合 $A, B, \ldots$ のどれにも属する元の全部をもって，一つの集合を作ることができる．それを $A, B, \ldots$ の共通部分または交わりといい，$A \cap B \cap \cdots$（または積の形に $AB\cdots$）と書く．集合列 $\{ A_n\}$ の場合には $\textstyle\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n$ と書く．$A,B$ に共通の元がないときは，交わりはないが，陳述の便宜上，交わりは空集合であるといい，数字 $0$ を流用して，それを $0$ と書く．集合の積に関しても，交換律および結合律が成り立つ．

余集合

集合 $A$ に属しない$\Omega$ の元全体は一つの集合を成す．それを $A$ の余集合といい，それを $\mathrm{C}A$ と書くのが慣例であるが，本書ではおりおり簡明に $A'$ とも書く．

$\Omega$ の各元 $x$ は，$A$ か $A'$ か，どちらか一方に属する．すなわち $x \notin A$ は $x \in A'$ と同値である．もちろん，$(A')' = A$．

次の互に双対的なる二つの等式は明白であろう．

(1)

$(A \cup B)' = A' \cap B',\quad(A \cap B)' = A' \cup B'.$

無数の集合に関しても同様である．特に集合列に関しては

(2)

$\left(\bigcup A_n\right)' = \bigcap A'_n,\quad \left(\bigcap A_n\right)' = \bigcup A'_n.$

実際，$\textstyle x \in \bigcup A_n$ ならば或る $n$ に関して $x \in A_n$．故に $\textstyle x \in (\bigcup A_n)'$ はすべての $n$ に関して $x \notin A_n$ すなわち $x \in A'_n$ を意味する．従って $\textstyle x \in \bigcap A'_n$ を意味する．すなわち $\textstyle \bigcup A_n$ と $\textstyle \bigcup A'_n$ とは互に余集合である．$A_n$ に $A'_n$ を代用すれば，第二の等式を得る．

ファイル:図

集合の差

集合 $A$ に属して，$B$ に属しない元の全体を $A-B$ と書く．従って

(3)

$A-B = A-AB = AB' = B'-A',$

$B-A = B-AB = BA' = A'-B',$

$A \cup B = (A-B)+(B-A)+AB.$

最後の等式の右辺は単純和である．

$A \supset B$ なるときは，$A-B$ を $A$ に対する$B$ の余集合という．$A,B$ が $K$ に含まれるとき，$K$ に対する $A,B$ の余集合に関しても(1)は成り立つ（$\Omega$ に $K$ を代用してもよいから）．

分配律

集合の和と積との間には，互に双対的なる二つの分配律が成り立つ．すなわち

(4)

$\left. \begin{align} (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C), \\ (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C). \end{align} \right\}$

これらは合併および共通部分の意味から，(2)のようにして導かれる．また(2)を適用して，一方の等式の両辺の余集合を作れば，他の等式が得られる．ファイル:図

集合列に関しても分配律は成り立つ．すなわち

$\begin{align} \bigcap_i\bigg(\bigcup_j A_j^{(i)}\bigg) =\bigcup(A_{j_1}^{(1)}\cap A_{j_2}^{(2)}\cap A_{j_3}^{(3)}\cap\cdots),\\ \bigcup_i\bigg(\bigcap_j A_j^{(i)}\bigg) =\bigcap(A_{j_1}^{(1)}\cup A_{j_2}^{(2)}\cup A_{j_3}^{(3)}\cup\cdots). \end{align}\quad (j_1,j_2,\ldots = 1,2,3,\ldots)$

定理 81．

集合の積は和と差とで表わされる．すなわち，集合列に関していえば，

(5)

$\bigcap_{n\geqq 1}A_n=A_1-\bigcup_{n\geqq 2}(A_1-A_n).$

［証］

(3)による．

右辺$=A_1-\bigcup_{n\geqq 2}A_1A_n'$

分配律および(3)．

$=A_1-A_1\bigcup_{n\geqq 2}A_n'=A_1-\bigcup_{n\geqq 2}A_n'$

(3)および(2)による．

$=A_1\bigg(\bigcup_{n\geqq 2}A_n'\bigg)' =A_1\bigcap_{n\geqq 2}A_n$

$=\bigcap_{n\geqq 1}A_n.$

［注意］ 

集合列の合併 $\textstyle E=\bigcup E_n$ を単純和 $\textstyle E=\sum e_n, e_n\subset E_n$ に修正することができる．例えば $e_1=E_1,\,e_n=E_n-(E_1\cup E_2\cup\cdots\cup E_{n-1}),\,(n=2,3,\ldots)$ とすればよい．

集合の上・下極限

集合列 $\{A_n\}$ に関して，上極限 $\varlimsup$，下極限 $\varliminf$　および極限 $\lim$ を次のように定義する：

(6)

$\varlimsup A_n=\bigcap_{n\geqq 1}\bigg(\bigcup_{i\geqq n}A_i\bigg),\quad \varliminf A_n=\bigcup_{n\geqq 1}\bigg(\bigcap_{i\geqq n}A_i\bigg).$

$\varlimsup A_n=\varliminf A_n$ なるとき，それを $\lim A_n$ とする．

この定義からみえるように，$\varlimsup,\varliminf$ は $A_n$ の順序には関係しない．すなわち $\varlimsup A_n$ は無数の $A_n$ に共通なる元の全体で，$\varliminf A_n$ は有限個を除いたほかの全ての $A_n$ に共通な元の全体である（除かれる集合は元によって違いうる）．故に $\varliminf A_n\subset \varlimsup A_n$．

$\{A_n\}$が増大列，すなわち $A_1\subset A_2\subset\cdots\subset A_n\subset\cdots$ ならば，

(7)

$\lim A_n = \bigcup_{n\geqq 1}A_n,$

$\{A_n\}$ が減少列，すなわち $A_1\supset A_2\supset\cdots\supset A_n\supset\cdots$ ならば

(8)

$\lim A_n= \bigcap_{n\geqq 1}A_n$

であることは，定義によって明らかである．従ってまた一般に，

(9)

$\varlimsup A_n=\lim\bigcup_{i\geqq n}A_i,\quad \varliminf A_n=\lim\bigcap_{i\geqq n}A_i.$

また余集合に関して

$(\varlimsup A_n)'=\varliminf A_n',\quad (\varliminf A_n)'=\varlimsup A_n'.$

集合の定義函数（特徴函数）

集合 $E$ の各元 $x$ に，一つの数 $f(x)$ が対応するとき， $f$ を $E$ における点函数という．

特に $x\in A$ なるとき $\varphi(x)=1$，$x\in A'$（余集合）なるとき $\varphi(x)=0$ なる函数 $\varphi(x)$ を $A$ の定義函数という．逆に，$1$ または $0$ なる値のみをとる点函数 $\varphi(x)$ が $\Omega$ において与えられるならば，$\varphi(x)=1$ なる点 $x$ の全部を $A$ とすれば，$\varphi(x)$ はすなわち $A$ の定義函数で，また $\varphi'(x)=1-\varphi(x)$ は余集合 $A'$ の定義函数である．

集合列 $\{A_n\}$ において，$A_n$ の定義函数を $\varphi_n(x)$ とすれば，

$\sup\varphi_n(x),\quad \inf\varphi_n(x),\quad \varlimsup\varphi_n(x),\quad \varliminf\varphi_n(x),\quad \lim\varphi_n(x)$

は，それぞれ

$\bigcup A_n,\qquad \bigcap A_n,\qquad \varlimsup A_n,\qquad\varliminf A_n,\qquad\lim A_n$

の定義函数である．

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106．加法的集合類（$\sigma$系）

$\Omega$ の部分集合の一類 M が次の条件に適合するとき， それを $\sigma$系（または加法的集合類）といい $\sigma$系 M に属する集合を M 集合系と略称する ．

1°．M集合の列 $\{e_n\}$ の合併はM集合である．すなわち

$e_n \in \text{M}\ (n=1,2,$…) ならば $\cup e_n \in \text{M}$．

2°．M集合の差はM集合である．すなわち

$e_1 \in \text{M},\ e_2\in \text{M}$ ならば $e_1-e_2 \in \text{M}$．

特に，空集合は $e_1-e_1$ として M に属する．

前節 (5)，(6) によって， $e_n\in \text{M}$ なるとき，$\cap e_n,\ \overline{\lim}e_n,\ \underline{\lim}e_n$ も M 集合である．

M の中に最大の集合 $\omega$ があるとき（すなわち$e \in \text{M}$ ならば $e \subset \omega$），M を 閉じた$\sigma$系 という．この場合には 2°を次の条件で置き換えてよい．

2'．M は $e$ と同時に，$\omega$ に対する $e$ の余集合 $e'$ を含む．

実際，$e_1 \in \text{M},\ e_2\in \text{M}$ ならば $e' \in \text{M}$ で， $e_1-e_2 =(e_1'\cup e_2)'\in \text{M}$．

$\Omega$ の部分集合の任意の一組 $S$ があたえらるとき，$S$に属する集合から，列の合併および引算（差を作ること） によって，次から次へと週ずる集合の全体は，一つの$\sigma$系を成すであろう．それは$S$を含む最小の$\sigma$系（$S$から生ずる$\sigma$系）である．

$\Omega$のすべての集合は一つの$\sigma$系を成すが，それは$S$を含む．このように$S$を含む$\sigma$系は確かに存在するから，$S$を含むすべての$\sigma$系の共通部分は，すなわち$S$から生ずる$\sigma$系である．

$S$に属する集合列の合併として生ずる集合を一般的に$S_{\sigma}$，またその交わりとして生ずる集合を$S_{\delta}$というように書けば，$S_{\sigma},S_{\sigma\delta},S_{\sigma\delta\sigma},\cdots,S_{\delta},S_{\delta\sigma},S_{\delta\sigma\delta},\cdots,$ またそのようにして，すでに生じた一組の $T$ からさらに生ずる$T_{\sigma},T_{\delta},\cdots$は，みなこの$\sigma$系に属する． （故にこの最小$\sigma$系でも，ほとんど無際涯というべきで，いささか心もとない．すでにできている$\sigma$系ならば安心である！）

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107．M 函数

σ 系 $\mathrm{M}$ に属するある M 集合 $e$ において，点函数 $f(x)$ が定義されているとする．すなわち $x$ は集合 $e$ の元である： $x\in e, e\in \mathrm{M}.$ そのとき，一つの実数 $a$ に関して，$f(x)>a$ なる $x$ の全体の集合 $E$ は一般には必らずしも M 集合を成さないであろう．もしも，その集合 $E$ が各〻の実数 $a$ に関して M 集合ならば，$f(x)$ を M 函数と略称する．

これより後，或る指定された性質 $P$ を有する（または条件 $P$ に適合する）点 $x$ の全体の集合を

$\{x; P\}$　または　$E\{x; P\}$

と書く．例えば，上記 M 函数の定義においては，集合 $E$ を定義する条件 $P$ は

$x\in e,\quad e\in\mathrm{M},\quad f(x)>a$

で，$f(x)$ が M 函数であるとは，すなわち，すべての実数 $a$ に関して

$E\{x; x\in e, e\in\mathrm{M}, f(x)>a\}\in\mathrm{M}$

となることである．今ここでは集合 $E$ の元は $x$，ただしその $x$ は $x\in e$ で $e\in\mathrm{M}$ であるが，これらは当然として省略すれば，簡明に

(1)

$E\{f(x)>a\}\in\mathrm{M}.$

さて，すべての実数 $a$ に関して

(2)

$E\{f(x)>a\},\quad E\{f(x)\geqq a\},\quad E\{f(x)\leqq a\},\quad E\{f(x)<a\}$

が M 集合なることは，同等なる条件である．――第一と第三と，また第二と第四とは $e$ に対して互に余集合だから，もちろんだが，

$\begin{align} E\{f(x)\geqq a\}&=\bigcap_{n\geqq 1}E\!\left\{f(x)>a-\frac1n\right\},\\ E\{f(x)\leqq a\}&=\bigcap_{n\geqq 1}E\!\left\{f(x)>a+\frac1n\right\} \end{align}$

だから，すべてが同等である．故に M 函数の定義において，(2) の四つの集合のうち，どれを取ってもよい．

$f(x)$ が M 函数ならば，$E\{f(x)=a\}=E\{f(x)\geqq a\}-E\{f(x)>a\}$ は M 集合である．逆は成り立たない．

$\begin{align} x&\in E\{f(x)\geqq 0\}\\[5pt] x&\in E\{f(x)< 0\} \end{align}$	なるとき	$\begin{align} f^+(x)&=f(x),\\[5pt] f^+(x)&=0, \end{align}$	$\left.\begin{align} f^-(x)&=0\\[5pt] f^-(x)&=-f(x) \end{align}\right\}$
	なるとき

として，$f^+(x),f^-(x)$ を $f(x)$ の正の部分，負の部分という．すなわち $f(x)=f^+(x)-f^-(x)$ であるが，$f$ が M 函数ならば，$f^+,f^-$ も M 函数である．

定理 82．

$f(x)$ が M 函数なるためには，(1) において， $a$ を有理数だけに限っても十分である（あるいは，一般に実数の範囲内に稠密に分布される数，例えば小数部の桁数が有限なる十進数に限ってもよい）．

［証］

$a$ に収束する単調減少の有理数列を $r_n$ とすれば，$\textstyle E\{f(x)>a\}=\bigcup_n E\{f(x)>r_n\}$ だから．

次の定理は，証明の手段として，しばしば応用される．

定理 83．

正なる（負でない） M 函数 $f(x)$ は階段的なる M 函数の増大列 $\{f_n(x)\}$ の極限である．階段的なる函数とはその函数の取る相異なる値が有限個に限ること（値域が有限集合なること）をいう．

［証］

$f(x)$ の値を十進数で書き表して，小数点の上下共に $n$ 位で打切って，それを $f_n(x)$ の値とすればよい．$f_n(x)$ は多くとも $10^{2n}$ この相異なる値を取る．すなわち階段的だから，それが M 函数であることをみるには，$f_n(x)$ のとる各〻の値 $a$ に関し $E\{f_n(x)=a\}$ が M 集合であることを確かめればよいが，この集合は $\textstyle \sum_{h=0}^\infty E\!\left\{a+10^nh\leqq f(x)<a+\frac1{10^n}+10^nh\right\}$ に等しいから，よろしい．$\textstyle f_n(x)\leqq f_{n+1}(x),\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ は明白である．

一定の M 集合 $e$ を共通の定義域として有する函数のみを考察するとき，次の諸定理が成り立つ．

定理 84．

$f,g$ が M 函数ならば，

$E\{f(x)>g(x)\}\in \mathrm{M}.$

［証］

$f(x)>g(x)$ ならば，$f(x)>r>g(x)$ なる有理数 $r$ がある．よって

$E\{f(x)>g(x)\}=\bigcup_r(E\{f(x)>r\}\cap E\{g(x)<r\})\in\mathrm{M}.$

定理 85．

M 函数は実係数を持って環を成す．すなわち $f(x),g(x)$ が M 函数ならば，

(1º)　$af(x)$，（$a$ は実数），　(2º)　$f(x)+g(x)$，　(3º)　$f(x)\cdot g(x)$

も M 函数である．有限個の函数の和および積に関しても同様．

［証］

(1º)

$af(x)$，特に $-f(x)$ に関しては明白．

(2º)

$E\{f(x)+g(x)>a\}=E\{f(x)>a-g(x)\}$ で，$a-g(x)$ が M 函数であることは明白だから（定理 84）．

(3º)

$fg=\tfrac14((f+g)^2-(f-g)^2)$ だから，一般に M 函数の平方が M 函数であることを示せばよいが，$E\{f^2>a\}$ は，$a>0$ ならば $E\{f>\sqrt a\}\cup E\{f<-\sqrt a\}$，$a=0$ ならば $E\{f\gtrless 0\}$，また $a<0$ ならば，$e$ だから，よろしい．

定理 86．

M 函数の列 $\{f_n(x)\}$ に関して

$\sup f_n(x),\quad \inf f_n(x),\quad \varlimsup f_n(x),\quad \varliminf f_n(x),$

従って，それが存在するとき，$\lim f_n(x)$ も M 函数である．

［証］

$\sup f_n(x)=g(x)$ と置けば $\textstyle \{g(x)>a\}=\bigcup E\{f_n(x)>a\}\in\mathrm{M}$．$\inf$ も同様．また $\textstyle g_n(x)=\sup_{i\geqq n}f_i(x)$ と置けば，$g_n(x)$ は M 函数で減少列をなす．従って $\varlimsup f_n(x)=\lim g_n(x)=\inf g_n(x)$ は M 函数である．$\varliminf$ も同様（または $\varliminf f_n(x)=-\varlimsup(-f_n(x))$ から）．

（証終）

函数値が極限として定義される場合に順応するために，便宜上 $+\infty,-\infty$ を函数値として許容する．これは場合の区別から生ずる煩雑を緩和して，陳述を簡明にする手段にほかならない．そこで $\pm\infty$ と差別するために，個々の実数 $a$ を有限という．函数 $f(x)$ は有限とは，それが $+\infty$ または $-\infty$ なる値を取らないことをいう．故に有限は有界とは違う．なお運用上，次の規約を設ける．

$\begin{align} & +\infty>a,\quad -\infty<a.\\ & a+(\pm\infty)=(\pm\infty)+a=\pm\infty,\quad \pm\infty-a=\pm\infty.\\ & (+\infty)+(+\infty)=+\infty,\quad (-\infty)+(-\infty)=-\infty.\\ & a\cdot(\pm\infty)=(\pm\infty)\cdot a =\begin{cases}\pm\infty,&(a>0),\\ \mp\infty,&(a<0).\end{cases}\\ & 0\cdot(\pm\infty)=(\pm\infty)=0. \end{align}$

これらは便宜上の規約である．特に，最後の規約は後に至って便利である． $(+\infty)-(+\infty),(-\infty)-(-\infty)$ は無意味とする．$+\infty$ を略して $\infty$ とも書く．

［附記］ 

これに準じて，無限級数 $\textstyle\sum a_n$ の項にも $+\infty,-\infty$ を許容する．級数 $\textstyle\sum a_n$ の項に $+\infty$ または $-\infty$ が含まれる場合には，$+\infty$ をも込めて，$\textstyle\sum a_n$ のすべての正の項の和を $s$ とし，$-\infty$ をも込めて，すべての負の項の和を $-t$ とするとき，$s-t$ が $\infty-\infty$ となる場合を除いて，$\textstyle\sum a_n$ の値は確定で，$s-t$ を $\textstyle\sum a_n$ の値と規約する． M 函数 $f(x)$ が有限でないときにも

$\begin{align} E\{f(x)<+\infty\}&=\bigcup_{n\geqq 1}E\{f(x)<n\}\in\mathrm{M}.\\ E\{f(x)>-\infty\}&=\bigcup_{n\geqq 1}E\{f(x)>-n\}\in\mathrm{M}.\\ E\{f(x)=+\infty\}&=\mathrm{C}E\{f(x)<+\infty\}\in\mathrm{M}.\\ E\{f(x)=-\infty\}&=\mathrm{C}E\{f(x)>-\infty\}\in\mathrm{M}. \end{align}$

$\mathrm{C}$ は $e$ に対する余集合の記号である．

［注意］ 

定理 82 以下の定理は函数値として $\pm\infty$ を許容した場合にも成り立つ．ただし，定理 85 は $\pm\infty$ を顧慮して主張を緩和することを要する．

任意の集合 $E$ において与えられた点函数 $f(x)$ に対応する $E$ 内の集合

(3)

$E(t)=E\{f(x)\geqq t\}$

を $t$ の函数とみるとき，それは単調減少，すなわち

$t'<t$　なるとき　$E(t')\supset E(t)$

であるが，なお (3) によれば

(4)

$\left.\begin{matrix} E(t)=\displaystyle\bigcap_{t'<t}E(t'),\\[10pt] E(-\infty)=E\qquad E(\infty)=\displaystyle\bigcap_{t'<\infty}E(t'). \end{matrix}\right\}$

今逆に条件 (4) に適合する集合 $E(t)$ が $E$ において与えられているとすれば，それから (3) に適合する点函数 $f(x)$ を定義することができる．それには $x_0\in E(t)$ なる $t$ の上限が $t_0$ なるとき，$f(x_0)=t_0$ とすればよい．――それは明白であろう．実際，$x_0\in E(t)$ ならば，$t\leqq t_0=f(x_0)$，従って $x_0\in E\{f(x)\geqq t\}$．故に $E(t)\subset E\{f(x)\geqq t\}$．また $x_0\in E\{f(x)\geqq t\}$ ならば，$f(x_0)\geqq t$，すなわち $t_0\geqq t$ だから，$t>t'$ なら $x_0\in E(t')$．従って (4) から $x_0\in E(t)$．故に $E\{f(x)\geqq t\}\subset E(t)$．すなわち (3) が成り立つ．

$t_0=\infty$ なるときは，$f(x_0)=\infty$ とするのであるが，そのときには，すべての $t$ に関して $x_0\in E(t)$ だから (3) は $t=\infty$ でも成り立つ．また $t=-\infty$ ならば，(3) は $E=E$ となる．

$t_0$ が有限なるときには，$x_0\in E(t)$ なる $t$ は実数の一つの切断の下組で，$t_0$ がその下組の最大数である．それは $x_0\in E(t_0)$ を意味する．

さて，すべての有理数 $r$（あるいは，実数内に稠密に分布されている数の可算集合に属する $r$）に対応して，$E$ 内に集合 $e_r$ が与えられているとき，任意の実数 $t$ および $t=\infty$ に対して

(5)

$E(t)=\bigcap_{r<t}e_r$

によって $E(t)$ を定義し，また $E(-\infty)=E$ とすれば，$E(t)$ は条件 (4) に適合する．実際，$t\ne-\infty$ のとき $t'<t$ とすれば，

$E(t)=\bigcap_{r<t}e_r\cdot\bigcap_{t'\leqq r<t}e_r\subset E(t'),$

従って

$E(t)\subset \bigcap_{t'<t}E(t').$

逆に $\textstyle x\in\bigcap_{t'<t}E(t')$ とする．今 $r<t$ として，$r<t'<t$ なる $t'$ を取れば，$x\in E(t')$ だから，(5) によって $x\in e_r$．$r<t$ の $r$ は任意の有理数だから $x\in E(t)$．故に (4) が成り立つ．

もしも $e_r$ が M 集合ならば，(5) は M 集合の列の共通部分だから，$E(t)$ が M 集合，従ってそれから定義される点函数 $f(x)$ が M 函数である．

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108．集合の測度

集合の一類 $\mathrm{M}$（$\mathrm{M}$ は σ 系をなさなくてもよい）に属する各集合 $e$ に実数または $\pm\infty$ を対応せしめる函数 $f(e)$ が定義されているとき，$f$ を $\mathrm{M}$ における集合函数という．σ 系 $\mathrm{M}$ における集合函数に関し $\textstyle e=\sum e_n, e_n\in\mathrm{M},$ が単純和なるとき，下記 (1) の右辺が確定（401 頁，［附記］参照）で

(1)

$f(e)=\sum f(e_n)$

ならば，$f(e)$ は加法的であるという．$\textstyle\sum e_n$ は交換律に従うから，級数 $\textstyle\sum f(e_n)$ は絶対収束をする．ここで絶対収束とは，無条件収束の意味，すなわち，級数 $\textstyle\sum f(e_n)$ が項の順序および括り方に無関係に，一定の値（$\pm\infty$ をも込めて）を有することをいう．

(1) が無限列に関して成り立つことを強調するためには，‘完全に加法的’ともいうが，我々はむしろ (1) が有限列に関してのみ成り立つことを，‘弱い意味で加法的’ということにする．

さて，次のように測度の定義を立てる．

定義．

閉じた σ 系 $\mathrm{M}$ における集合函数 $\mu(e)$ が完全に加法的で常に正なる（負でない）とき，$\mu(e)$（または $\mu e$ とも書く）をもって，$e$ の測度とする．$\mu(e)$ の値として $\infty$ をも許容するが，$\mu(e)=\infty$ なるときは，$e$ は $\mu(e_n)$ が有限なる集合 $e_n$ の増大列の極限（合併）として，‘到達される’とする．（すなわち $e_n\uarr e,\mu(e_n)<\infty$ なる集合列 $\{e_n\}$ の存在を仮定する．）

差し越しながら，この仮定のもとで $\mu(e_n)\to\infty$ となる（下記定理 87）．

$e_1\supset e_2$ ならば，$e_1=(e_1-e_2)+e_2$ は単純和だから，定義によって $\mu(e_1)=\mu(e_1-e_2)+\mu(e_2)$．また，定義によって $\mu(e_1-e_2)\geqq 0$ だから，$\mu(e_1)\geqq \mu(e_2)$．すなわち $\mu$ は‘単調増大’である．

$\mathrm{M}$ は閉じた σ 系であるから，最大集合 $\omega$ を有する，故に $\mu(e)=\infty$ なる $e$ がある場合には，$\omega\supset e$ から $\mu(\omega)=\infty$．従って仮定によって $e_n\uarr\omega,\mu(e_n)<\infty(\lim\mu(e)\to\infty)$ なる集合列 $\{e_n\}$ が存在する．そのとき $e=e\omega,ee_n\uarr e$ で，$\mu(ee_n)\leqq\mu(e_n)<\infty$．すなわち $\{ee_n\}$ が定義の末端に述べた集合列である．

空集合に関しては，$\mu(0)=0$．――実際，定義によって $\mu(e)<\infty$ なる $e$ はある．従って $e=e+0$ から，$\mu(e)=\mu(e)+\mu(0)$．$\mu(e)<\infty$ だから $\mu(0)=0$．

これらは定義の言葉尻であるが，重要なのは $\mu$ の完全加法性である．完全加法性は連続性を意味する．すなわち次の定理が成り立つ．

定理 87．

(1º)

$e_1\subset e_2\subset\cdots\subset e_n\subset\cdots,\lim e_n=e$ とすれば，$\textstyle \lim_{n\to\infty}\mu(e_n)=\mu(e)$.

［証］

$e=e_1+(e_2-e_1)+\cdots+(e_n-e_{n-1})+\cdots$

から

$\mu(e)=\mu(e_1)+\mu(e_2-e_1)+\cdots+\mu(e_n-e_{n-1})+\cdots.$

$\mu(e_n)$ がすべて有限ならば，$\mu(e_n-e_{n-1})=\mu(e_n)-\mu(e_{n-1})$ だから，

$\begin{align} \mu(e) &=\mu(e_1)+\lim_{n\to\infty}\{\mu(e_2)-\mu(e_1)+\cdots+\mu(e_n)-\mu(e_{n-1})\}\\ &=\mu(e_1)+\lim_{n\to\infty}\{\mu(e_n)-\mu(e_1)\}=\lim_{n\to\infty}\mu(e_n). \end{align}$

$\mu(e_i)=\infty$ ならば，$\mu(e_n)=\infty\,(n>i),\mu(e)=\infty$．すなわち $\mu(e)=\lim\mu(e_n)$．

(2º)

$e_1\supset e_2\supset\cdots\supset e_n\supset\cdots,\lim e_n=e$ とすれば，$\mu(e_1)<\infty$ なる仮定の下において，$\textstyle\lim_{n\to\infty}\mu(e_n)=\mu(e)$．

［証］

$e_1$ に対する $e_n,e$ の余集合を $e_n',e'$ とすれば

$e_1'\subset e_2'\subset\cdots\subset e_n'\subset\cdots,\quad \lim e_n'=e'$

だから，(1º) によって，$\lim\mu(e_n')=\mu(e')$．さて $\mu(e_1)\ne\infty$ だから $\mu(e_n')=\mu(e_1-e_n)=\mu(e_1)-\mu(e_n),\mu(e')=\mu(e_1)-\mu(e)$．故に

$\lim(\mu(e_1)-\mu(e_n))=\mu(e_1)-\mu(e).$

$\mu(e_1)\ne\infty$ を用いて，$\lim\mu(e_n)=\mu(e)$．

［注意］ 

或る $i$ に関して $\mu(e_i)<\infty$ ならば，(2º) は成り立つが，すべての $n$ に関して $\mu(e_n)=\infty$ なるとき，$\mu(e)=\infty$ は保証されない．

(3º)

一般の集合列 $e_n$ において

$E_n=\bigcap_{i=n}^\infty e_i$

と置けば，$E_n$ は増大列で，$\lim E_n=\varliminf e_n$ だから，(1º) によって $\mu(\varliminf e_n)=\lim\mu E_n$． さて $e_n\subset e_n,\mu E_n\leqq\mu e_n,\lim\mu E_n\leqq\varliminf\mu e_n$ だから，

(2)

$\mu(\varliminf e_n)\leqq \varliminf \mu e_n.$

同様に

$E_n=\bigcup_{i=n}^\infty e_i$

と置けば，$E_n$ は減少列で，$\varlimsup e_n=\lim E_n$ だから，(2º) によって，$\mu(\varlimsup e_n)=\lim\mu E_n$． こんどは $E_n\supset e_n,\mu E_n\geqq \mu e_n,\lim\mu E_n\geqq\varlimsup\mu e_n$ から，

(3)

$\mu(\varlimsup e_n)\geqq\varlimsup \mu e_n.$

ただし，ここでは $\textstyle\mu E_1=\mu(\bigcup e_n)<\infty$ を仮定する．

(4º)

$\lim e_n=e$ ならば

$e=\varlimsup e_n=\varliminf e_n$

だから，(2)，(3) から

$\varlimsup\mu e_n\leqq\mu e\leqq\varliminf\mu e_n.$

もちろん $\varlimsup\mu e_n\geqq\varliminf\mu e_n$ だから，等号が成り立って，

$\varlimsup\mu e_n=\lim\mu e_n=\varliminf\mu e_n,$

すなわち

(4)

$\mu e=\lim\mu e_n.$

ただし，ここでも (3) と同様に $\textstyle\mu(\bigcup e_n)<\infty$ とする．

［注意］ 

弱い意味の加法性を仮定すれば，(1º) または (2º) から完全加法性が導かれる．――今 $\textstyle e=\sum e_n$ を単純和とすれば，$\textstyle e_n'=e-\sum_{i=1}^n e_1$ と置いて $e_n'\darr 0$ を得る．従って $\mu e<\infty$ とすれば，(2º) から $\lim\mu e_n'=0$．さて弱い意味の加法性から

$\mu e_n'=\mu e-\sum_{i=1}^n\mu e_i,$　従って　$\mu e=\sum_{i=1}^\infty \mu e_i.$

を得る．それが完全加法性である．次に $\mu(e)=\infty$ ならば，定義の規約のもとで，任意の $M>0$ に対して，$e_0\subset e, M<\mu e_0<\infty$ なる $e_0$ があるが，$\textstyle e_0=e_0e=\sum_{n=1}^\infty e_0e_n$ だから，上記のように $\textstyle \mu e_0=\sum_{n=1}^\infty \mu e_0e_n\leqq\sum_{i=1}^\infty \mu e_n$．すなわち $\textstyle \mu e_n > M$．$M$ は任意だから $\textstyle \sum \mu e_n=\infty, \mu e=\sum\mu e_n=\infty$． また (1º) から (2º) が導かれるから，(1º) からも完全加法性が得られる．

---

109．積分

閉じた σ 系 $\mathrm{M}$ において測度 $\mu e$ と，集合 $E$ における点函数 とが与えられているとき，$E$ における $f(x)$ の積分を次のように定義する．

1º．

$f(x)\geqq 0$ なるとき，

$(\Delta)$

$E=e_1+e_2+\cdots+e_n$

を $E$ の任意の分割とする．すなわち $E$ を $e_i\,(i=1,2,\ldots,n)$ の有限単純和とする．そのとき，$e_i$ における $f(x)$ の値の下限を

$v_i=\inf_{x\in e_i}f(x)$

として，和

$s_\Delta = \sum_{i=1}^n v_i\mu e_i$

を作る．そうして，全ての分割 $\Delta$ に関する上限 $\sup s_{\Delta}$ を集合 $E$ の上の $f(x)$ の積分といい，それを

$\int_E f(x)\,d\mu$

と書く．ただし，$s_\Delta$ として $\infty$ を許容するが，その場合，$v_i$ または $\mu e_i$ が $\infty$ なるとき，規約 $0\cdot \infty= \infty\cdot 0= 0$（401 頁）を適用する．

2º．

$f(x)$ の符号が一定でない場合には，それを正･負の部分（400頁）に分けて，$f(x)=f^+(x)-f^-(x)$ として，

$\int_E f(x)\,d\mu = \int_E f^+(x)\,d\mu - \int_E f^-(x)\,d\mu$

によって積分を定義する．右辺の二つの積分がともに $\infty$ で，右辺が $\infty-\infty$ の形になる場合だけを除いて，この定義は有効で，積分の値は確定する．

このように定義された積分の値が有限であるとき，$f(x)$ は $E$ の上で積分有限（積分可能）であるという．

次の定理は積分の定義から，ただちに，得られるものである．

1．

$E=E_1+\cdots+E_p$ が単純和で，$E$ の上で $\textstyle \int_E f(x)d\mu$ が確定ならば

$\int_E f(x)\,d\mu= \sum_{i=1}^p f(x)\,d\mu.$

［証］

$p=2$ としてよい．また積分の定義 2．によって$f\geqq 0$ としてよい．さて $\textstyle E=\sum_{i=1}^n e_i$ を $E$ の分割 $\Delta$ として，

$e_i^{(1)}=E_1\cap e_i,\quad e_i^{(2)}=E_2\cap e_i\quad (i=1,2,\ldots,n)$

とすれば

$E_1=\sum e_i^{(1)},\quad E_2=\sum e_i^{(2)}$

は $E_1,E_2$ の分割である．それらを $\Delta_1,\Delta_2$ と書けば

$s_\Delta\leqq s_{\Delta_1}+s_{\Delta_2}\leqq \int_{E_1}+\int_{E_2}.$

$\Delta$ は任意だから，上限へ行って

$\int_E\leqq \int_{E_1}+\int_{E_2}.$

逆に $E_1,E_2$ の任意の分割を $\Delta_1,\Delta_2$ とすれば，それを合わせて $E$ の一つの分割 $\Delta$ が得られて

$s_{\Delta_1}+s_{\Delta_2}=s_\Delta\leqq \int_E.$

$\Delta_1,\Delta_2$ は任意だから上限へ行って

$\int_{E_1}+\int_{E_2}\leqq\int_E.$

故に

$\int_E=\int_{E_1}+\int_{E_2}.$

2．

$E$ において $f(x)$ が階段的で，互に異なる有限個の値 $a_1,\ldots,a_p$ を取り，

$E_i=E\{f(x)=a_i\}\quad (i=1,2,\ldots,p)$

とする．然らば $\textstyle E=\sum_{i=1}^p E_i$ は単純和だから，1．によって

$\int_E f(x)\,d\mu= \sum_{i=1}^p\int_{E_i}f(x)\,d\mu = \sum_{i=1}^p a_i\mu E_i.$

$E_i$ において $f(x)$ は定数に等しいから，$\textstyle \int_{E_i}=a_i\mu E_i$．これは積分の定義によって明白であろう．

ここで $f$ が M 函数であることを用いた．そのために $E_i$ が M 集合で，$\mu E_i$ が確定する．

3．

$E$ において $f(x)\leqq g(x)$ ならば，両辺の積分確定のとき，

(1)

$\int_E f(x)\,d\mu\leqq \int_E g(x)\,d\mu.$

［証］

$E_1=E\{0\leqq f(x)\leqq g(x)\},\, E_2=E\{f(x)< 0\leqq g(x)\},\,E_3=E\{f(x)\leqq g(x)< 0\}$ とすれば，$E=E_1+E_2+E_3$ は単純和である．さて $E_1$ では積分の定義 1．から (1) を得る．$E_2$ では積分の定義 2．から，(1) の左辺は $\leqq 0$，右辺は $\geqq 0$ だからよい．また $E_3$ では $\textstyle \int_{E_3}f(x)\,d\mu= -\int_{E_3}f^-(x)\,d\mu; \int_{E_3}g(x)\,d\mu= -\int_{E_3}g^-(x)\,d\mu$ で，$0<g^-(x)\leqq f^-(x)$ だから，(1) が成り立つ．故に 1．によって $E$ において (1) が成り立つ．

4．

$\textstyle \int_E f(x)\,d\mu$ が有限なるためには，$\textstyle \int_E|f(x)|d\mu$ が有限なることが必要かつ十分である｡

［証］

$E_1=E\{f(x)\geqq 0\},\, E_2=E\{f(x)< 0\},\,E=E_1+E_2,$ とすれば，1．によって

$\int_E|f(x)|d\mu = \int_{E_1}|f(x)|d\mu+\int_{E_2}|f(x)d\mu.$

故に，$f$ の正，負の部分 $f^+,f^-$（400頁）を用いて，

(2)

$\int_E|f(x)|d\mu = \int_{E_1}f^+(x)d\mu + \int_{E_2}f^-(x)d\mu.$

さて，(2) の左辺が有限なることは，その右辺の二つの積分が有限なることと同等であり，それは，$\textstyle \int_E f(x)d\mu$ が有限なることと同等であるから，4． が得られる．

5．

［平均値の定理］．$E$ において $f(x)$ は有界で，$m\leqq f(x)\leqq M$，また $g(x)$ は積分有限とすれば，$m,M$ の中間の或る値 $c$ をもって $(m\leqq c\leqq M)$

$\int_E f(x)|g(x)|\,d\mu= c\int_E |g(x)|\,d\mu.$

$m|g|\leqq f|g|\leqq M|g|$ だから，3．によって

$m\int_E |g|d\mu\leqq \int_E f|g|d\mu\leqq M\int_E |g|d\mu.$

さて 4．によって左右両端は有限だから，表記の等式を得る．

6．

$\mu E=0$ ならば，$\textstyle \int_E f(x)\,d\mu=0$．

積分の定義 2．によって $f\geqq 0$ としてよい．$E$ の任意の分割 $\Delta$ において，$\mu E=0$ から $\mu e_i=0$，従って（$v_i=\infty$ でも）$s_\Delta=0$．

7．

$\textstyle \int_E f(x)d\mu$ が有限ならば，$E\{f(x)=\pm\infty\}$ の測度は $0$ である．

この場合，$f^+(x),f^-(x)$ の積分が有限である．よって $f\geqq 0$ としてよい．もしも $E_1=E\{f=\infty\}$ に関して $\mu E_1\ne 0$ とするならば，$E_1$ を一つの成分とする $E$ の分割 $\Delta$ において，すでに $s_\Delta=\infty$．従って $\textstyle \int_E=\infty$．それは矛盾である．

8．

$\textstyle \int_E f(x)\,d\mu$ が有限なるとき，$e_n=E\{|f(x)|\geqq n\}$ とすれば，

$n\to\infty$　のとき　$\mu e_n\to 0.$

［証］

この場合，4．によって $\textstyle \int_E |f(x)|d\mu$ は有限である．また，任意の $n$ に関し，1．，3．によって

$\int_E|f(x)|d\mu\geqq \int_{e_n}|f(x)|d\mu\geqq \int_{e_n}n\,d\mu=n\,\mu e_n.$

故に $n\to\infty$ のとき $\mu e_n\to 0$．

上記 6．，7．，8．に関連して，次の定理を記録しておく．それは後に至って，一般的の見地から証明されるであろう（419 頁，6．および［注意］参照）．

9．

$\textstyle \int_E f(x)d\mu$ が有限で $e\subset E$ ならば

$\mu e\to 0$　のとき　$\int_e f(x)d\mu\to 0.$

---

110．積分の性質

積分の性質を続けて述べる．

定理 88．

（予備定理）$E$ において $\{f_n(x)\}$ を正なる函数の増大列とし $\textstyle f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ とすれば

(1)

$\lim_{n\to\infty}\int_E f_n(x)\,d\mu=\int_E f(x)\,d\mu.$

［証］

仮定によって $f(x)\geqq f_n(x)\geqq 0$，従って（前節 3．）

$\int_E f(x)\,d\mu\geqq \int_E f_n(x)\,d\mu,$

$n\to\infty$ の極限へ行って

$\int_E f(x)\,d\mu \geqq \lim_{n\to\infty} f_n(x)\,d\mu.$

故に反対の向きの不等式を証明すればよい．そのために，$E$ の分割 $\textstyle\sum e_i\,(n=1,2,\ldots,p)$ において，$\textstyle v_i=\inf_{x\in e_i}f(x),\,s_\Delta=\sum v_i\,\mu e$ として

(2)

$\lim_{n\to\infty}\int_{e_1}f_n(x)\,d\mu\geqq v_i\,\mu e_i$

を示そう．それができれば，前節 1．によって

$\lim_{n\to\infty}\int_E f_n(x)\,d\mu\geqq s_\Delta$

が得られるが，分割 $\Delta$ は任意だから，上限へ行って

$\lim_{n\to\infty}\int_E f_n(x)\,d\mu\geqq\int_E f(x)\,d\mu,$

従って (1) を得る． よって，記号簡略のために，(2) において $e_i=e,v_i=v$，すなわち $\textstyle v=\inf_{x\in e}f(x)\geqq 0$ と書いて

(3)

$\lim\int_e f_n(x)\,d\mu\geqq v\,\mu e$

を証明する．$v=0$ ならば，（$\mu e=\infty$ でも）右辺は $0$ で，左辺は $\geqq 0$ だから，問題はない．同様に，$\mu e=0$ ならば，（$v=\infty$ でも）問題はない．よって，$v>0,\mu e>0$ とする．

(I)

$\mu(e)<\infty$ なる場合．

(1º)

$v<\infty$ とする．$v>\varepsilon>0$ として，$e_n=e\cdot E\{f_n(x)>v-\varepsilon\}$ と置く．然らば，$\{f_n(x)\}$ は増大列であったから，$e_1\subset e_2\subset\cdots\subset e_n\subset\cdots$ で，$\textstyle\lim e_n=\bigcup e_n=e$．――なぜなら： $x_0\in e$ とすれば，或る $n$ 以上，$f_n(x_0)>v-\varepsilon$，従って $x_0\in e_n$ だから．故に

（定理 87）

$\lim\mu e_n=\mu e,$

従って $n>N$ なるとき

$\mu e-\mu e_n<\varepsilon,$

（前節 1．）

$\int_e f_n(x)\,d\mu\geqq \int_{e_n}f_n(x)\,d\mu$

（前節 3．）

$\geqq (x-\varepsilon)\mu e_n$

$\begin{align} & > (v-\varepsilon)(\mu e-\varepsilon)\\ & > v\,\mu e-\varepsilon(v+\mu e). \end{align}$

$\varepsilon>0$ は任意だから，(3) を得る．

(2º)

$v=\infty$ とする．この場合には，$m>0$ として，

$e_n=e\cdot E\{f_n(x)>m\}$

と置けば，前と同様に $e=\lim e_n$ だから，$\varepsilon>0$ に対して十分大きく $n$ を取れば，

$\int_e f_n(x)\,d\mu\geqq\int_{e_n}f_n(x)\,d\mu\geqq m\,\mu e_n\geqq m\,\mu e-\varepsilon m.$

$\varepsilon$ は任意だから，

$\int_e f_n(x)\,d\mu\geqq m\,\mu e.$

$m>0$ も任意，また $\mu e>0$ としたから，$\textstyle\lim_{n\to\infty}\int_e f_n(x)\,d\mu=\infty$ で，(3) が成り立つ（$\infty=\infty$）．

(II)

$\mu e=\infty$ ならば，$v\infty$ として上記(1º) の記号を用いて，$\lim e_n=e$ から，$\lim\mu e_n=\infty$（定理 87，(1º)）．従って

$\int_e f_n(x)\,d\mu\geqq\int_{e_n}f_n(x)\,d\mu\geqq(v-\varepsilon)\mu e_n$

から，$\textstyle\lim\int_e f_n(x)\,d\mu=\infty$，すなわち (3) が $\infty=\infty$ の意味で成り立つ．$v=\infty$ でも同様．

定理 89．

積分は函数に関して線型である．詳しくいえば，任意の実係数 $a_i$ をもって

$\int_E(a_1f_1+a_2f_2+\cdots+a_nf_n)\,d\mu =a_1\int_E f_1\,d\mu+a_2\int_E f_2\,d\mu+\cdots+a_n\int_E f_n\,d\mu.$

ただし右辺の中の項に $+\infty$ と $-\infty$ が同時に出ていてはいけない．特に，右辺の各積分が有限なるとき，左辺も有限で，等式が成り立つのである．

［証］

二つの函数 $f,g$ に関して，次の式を証明すれば十分である：

(4)

$\int_E(f+g)\,d\mu=\int_E f\,d\mu+\int_E g\,d\mu.$

(1º)

$f\geqq 0,g\geqq 0$ が階段的で，それぞれ有限個の相異なる値 $a_i,b_j\,(i=1,2,\ldots,p;j=1,2,\ldots,q)$ を取るとする．

$E_i=E\{f(x)=a_i\},\quad E'_j=E\{g(x)=b_j\}$

として，$E_i\cap E'_j=e_{i,j}$ と置けば，$\textstyle E_i\sum_{j=1}^q e_{ij},\,E'_j=\sum_{i=1}^p e_{ij},\,E=\sum e_{i,j}$ は単純和で，$e_{i,j}$ において $f(x)=a_i,g(x)=b_j$．よって（§109，2．）

(5)

$\int_E f(x)\,d\mu=\sum_{i=1}^p a_i\,\mu E_i,\quad \int_E g(x)\,d\mu=\sum_{j=1}^q b_j\,\mu E'_j,$

$\begin{align} \int_E(f+g)d\mu &= \sum_{i,j}(a_i+b_j)\mu e_{ij} = \sum_i\Bigl(a_i\sum_j\mu e_{ij}\Bigr)+\sum_j\Bigl(b_j\sum_i\mu e_{ij}\Bigr)\\ &=\sum_i a_i\,\mu E_i + \sum_j b_j\,\mu E'_n. \end{align}$

(5) と比較して (4) を得る．

(2º)

$f\geqq 0,g\geqq 0$ なるとき，$f_n\to f,g_n\to g$ を定理83（401 頁，［注意］参照）の階段函数とすれば，(1º) によって

$\int_E(f_n+g_n)\,d\mu=\int_E f_n\,d\mu+\int_E g_n\,d\mu.$

これから定理 88によって (4) を得る．

(3º)

一般の場合． $f,g,f+g$ に符号に従って，$E$ を六つの集合に分割すれば，その中に空集合もありうるが，§109，1．によって，各部分集合に関して (4) を証明すればよい．よって，$E$ において，例えば $f\geqq 0,g<0,f+g\geqq 0$ とする．然らば $f=(f+g)-g$ から，(2º) によって

$\int_E f\,d\mu=\int_E(f+g)\,d\mu+\int_E(-g)\,d\mu.$

移行して (4) を得る．その他の場合も同様である．

定理 90． ［項別積分の定理］

函数列 $\{f_n(x)\}$ に関して $f_n(x)\to f(x)$，かつ

(6)

$|f_n(x)|\leqq S(x)\quad(n=1,2,\ldots)$

なる積分有限なる $S(x)$ が存在すれば（特に $\mu E<\infty,|f_n(x)|<c$（定数）ならば），

(7)

$\lim_{n\to\infty}\int_E f_n(x)\,d\mu=\int_E f(x)\,d\mu.$

各積分が有限で，等式が成り立つのである．

［証］

仮定 (6) によって，$f_n(x)$ は積分有限である．また §109，6．，7．によって，$S(x)\ne\infty$ と仮定してよい． まず一般に $g_n(x)\geqq 0,\,h_n(x)=\inf(g_n(x),g_{n+1}(x),\ldots)\geqq 0$ と置けば，$\varliminf g_n(x)=\lim h_n(x)$ で，$h_n(x)$ は増大列だから，定理 88によって，

$\int_E\varliminf g_n(x)\,d\mu=\int_E\lim h_n(x)\,d\mu=\lim\int_E h_n(x)\,d\mu.$

$g_n(x)\geqq h_n(x)$ だから

$\int_E g_n(x)\,d\mu\geqq \int_E h_n(x)\,d\mu,$

従って

$\varliminf\int_E g_n(x)\,d\mu\geqq\lim\int_E h_n(x)\,d\mu.$

すなわち

(8)

$\int_E\varliminf g_n(x)\,d\mu\leqq\varliminf\int_E g_n(x)\,d\mu.$

これを $S(x)+f_n(x)\geqq 0$ に適用すれば（上記の仮定 $S(x)\ne\infty$ を用いて），

$\int_E S(x)\,d\mu + \int_E\varliminf f_n(x)\,d\mu \leqq \int_E S(x)\,d\mu + \varliminf\int_E f_n(x)\,d\mu.$

両辺から有限なる $\textstyle\int_E S(x)\,d\mu$ を引いて，

(9)

$\int_E\varliminf f_n(x)\,d\mu\leqq\varliminf\int_E f_n(x)\,d\mu.$

同様に $S(x)-f_n(x)\geqq 0$ から，

$\int_E\varliminf(-f_n)\,d\mu\leqq\varliminf\int_E(-f_n)\,d\mu,$

すなわち

$-\int_E\varlimsup f_n\,d\mu\leqq -\varlimsup\int_E f_n\,d\mu,$

すなわち

(10)

$\int_E\varlimsup f_n\,d\mu\geqq \varlimsup\int_E f_n\,d\mu.$

以上仮定 (6) のみを用いた．さて $\lim f_n(x)=f(x)$ のはずであるから，(9)，(10) から

$\varlimsup\int_E f_n\,d\mu\leqq\int_E f(x)\,d\mu\leqq\varliminf\int_E f_n\,d\mu.$

もとより $\textstyle \varlimsup\int_E f_n\,d\mu\geqq\varliminf\int_E f_n\,d\mu$ だから，等式が成り立って，(7) を得る．

（証終）

定理 90 が上記のように寛大な条件の下において成り立つことは，Lebesgue の理論の著しい成功というべきであろう．

定理 91．

積分は集合函数として加法的である．すなわち，$\textstyle E=\sum_{n=1}^\infty E_n$ が単純和ならば，

(11)

$\int_E f(x)\,d\mu=\sum_{n=1}^\infty\int_{E_n}f(x)\,d\mu.$

左辺の積分は有限でなくてもよい（無意味でなければよい）．

［証］

$f(x)\geqq 0$ としてよい．また $\textstyle \tilde{E}_n=\sum_{n=1}^n E_i$とすれば（§109，1．），

$\int_{\tilde{E}_n}f(x)\,d\mu=\sum_{i=1}^n\int_{E_i}f(x)\,d\mu.$

故に

(12)

$\int_{\tilde{E}_n}f(x)\,d\mu\to\int_E f(x)\,d\mu$

を示せばよい．さて

$\begin{align} x&\in\tilde{E}_n\\ x&\in E-\tilde{E}_n \end{align}$	のとき	$\left.\begin{align} f_n(x)&=f(x),\\ f_n(x)&=0 \end{align}\ \right\}$	とすれば， $\int_{\tilde{E}_n}f(x)\,d\mu=\int_E f_n(x)\,d\mu.$
	のとき

$f_n(x)$ は増大列で，$f(x)$ に収束するから，(12) が成り立つ（定理 88）．

以上，積分の最も重要な性質を述べたが，ここで，積分の定義そのものを反省してみよう．我々は $E$ を分割して $e_i$ における $f(x)\geqq 0$ の下限 $v_i$ をもって $\textstyle s_\Delta=\sum v_i\,\mu e_i$ を作って，その上限として積分を定義したが，同様の立脚点において，$e_i$ における $f(x)$ の上限 $u_i$ をもって，和 $\textstyle S_\Delta=\sum u_i\,\mu e_i$ を作り，$S_\Delta$ の下限として積分を定義することも考えられる．しかし，$\mu E$ は有限，また $E$ において $f(x)$ は有界（$0\leqq f(x)<m$）なる根幹的の場合においては，このような定義からも積分は結局同一に帰する．

今，実数の区間 $[0,m]$ に目盛り

$0=a_0<a_1<\cdots<a_n=m,\quad\max(a_i-a_{i-1})=\delta$

をして

$E_i=E\{a_i\leqq f(x)< a_{i+1}\},\quad E=\sum_{i=1}^{n-1}E_i$

とすれば，$E$ のこの分割 $\Delta$ に関しては

$s_\Delta\geqq\sum a_i\,\mu E_i,\quad S_\Delta\leqq\sum a_{i+1}\,\mu E_i.$

さて

$0 \leqq \sum a_{i+1}\,\mu E_i-\sum a_i\,\mu E_i = \sum(a_{i+1}-a_i)\mu E_i\leqq \delta\sum\mu E_i=\delta\cdot\mu E.$

従って

$0\leqq S_\Delta-s_\Delta\leqq\delta\cdot\mu E.$

$\Delta$ は特別な分割であるが，一般に二つの分割 $\Delta^{(1)},\Delta^{(2)}$ を合併して分割 $\Delta^{(3)}$ が作られる．すなわち

$\Delta^{(1)}\colon\quad E=\sum_i e_i^{(1)},\qquad \Delta^{(2)}\colon\quad E=\sum_j e_j^{(1)},$

$\Delta^{(3)}\colon\quad E=\sum_{i,j} e_i^{(1)}e_j^{(2)}.$

そうすれば，

$S_{\Delta^{(1)}}\geqq S_{\Delta^{(3)}}\geqq s_{\Delta^{(3)}}\geqq s_{\Delta^{(2)}},$

すなわち

$S_{\Delta^{(1)}}\geqq s_{\Delta^{(2)}}.$

$\Delta^{(1)},\Delta^{(2)}$ は任意だから

$\inf S\geqq \sup s.$

よって，上記の $S_\Delta, s_\Delta$ を用いて

$0\leqq\inf S-\sup s\leqq S_\Delta -s_\Delta \leqq\delta\,\mu E.$

$\delta$ は任意に取れるから

$\inf S=\sup s=\int_E f(x)\,d\mu.$

なお考慮すべきは，§109 で $E$ を有限列 $e_i$ に分割して $s_\Delta$ を定義したが，上に述べたような思想圏において， $E$ を無限単純列 $\textstyle\sum e_i$ に分割して，そのような分割 $\Delta'$ に関して $s_{\Delta'}$ を定義して，$\sup s_{\Delta'}$ をもって積分を定義することである．然るに，$\Delta'$ は $\Delta$ の再分と考えられるから，$s_{\Delta'}\geqq s_\Delta$ であるが，一方 $s_\Delta\leqq S_{\Delta'}\leqq S_\Delta$ であるから，$\textstyle\sup s_{\Delta'}=\int_E f(x)\,d\mu$ である．$S$ に関しても同様である．

Riemann 積分に関して §30 に述べた Darboux の和においては，このような結果は得られなかった．あそこでは，$f(x)$ を単に有界としたが，ここでは $f(x)$ を M 函数とした．あそこでは $\Delta$ をば，区間を区間への分割に限定したが，ここでは，M 集合 $E$ を自由に M 集合に分割することを許したのである．

§109 に述べた積分の定義は簡明であるが，なお Lebesgue の定義との連絡のために，次の定理をつけ加える．簡明のために正なる函数を考察する．

定理 92．

集合 $E$ において $f(x)\geqq 0$ とする．正数の範囲に目盛り

($\Delta$)

(13)

$0=l_0<l_1<\cdots<l_n<\cdots,\qquad\sup(l_n-l_{n-1})=\delta$

をつけて，

$e_n=E\{l_n\leqq f(x)< l_{n+1}\},\qquad e_\infty=E\{f(x)=\infty\}$

と書けば，$\mu(e_\infty)=0$ なる条件の下において，

(14)

$\int_E f(x)\,d\mu=\lim_{\delta\to0}\sum_{1\leqq n<\infty}l_n\,\mu e_n.$

Lebesgue は初め $\mu E$ も $f(x)$ も有界なる場合に，(14) の右辺の極限をもって，左辺の積分を定義したのである．

［証］

目盛り $\Delta$ に対応して，

$\begin{align} f_\Delta(x)&=l_n, & x&\in e_n & &(n=0,1,2,\ldots)\\ &=\infty & x&\in e_\infty \end{align}$

なる函数 $f_\Delta(x)$ を取れば，$x\in e_n$ のとき，

$f(x)-f_\Delta(x)<l_{n+1}-l_n\leqq\delta$

だから，$\delta\to 0$ のとき

(15)

$f_\Delta(x)\to f(x).$

一方（定理 91），

$\int_E f_\Delta(x)\,d\mu = \sum_{1\leqq n<\infty}\int_{e_n}f_\Delta(x)\,d\mu +\int_{e_\infty}f_\Delta(x)\,d\mu$

(16)

$=\sum_{1\leqq n<\infty} l_n\,\mu e_n,$

後段の等式は仮定 $\mu e_\infty=0$ による（§109，6．）．さて，ここで二つの場合を区別する．

(1º)

$f(x)$ の積分が有限ならば（定理 90 の $S(x)$ に $f(x)$ 自身を当てて），(15) によって

$\int_Ef(x)\,d\mu=\lim_{\delta\to0}\int_Ef_\Delta(x)\,d\mu.$

従って，(16) から (14) を得る．

(2º)

$\textstyle\int_E f(x)\,d\mu=\infty$ ならば，(14) の右辺も $\infty$ である．――この場合，(8) と同様に，

$\varliminf\int_E f_\Delta(x)\,d\mu\geqq \int_E\varliminf f_\Delta(x)\,d\mu$

だから，(15) によって

$\varliminf\int_E f_\Delta(x)\,d\mu\geqq\int_E f(x)\,d\mu=\infty.$

従って

$\lim_{\delta\to 0}\int_E f_\Delta(x)\,d\mu=\infty.$

［附記］ 

$E_t=E\{t\leqq f(x)\},\mu E_t=\psi(t)$ と置けば，$\psi(t)$ は単調減少であるが，$e_n=E_{l_n}-E_{l_{n+1}}$ だから，

$\sum l_n\,\mu e_n=\sum\psi(l_n)(l_n-l_{n-1})$

で，$\textstyle\lim\sum l_n\,\mu e_n$ すなわち積分 $\textstyle\int_E f(x)d\mu$ は Riemann 積分$(R)\int^\infty\psi(t)dt$ に等しい．

次の定理は後に至って応用されるが，それ自身としても興味あるものである．

§109，5．において $g(x)=1$ とすれば，$e$ において $a\leqq f(x)\leqq b$ なるとき，$\textstyle a\,\mu e\leqq \int_e f(x)d\mu\leqq b\,\mu e$ で，これが本来の平均値の定理ともいうべきものである．この関係は，加法的集合函数としての積分の特徴である．すなわち次の定理が成り立つ．

定理 93．

$\mu E$ が有限なる $E$ において，$f(x)$ は M 函数，$F(e)$ は加法的集合函数で，$-\infty\leqq a\leqq b\leqq\infty$ なるすべての $a,b$ に関して

(17)

$e\subset E\{a\leqq f(x)\leqq b\}$　なるとき　$a\,\mu e\leqq F(e)\leqq b\,\mu e$

ならば

$F(E)=\int_e f(x)\,d\mu.$

［注意］ 

$a,b$ がその値として $\pm\infty$ をとる場合，規約 $0\cdot\infty=0$ を適用する． $E\{f(x)\geqq 0\}$ と $E\{f(x)<0\}$ とを別々に考察すればよいから，$E$ において $f(x)\geqq 0$ と仮定してよい．然らば，(17) において $a=0$ として，$F(e)\geqq 0$ を得る．また $e_\infty=E\{f(x)=\infty\}$ とすれば，$\mu e_\infty>0$ の場合には，(17) において $a=\infty$ と置いて $F(e_\infty)=\infty$，従って $F(E)=\infty$．また $\textstyle\int_E f(x)d\mu=\infty$ だから，定理は $\infty=\infty$ の意味で成り立つ．よって $\mu e_\infty=0$ としてよいが，そのとき (17) において $a=\infty$ とすれば $F(e_\infty)=0$ を得る（規約 $0\cdot\infty=0$）．故に

(18)

$f(x)\geqq 0,\quad F(e)\geqq 0,\quad \mu e_\infty=0,\quad F(e_\infty)=0$

と仮定して証明すればよい．この仮定の下においては，$-\infty<a\leqq b<\infty$ なる $a,b$ に関して (17) を仮定すれば，定理は成り立つ．それを証明する．

［証］

(13) の目盛りに関して，前のように

$e_n=E\{l_n\leqq f(x)<l_{n+1}\},\quad\sup(l_{n+1}-l_n)=\delta$

と置けば，

$E=\sum_{0\leqq n<\infty} e_n+e_\infty.$

さて (17) から

$l_n\,\mu e_n\leqq F(e_n)\leqq l_{n+1}\,\mu e_n.$

$F(e)$ の加法性から，$F(e_\infty)=0$ を用いて

$\sum l_n\,\mu e_n\leqq F(E)\leqq \sum l_{n+1}\,\mu e_n.$

$\mu e_\infty=0$ によって，積分 $\textstyle\int_E f(x)d\mu$ も同じ限界内にあるから，$\mu e_n<\infty$ を用いて

$\left|F(E)-\int_E f(x)\,d\mu\right|\leqq \sum(l_{n+1}-l_n)\mu e_n\leqq\delta\sum\mu e_n\leqq\delta\,\mu E.$

$\delta>0$ は任意であるから，$\mu E<\infty$ を用いて，

$F(E)=\int_E f(x)\,d\mu.$

［注意］ 

$\mu E=\infty$ ならば，規約によって $E_n\uarr E,\mu E<\infty$，よって $\textstyle F(E_n)=\int_{E_n}f(x)d\mu$ から，$n\to\infty$ の極限へ行って標記の等式を得る．

---

111．加法的集合函数

σ 系 $\mathrm{M}$ における加法的集合函数 $F(e)$ の定義は既に述べた（403 頁），すなわち

(1º)

単純和 $\textstyle e=\sum e_n$ に関して $\textstyle F(e)=\sum F(e_n)$．

これより後，簡単のためこの定義に次の条件を追加する．

(2º)

一つの $\mathrm{M}$ 集合 $E$ の内で，$F(e)$ は有限である： $e\subset E, e\in \mathrm{M}$ ならば $F(e)\ne\pm\infty.$

この条件のために次の定理が成り立つ．

定理 94．

$F(e)$ は $E$ において有界である．すなわち一つの定数 $m$ をもって，$e\subset E$ なるとき，$|F(e)|<m$．

［証］

$|F(E)|=c$ と置けば定義の (2º) によって $c\ne\infty$，もしも $F(e)$ が有界でないとするならば，任意の $\eta>0$ をもって

$e_1\subset E,\quad |F(e_1)|> c+\eta$

なる $e_1$ が存在する．従って

$F(e_1)+F(E-e_1)=F(E)$

から

$|F(E-e_1)|>\eta.$

そうして $e_1$ または $E-e_1$ の内で $F$ は有界でないはずである．今両者のうちで $F$ が有界でないほうを改めて $e_1$ と書いて，同様の考察を継続すれば，

(1)

$e_1\supset e_2\supset\cdots\supset e_n\supset\cdots, \quad |F(e_n-e_{n+1})|>\eta$

なる集合列 $\{e_n\}$ を得る．そこで $e_0=\lim e_n$ とすれば

$e_1-e_0=\sum_{n=1}^\infty(e_n-e_{n+1})$

は単純和だから，

$F(e_1-e_0)=\sum F(e_n-e_{n+1})$

であるべきであるが，(1) によって右辺は収束しない．これは不合理である．

定理 95．

$F$ が加法的ならば，

$e_n\to e$　のとき　$F(e_n)\to F(e).$

［証］

$F$ が常に正： $F(e)\geqq 0$ なるときは，$F$ は有限であることを用いて，定理 87 で $\nu e$ に関して述べたのと同様である．$F$ の符号が一定でないときには，次の定理 96 によって $F\geqq 0$ の場合に帰する．

加法的集合函数 $F(e)$ が与えられているとき

(2)

$F^+(E)=\sup_{e\in E}F(e),\quad F^-(E)=\inf_{e\in E}F(e)$

によって，集合函数 $F^+,F^-$ が定義される．$e=0$ を空集合とすれば，$F(0)=0$ だから，上記の $sup$ は $\geqq 0$，$\inf$ は $\leqq 0$，従って

(3)

$F^+(E)\geqq 0,\quad F^-(E)\leqq 0.$

定義．

$F^+,F^-$ をそれぞれ $F$ の正の変動（または変分），負の変動といい，また $V(E)=F^+(E)+|F^-(E)|$ を $F(E)$ の絶対変動（または全変動）という．

定理 96．

$F(E)=F^+(E)+F^-(E).$

［証］

$E=E_1+E_2$ を単純和とすれば，

$F(E)=F(E_1)+F(E_2).$

$E_2\subset E$ だから，(2) によって

$F(E_2)\leqq F^+(E),\quad F(E_2)\geqq F^-(E).$

故に

$F(E)-F^-(E)\geqq F(E_1)\geqq F(E)-F^+(E).$

$E_1$ は $E$ の任意の部分集合（M 集合）だから，上限，下限へ行って

$F(E)-F^-(E)\geqq F^+(E),\quad F^-(E)\geqq F(E)-F^+(E).$

故に標記の等式が成り立つ．

定理 97．

$F^+,F^-,V$ は加法的である．

［証］

$\textstyle E=\sum E_n$ を単純和とし，$F^+(E)=g,F^+(E_n)=g_n$ と書いて，$\textstyle g=\sum g_n$ を証明する． 任意に $\varepsilon>0$ を取って $\textstyle \varepsilon=\sum \varepsilon_n,\varepsilon_n>0$ とする．然らば上限としての $F^+$ の意味によって，

$e_n\subset E_n,\quad F(e_n)>g_n-\varepsilon_n\quad(n=1,2,\ldots)$

なる $e_n$ がある．そこで $\textstyle e=\sum e_n$ とすれば，これも単純和で，$e\subset E$ だから，

$g\geqq F(e)=\sum F(e_n)>\sum g_n-\varepsilon.$

故に $\textstyle \sum g_n$ は収束するが，$\varepsilon>0$ は任意だから $\textstyle g\geqq \sum g_n$． 逆に $e\subset E, F(e)>g-\varepsilon, eE_n=e_n$ とすれば，$\textstyle e=\sum e_n$ は単純和で，

$g-\varepsilon < F(e)=\sum F(e_n) \leqq \sum g_n.$

$\varepsilon$ は任意だから $\textstyle g\leqq \sum g_n$．故に $\textstyle g=\sum g_n$．すなわち $F^+(E)$ は加法的である．従って $F^-=F-F^+, V=F^++|F^-|$ も加法的である．

定理 98．

上下限 $F^+(E),F^-(E)$ は $E$ 内で到達される．すなわち

1º

$E=P+N$ なる分割があって［Hahn の分割］，

$F^+(E)=F(P),\quad F^-(E)=F(N).$

2º

$e\subset P$ ならば，$F(e)\geqq 0$，$e\subset N$ ならば，$F(e)\leqq 0$．

3º

$e\subset E$ なる $e$ に関しては

$F^+(e)=F(eP),\quad F^-(e)=F(eN).$

［証］

(4)

$E=P+N,\quad F^+(N)=0,\quad F^-(P)=0$

なる $P,N$ の存在を示せばよい．そうすれば（定理 96）

$\begin{align} F(P)=F^+(P)+F^-(P)=F^+(P),\\F(N)=F^+(N)+F^-(N)=F^-(N). \end{align}$

また一方（定理 97）

$\begin{align} F^+(E)=F^+(P)+F^+(N)=F^+(P),\\F^-(E)=F^-(P)+F^-(N)=F^-(N) \end{align}$

だから 1º が得られる．

2º も (4) から得られる．実際，(4) から $F^-(P)=0$ だから，$e\subset P$ なるとき $F(e)\geqq 0$．同様に $F^+(N)=0$ だから，$e\subset N$ なるとき $F(e)\leqq 0$．

次に，$e'\subset eP$ ならば，2º によって $F(e')\geqq 0$，従って $F^-(eP)=0$．また $e'\subset eN$ ならば $F(e')\leqq 0$．故に $e=eP+eN$ は $e$ の Hahn 分割である．それが 3º である．

さて (4) を満足せしめる $P,N$ を求めよう．$F^+(E)=g$ と置く．そのとき $1$ より小なる一定の $\varepsilon$ に対して

$F(e_n)>g-\varepsilon^n\quad(1>\varepsilon>0)$

なる集合列 $e_n$ が $E$ 内にある．そうして

$F^+(e_n)>g-\varepsilon^n,\quad F^+(E-e_n)<\varepsilon^n.$

今

$P=\varliminf e_n,\quad N=E-P$

とする．然らば任意の $p$ に関して

$N=\varlimsup(E-e_n)\subset \bigcup_{p\leqq n<\infty}(E-e_n).$

故に

$0\leqq F^+(N)\leqq \sum_{p\leqq n<\infty}F^+(E-e_n) <\sum_{n=p}^\infty \varepsilon^n =\frac{\varepsilon^n}{1-\varepsilon}.$

$1>\varepsilon>0$ で $p$ は任意だから，$p\to\infty$ の極限へ行って，$F^+(N)=0$． 一方，$F^+(e_n)\leqq g, F(e_n)=F^+(e_n)+F^-(e_n)>g-\varepsilon^n$ から，$-F(e_n)<\varepsilon^n$．よって 404 頁 (2) と同様に（あそこの $\mu$ に $-F^-$ をあてて），

$\varepsilon^n\geqq\varliminf(-F^-(e_n))\geqq -F^-(\varliminf e_n)=-F^-(P)\geqq 0.$

従って $n\to\infty$ に行って $F^-(P)=0$．

すなわち $P,N$ は (4) に適合する．

112．絶対連続性 特異性

σ 系 $\mathrm{M}$ における一つの測度 $\mu$ に基づいて，一般の加法的集合函数の連続性を考察するために，次の定義を立てる．

$E$ において加法的なる集合函数 $F(e)$ が

(1)

$\mu e=0$　なるとき　$F(e)=0$

なる条件を満たすとき，$F(e)$ を $E$ において絶対連続という．

また $F(e)$ が $E$ ないでほとんど常に $0$ なるとき，すなわち $\mu(e_0)=0$ なる一つの集合 $e_0$ 以外で常に $0$ なるとき，$F(e)$ を特異函数という．そのとき，$e=e_0e+(e-e_0)$ で $F(e-e_0)=0$ なのだから，$F(e)=F(e_0e)$．

次のことは定義によって明白であろう．

1．

絶対連続な函数 $F$ の正・負の成分 $F^+,F^-$ および絶対変分 $V$ は絶対連続である．

2．

絶対連続な函数は線型空間を成す．すなわち $F.G$ が絶対連続で，$a$ が任意の実数ならば，$aF,F+G$ も絶対連続である．一般に絶対連続な函数 $F_i\,(i=1,2,\ldots,n)$ の実係数 $a_i$ をもっての一次結合 $\textstyle \sum_{i=1}^n a_iF_i$ は絶対連続である．

3．

$E$ において絶対連続なる函数の列 $\{F_n(e)\}$ が，すべての $e\subset E$ に関して $F(e)$ に収束するならば，$F$ は絶対連続である．

4．

集合列 $E_n$ の各集合において $F$ が絶対連続ならば，$F$ は $E_n$ の合併 $\textstyle E=\bigcup E_n$ においても絶対連続である．

上記 1．-4．において‘絶対連続’を‘特異’で置き換えてもよい．

5．

$E$ において絶対連続で，かつ特異な函数は常に $0$ に等しい．

$F$ が特異ならば，$e_0\subset E,\mu e_0=0;\,F(e)=F(ee_0)$．その $F$ が絶対連続ならば，$\mu ee_0=0$ から，$F(ee_0)$．従って $F(e)=0$．

6．

積分 $\textstyle \int_e f(x)d\mu$ を集合 $e$ の函数とみて，それを不定積分という．不定積分が $E$ の上で有限ならば，$E$ 内の $e$ でも有限で，それは加法的であるが（定理 91），それは $E$ において絶対連続である（§109，6．）．

［注意］ 

上記の定義において，絶対連続という用語は奇異に感ぜられるであろう．この用語の由来は後に述べるが，ここで集合函数の連続性に関して手近な解説をしておこう．まず $F(e)$ が絶対連続ならば，$\mu e\to 0$ なるとき $F(e)\to 0$ なることを証明する．定理 96 によって $F(e)\geqq 0$ の場合を考察すればよいが，今間接法を用いるために，$\mu e_n\to 0$ で，しかも $F(e_n)\to 0$ ではないと仮定する．然らば $\{e_n\}$ の中に，或る数 $\eta >0$ に関して $F(e_n)>\eta>0$ なる $e_n$ が無数にあって，その中から $\mu e_n<\delta^n\,(0<\delta<1)$ なる $\{e_n\}$ を取り出すことができるであろう．それらの $e_n$ に関して $e_0\leqq \varlimsup e_n$ と置けば，$\textstyle e_0\subset \bigcup_{n\geqq p}e_n$，従って $\textstyle \mu e_0\leqq \sum_{n\geqq p}\mu e_n < \frac{\delta^p}{1-\delta}$．$p$ は任意だから，$\mu e_0~0$．故に絶対連続性の定義によって $F(e_0)=0$．然るに404 頁 (3) と同様に$F(e_0)=F(\varlimsup e_n)\geqq \varlimsup F(e_n)\geqq \eta>0$．これは不合理である．故に $\mu e_n\to 0$ ならば $F(e_n)\to 0$．すなわち $\mu e_n=0$ なるとき $F(e)=0$ なることは，$\mu e\to 0$ なるとき $F(e)\to 0$ なることを意味する．それを見越して，絶対連続の定義を既述のように立てたのである．$\mu e=0$ であっても，それは $e=0$，すなわち $e$ が空集合であるのではない．だから単に $\mu e\to 0$ からしてすでに $F(e)\to 0$ が保証されることは，高度の連続性といわねばならない．

定理 99．

$E$ の測度が有限なるとき（または一般に $E$ が有限測度の集合列の合併であるとき），$E$ において加法的なる集合函数は絶対連続な函数と特異函数との和として一意に表わされる［Lebesgue の分割］．

定理 100．

$E$ は前の通りとして，$E$ において加法的なる集合函数が絶対連続なるためには，それが或る点函数の不定積分であることが，必要かつ十分である［Radon-Nikodym の定理］．

［証］

定理 99，100 を一括して証明するために，$\mu E<\infty$，また $F(e)$ は $E$ において加法的として，$e\subset E$ なる $e$ に関し，

(2)

$F(e)=F(eH)L\int_e f(x)\,d\mu$

なる M 函数 $f(x)$ と $\mu H=0$ なる M 集合 $H\subset E$ との存在を証明する．然らば $e\subset E-H$，従って $eH=0$ なるとき，$\mathit{\Phi}(e)=F(eH)=0$ だから，$\mathit{\Phi}$ は特異函数で，また $\textstyle \int_e f(x)d\mu$ は絶対連続であるから（前頁，6．）定理 99 にいう Lebesgue の分割の可能性が確定する． また $\textstyle \mu E_n<\infty, E=\bigcup E_n$ ならば，それを単純和に直すことができるから，加法性によって $E$ においても (2) が成り立つ．Lebesgue の分割が一意的であることは簡明である．今

$F(e)=\mathit{\Phi}_1(e)+\mathit{\Psi}_1(e)=\mathit{\Phi}_2(e)+\mathit{\Psi}_2(e)$

で，$\mathit{\Phi_1,\Phi_2}$ は特異，$\mathit{\Psi_1,\Psi_2}$ を絶対連続とすれば，

$\mathit{\Phi_1-\Phi_2=\Psi_1-\Psi_2}$

において，左辺は特異，右辺は絶対連続だから，両辺は $0$ に等しい（前頁，5．）．

Lebesgue 分割が一意だから，(2) から定理 100 にいう条件の必要性がわかる．それが十分であることは既知である（§109，6．）．

さて，(2) の証明であるが，$F$ に関する Hahn の分割（定理 98）$E=P+N$ によって，例の通り $F(e)\geqq 0$ としてよい．仮定によって $\mu E<\infty$ だから，$r>0$ を任意の有理数として，$E$ において加法的なる $F(e)-r\mu e$ に Hahn の分割を適用して，

(3)

$e_r$ において $F(e)\geqq r\mu e$,　$e'_r$ において $F(e)\leqq r\mu e$

とする．ただし，$e'_r=E-e_r$．すなわち $'$ は $E$ に対する余集合（以下同様）．また，負（$\leqq$）なる有理数 $r$ に対して，$e_r=E$ と置く．然らば，$r\leqq 0$ なるときにも，(3) は成り立つ． 今，任意の実数 $t$ に対して

(4)

$E(t)=\bigcap_{r<t}e_r$

と置く（402頁）．然らば，(3) から，実数 $t$ に関して，

(5)

$E(t)$　において　$F(e)\geqq t\mu e,$

(6)

$E(t)'=\bigcup_{r<t}e'_r$　において　$F(e)\leqq t\mu e$

であるが，今

(7)

$H=E(\infty)=\bigcap_{r<\infty}e_r$

と置けば，任意の $r$ に対して (3) から

$F(H)\geqq r\mu H.$

$F(H)<\infty$ のはずだから，$\mu H=0$．故に $\mathit{\Phi}(e)=F(eH)$ は特異函数である．よって $H'=E=H$ と置けば

$F(e)=F(eH)+F(eH'),\quad \mu e=\mu eH'$

だから，(2) を得るには，

$F(eH')=\int_{eH'}f(x)\,d\mu = \int_e f(x)\,d\mu$

なる $f(x)$ が求められればよい．このような $f(x)$ は 402 頁に述べたようにして，$E(\infty)=E$ と置いて，(4)，(7) の集合 $E(t), -\infty\leqq t\leqq \infty$ から得られる． 実際，そのとき

(8)

$E(t)=E\{f(x)\geqq t\},\quad E'(s)=E\{f(x)<s\}$

であるが，(5)，(6) によって，$-\infty<t\leqq s<\infty$ なる $t,s$ と $e\subset H'$ なる $e$ に関して

(9)

$e\subset E\{t\leqq f(x)\leqq s\}$　なるとき　$t\mu e\leqq F(e)\leqq s\mu e.$

ここで，§110，(18) の仮定が，$H'$ において成り立つ．実際，(4)，(7) によって $E(0)=E,E(\infty)=H$ だから，(8) の前段の式によって，$H'$ において $0\leqq f(x)<\infty$，従ってあそこの $e_\infty=E(\infty)\cap H'$ は空集合となり，$\mu(e_\infty)=0,F(e_\infty)=0$ が成り立つ．$F(e)\geqq 0$ は仮定した．

さて，$H'\subset E$，従って $\mu H'< \infty$ だから，(9) によって，$e\subset H'$ なる $e$ に関して

$F(e)=\int_e f(x)\,d\mu$

を得る（定理 93，415 頁［注意］）．

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II．Lebesgue の測度および積分

解析概論/第9章/Euclid空間 区間の体積 解析概論/第9章/Lebesgue測度論 解析概論/第9章/零集合 解析概論/第9章/開集合・閉集合 解析概論/第9章/Borel集合 解析概論/第9章/集合の測度としての積分

119．累次積分

前節の方法を応用して，高次元積分を低次元積分のくりかえし（累次積分）に帰せしめることができる．すなわち次の定理が成り立つ．

定理 110．

［Fubini の定理］ $R^n$ における L 函数 $f(x,y)\,(x\in R^p,y\in R^q,p+q=n)$ に関して，積分

(1)

$J=\int_{R^n}f(x,y)d\mu$

が確定であるとする．然らば

(2)

$J=\int_{R^p}\left(\int_{R^q}f(x,y)(dy)\right)(dx).$

定理の意味は次の通りである．積分 (1) が確定（または有限）ならば，ほとんどすべての $x$ に関して，$f(x,y)$ は $R^q$ における L 函数で，積分 $\textstyle\int_{R^q}f(x,y)(dy)$ は，ほとんどすべての $x$ に対して確定（または有限）で，$R^p$ における L 函数となる．そうして (2) の右辺の積分が確定（または有限）で，(2) が成り立つというのである．

［証］

(1º)

$f(x,y)\geqq0$ の場合．

そのとき，$f(x,y)$ から生ずる縦線集合

$E=E\{(x,y,z);x\in R^p,y\in R^q,0\leqq z\leqq f(x,y)\}$

は $R^{n+1}$ の L 集合で，(1) の $J$ は$E$ の測度である（定理 109）．すなわち

$J=\mu E,$

故に．（§118，(23)）

(3)

$J=\int_{R^p}mE(x)\,(dx).$

ここで $E$ の断面 $E(x)$ は $(y,z)$ 空間における縦線集合，$m$ 派その空間における L 測度である．前に述べたように，$mE(x)$ は或る零集合に属する $x$ に対して無意味のこともあろうが，その零集合を無視しても，(3) の右辺の積分の値には影響はないのである． さて，$E(x)$ が L 集合なる $x$ に対して，$f(x,y)$ は $R^q$ における L 函数であり，

(4)

$mE(x)=\int_{R^q}f(x,y)\,(dy).$

故に (3)，(4) から (2) が得られる． (1) の積分が有限のときには，(3) によって，(4) の積分は，ほとんどすべての $x$ に対して有限である．

(2º)

$f(x,y)$ が正負の値を取る場合．

$f^+$ と $f^-$ とを別々に考察すれば，1º．によって

(5)

$\int_{R^n}f^{\pm}(x,y)d\mu=\int_{R^p}\left(\int_{R^q}f^{\pm}(x,y)(dy)\right)(dx)$

を得る．(1) の積分が確定なら，(5) の左辺の積分の一方（少くとも）は有限で，その差が (1) の積分に等しい．また，(5) の右辺の内側の二つの積分は，1º．によって，或る零集合に属しない $x$ に対しては，ともに L 函数で，そのうちの一方は有限である．故に

(6)

$\int_{R^q}f(x,y)\,(dy)=\int_{R^q}f^+(x,y)\,(dy)-\int_{R^q}f^-(x,y)\,(dy)$

はほとんどすべての $x$ に対して確定である（無意味 $\infty-\infty$ でない）．(6) の両辺を空間 $R^p$ において積分すれば，(5) の右辺の差が，(2) の積分に等しいことがわかる．

（証終）

累次積分における積分の順序が自由にできるところにも，Lebesgue 積分の優秀性が認められるであろう．

次の定理は，定理 110 からの直接の帰結であるが，定理 110 とあわせて，積分の順序の変更に関し，実用上，有効である．

定理 111．

$R^n\,(n=p+q)$ における L 函数 $f(x,y)$ に関し，累次積分

$I=\int_{R^p}\left(\int_{R^q}|f(x,y)|(dy)\right)(dx)$

が有限ならば，$f(x,y)$ の $R^n$ における積分は有限である．

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120．Riemann 積分との比較

Lebesgue 積分と Riemann 積分との関係を考察するに当って，解説を透明にするために，予備的の説明から始める．

$R^n$ の有界なる集合 $E$ において，有界なる任意の函数 $f(x)$ が与えられているとする．点 $x$ の近傍 $U$（すなわち $x$ を内点とする開集合）と $E$ との共通部分における $f(x)$ の値の上限 $\textstyle \sup_{x\in U}f(x)$ は $U$ が縮小するとき，減少（不増大）するであろう．すべての $U$ に関するそれの下限

$\bar{f}(x)=\inf_U(\sup_{x\in U}f(x))$

は点 $x$ において確定する．$x$ が $E$ 内を動くとき，$\bar{f}(x)$ は $E$ における函数である．大小の関係を逆にすれば，同様にして函数

$\underline{f\!}\,(x)=\sup_U(\inf_{x\in U}f(x))$

が確定する．上記において任意の $U$ の代りに，単調に $x$ に収束する開区間の列 $W_1\supset W_2\supset\cdots\supset W_n\supset\cdots$ を取ってもよい．任意の $U$ の内に或る $W_n$ が含まれ，また任意の $W_n$ の内に或る $U$ が含まれているから，それは明らかであろう．さて

$\underline{f\!}\,(x)\leqq f(x)\leqq \bar{f}(x)$

で，点 $x_0$ において $f(x)$ が連続なることは，すなわち

$\underline{f\!}\,(x_0)=f(x_0)=\bar{f}(x_0)$

である．もしも等号が一方のみ成り立つときは $f(x)$ は $x$ において半連続という（$f=\bar{f}$ ならば上半連続，$f=\underline{f\!}$ ならば下半連続）． 今 $E$ の全局において，一律に $\bar{f}(x),\underline{f\!}\,(x)$ を定めるために §116 に述べたような基準格子系列 $\{\mathrm{G}^{(n)}\}$ を取るならば，各点 $x$ は格子 $\mathrm{G}^{(n)}$ において一定の（半開）区間 $w^{(n)}$ に属する．そこで

$M^{(n)}(x)=\sup_{x\in w^{(n)}}f(x),\quad m^{(n)}(x)=\inf_{x\in w^{(n)}}f(x)$

と置けば，$M^{(n)}(x),m^{(n)}(x)$ は階段的なる B 函数で，それらは，それぞれ，一定の $x$ に関し，$n$ と共に単調（広義）に減少または増大する．従って

$M(x)=\lim_{n\to\infty}M^{(n)}(x),\quad m(x)=\lim_{n\to\infty}m^{(n)}(x)$

とすれば，$M(x),m(x)$ も B 函数である（§107）． さて $M(x),m(x)$ と $\bar{f}(x),\underline{f\!}\,(x)$ との関係はどうであるか．もしも点 $x$ が格子系列の各 $\mathrm{G}^{(n)}$ において，区間 $w^{(n)}$ の内点であるならば（上記の $W_n$ に $w^{(n)}$ の開核を代用してもよいから）

$M(x)=\bar{f}(x),\quad m(x)=\underline{f\!}\,(x)$

であるが，もしも $x$ が或る $\mathrm{G}^{(n)}$ において，従って $\mathrm{G}^{(m)}\,(m\geqq n)$ において，区間 $w^{(n)}$ の境界上（格子線上）にあるならば，（$U$ が $w^{(n)}$ に限定されるために）

$M(x)\leqq \bar{f}(x),\quad m(x)\geqq \underline{f\!}\,(x)$

ではあるが，そのような除外点（すなわちすべての格子線上の点）は零集合（B 系）だから，

(1)

$M(x)\simeq \bar{f}(x),\quad m(x)\simeq \underline{f\!}\,(x).$

従って $\bar{f}(x),\underline{f\!}\,(x)$ は B 函数である．

以上を前置きとして，Riemann 積分の考察に移る．§90 に連絡して有界なる $f(x)$ が有界なる区間 $K$ において与えられているとする．§90 で述べたように，分割 $\Delta$ は基準格子系列 $\mathrm{G}^{(n)}$ によるものに限定してよいから，$s_\Delta,S_\Delta$ の代りに $s^{(n)},S^{(n)}$ と書く．そうすれば，それらは階段函数の L 積分として，次のように表わされる．

$S^{(n)}=\int_K M^{(n)}(x)dm,\quad s^{(n)}=\int_K m^{(n)}(x)dm,$

従って $n\to\infty$ の極限へ行って（定理 90），

$S=\int_K M(x)\,dm,\quad s=\int_K m(x)\,dm.$

従って (1) から

$S=\int_K \bar{f}(x)\,dm,\quad s=\int_K \underline{f\!}\,(x)\,dm.$

このように，Darboux の和 $S,s$ は L 積分として表わされる．そこで，Riemann 積分可能の条件 $S=s$ は

$\int_K(\bar{f}(x)-\underline{f\!}\,(x))dm=0$

であるが，$\bar{f}(x)\geqq f(x)\geqq\underline{f\!}\,(x)$ だから，これは $K$ において

$\bar{f}(x)\simeq f(x)\simeq \underline{f\!}\,(x)$

ということに帰する（§115）．換言すれば：

定理 112．

有界なる区間 $K$ において有界なる $f(x)$ の Riemann 積分が可能なるために必要かつ十分なる条件は，$K$ における $f(x)$ の不連続点が零集合をなることである．その場合 Riemann 積分は Lebesgue 積分に等しい． この意味において Lebesgue 積分は Riemann 積分の拡張である．

零集合は区間を含みえない．Riemann 積分可能なる函数は，任意の区間内に連続点を有することを 96 頁で述べたが，それは当然である．Riemann 積分可能なる函数は，ほとんど各所連続である．

［注意］ 

上記，Riemann 積分は本来の意味でいう．いわゆる広義積分で絶対収束をしないもの（一次元）は §109 の意身で $\infty-\infty$ の形になって Lebesgue 積分としては成り立たない（例えば $\textstyle\int_0^\infty \frac{\sin x}x dx=\infty-\infty$）．それを除けば，絶対収束の場合，広義の Riemann 積分は Lebesgue 積分である（§94 および定理 88 参照）．

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121．Stieltjes 積分

Euclid 空間 $R^n$ において，区間の函数 $\mu(w)\geqq 0$ が加法的であるとする．そのとき，$\mu(w)$ を区間の体積 $m(w)$ に代用して，Lebesgue 式に，それをひとつの σ 系の集合 $e$ にまで拡張して，$\mu(e)$ を完全に加法的にすることができるならば，その $\mu(e)$ を §108 の意味の測度として，その測度に基づいて，積分論を組み立てることができるであろう．或る条件の下において，それは実際可能である．そのようにして定義される積分を Lebesgue-Stieltjes 積分という．

今一次元空間 $R^1$ に関して，その大要を述べる．

Stieltjes は初め一つの変数 $x$ の有界変動の函数 $\varphi(x)$ を取って Riemann 式に積分を定義した．すなわち区間 $[a,b]$ において，積分されるべき函数を $f(x)$ とするとき，区間の分割

$(\Delta)$

$a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\qquad \max(x_i-x_{i-1})=\delta$

に対応して作られる和

$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)(\varphi(x_i)-\varphi(x_{i-1})), \quad x_{i-1}\leqq \xi_i\leqq x_i,$

が，$\delta\to 0$ のとき，一定の極限値を有するならば，それを $\varphi(x)$ に関する積分

(1)

$\int_a^b f(x)d\varphi(x)$

としたのである．このような意味での積分 (1) を，今は Riemann-Stieltjes 積分という．本来の Riemann 積分は $\varphi(x)=x$ になる特別の場合である．最も簡単な場合として，$f(x)$ を連続とすれば (1) が可能であることは，Riemann 積分の場合と全く同様である（これを §39 で述べた）．

今，有界変動の函数 $\varphi(x)$ から，$R^1$ において区間の加法的函数を導くために，まず $(-\infty,+\infty)$ において $\varphi(x)$ を有界で単調増大とする．$\varphi(x)$ が区間 $[a,b]$ においてのみ与えられているときには，$x<a$ なるとき $\varphi(x)=\varphi(a)$，$x>b$ なるとき $\varphi(x)=\varphi(b)$ として，$\varphi(x)$ の定義を $(-\infty,+\infty)$ に拡張する．そうして開区間 $(x_1,x_2)$ および一点 $x$ から成る集合 $[x]$ に関して，区間 $w$ の函数 $\mu(w)$ を次のように定義する．

(2)

$w=(x_1,x_2)\colon\quad\mu(w)=\varphi(x_2-0)-\varphi(x_1+0),$

(3)

$w=[x]\colon\qquad\mu(w)=\varphi(x+0)-\varphi(x-0).$

任意の区間は開区間と一点からなる集合との単純和に分割されるから，その区間における $\mu(w)$ を加法的に定義することができる．例えば閉区間

$w=[x_1,x_2]=[x_1]+(x_1,x_2)+[x_2]$

に関しては

$\begin{align} \mu(w) &=(\varphi(x_1+0)-\varphi(x_1-0))+(\varphi(x_2-0)-\varphi(x_1+0))+(\varphi(x_2+0)-\varphi(x_2-0))\\ &=\varphi(x_2+0)-\varphi(x_1-0). \end{align}$

このように定義された $\mu(w)$ は区間に関して加法的である．例えば $(x_1,x_2)$ の内に分点 $x$ を取れば（$x_1<x<x_2$），

$\begin{align} (x_1,x_2)&=(x_1,x)+[x]+(x,x_2),\\ \mu(x_1,x_2)&=(\varphi(x-0)-\varphi(x_1+0))+(\varphi(x+0)-\varphi(x-0))+(\varphi(x_2-0)-\varphi(x+0))\\ &=\varphi(x_2-0)-\varphi(x_1+0) \end{align}$

で，ちょうど (2) と合う． これは，しかしながら，弱い意味の加法性である．実際は $\mu(w)$ は完全に加法的である．(3) からみえるように，$w=[x]$ なるとき，$x$ が $\varphi(x)$ の連続点ならば $\varphi(w)=0$ だから，加法に関しては考慮を要しない．$\varphi(x)$ の不連続点は無数にあっても，可算であるが，もしも $w$ が開区間およびそれらの点の列に分割されて，

$w=\sum_{i=1}^\infty w_i$　ならば　$\mu(w)=\sum_{i=1}^\infty \mu(w_i).$

これは §113 と全く同様にして証明される．

よって §114 と同様の方法によって，$R^1$ において σ 系を成す集合 $e$ の一類にまで，$mu(e)$ を拡張することができる．その σ 系は，少くとも，すべての B 集合を含むであろう．

この $\mu(e)$ を測度として定義されるのが，Lebesgue-Stieltjes 積分である．特に積分範囲が区間 $[a,b]$ であるときは，積分を

$\int_a^b f(x)\,d\varphi$

と書く．記号は (1) と同じであるが，積分が Lebesgue 式か，Riemann 式かを明示することが必要である． 一般の有界変動の函数 $\varphi(x)$ は二つの増大函数の差： $\varphi(x)=\varphi_1(x)-\varphi_2(x)$ として表わされる．その場合には，定義として

$\int_e f(x)\,d\varphi=\int_e f(x)\,d\varphi_1 -\int_e f(x)\,d\varphi_2$

とするのである．

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III．集合函数の微分法

122．微分法の定義

$R^n$ において，集合函数 $f$ が与えられたとき，点 $x$ における $f$ の密度ともいうべきものを考察して，$R^n$ における点函数を導き出すことができる．例えば，$x$ を中心とする $n$ 次元立方体（区間の意味でいう）を $e$ として，$e$ が $x$ に収束するとき

$\frac{f(e)}{m(e)}$

の極限を考察する．そうして $me\to 0$ のとき，

$\bar{D}_{f}(x)=\varlimsup\frac{f(e)}{m(e)},\quad \underline{D\!}\,_{f}(x)=\varliminf\frac{f(e)}{m(e)}$

を点 $x$ における $f$ の上・下微分商といい，両者が一致するとき，その共通の値

$D_f(x)=\lim\frac{f(e)}{m(e)}$

を単に微分商という．$x$ が変動するとき，これらの微分商を点 $x$ の函数とみて，それを $f$ の導函数という．

上記の定義において，$x$ に収束させる $e$ を立方体に限る必要はない．例えば，$x$ を中心とする $n$ 次元の球としてもよい．これらはいわゆる対称的微分商であるが，最も一般には，$x$ を含む任意の集合 $e$ を取ってもよい．ただし $me\to 0$ なるとき，$e$ の形に若干の制限を加えることが適切でもある．$e$ があまりに極端な形を取ることを防ぐためには，集合 $e$ を包む最小の立方体を $w$ として，

$\alpha(e)=\frac{m(e)}{m(w)} > 0$

をかりに $e$ の正則性の指数 と名づけて，それが $0$ でないことを要求する．これは十分寛大な制限である．以下，我々は $x$ に収束する閉集合の列 $\{e_n\}$ において，$\alpha(e_n)$ が一定の正数（$\ne 0$）よりも小でないとき，$\{e_n\}$ を正則といい，$\alpha(e_n)$ の下限 $\alpha(>0)$ を $\{e_n\}$ の正則性の指数という．

以下，集合函数 $f$ は少なくともすべての B 集合に対して定義されているものとし，また微分商に関しては $x$ に収束する集合 $e$ を正則なる閉集合に限定して

(1)

$\bar{D}_f(x)=\varlimsup_{me\to 0}\frac{f(e)}{m(e)},\quad \underline{D\!}\,_f(x)=\varliminf_{me\to 0}\frac{f(e)}{m(e)},$

$D_f(x)=\lim_{me\to 0}\frac{f(e)}{m(e)}$

を一般的に上，下，または単に導函数という．極限値として $\pm\infty$ を許容すれば，$\bar{D}_f,\underline{D\!}\,_f$ は各点 $x$ において確定するが，$D_f$ は必らずしも存在しない．$D_f$ が存在するとき，$f$ は $x$ において微分可能であるという．通例は $D_f(x)\ne\pm\infty$ を要求するが，広義では $D_f(x)=\pm\infty$ をも許容する．

導函数を導くために集合 $e$ に課せられる制限が加重するに従って，$\underline{D\!}$ は増大（不減少）し，$\bar{D}$ は減少（不増大）することは当然である．

［附記］ 

上記 (1) における $\varlimsup$ の意味は明瞭であろうけれども，念のために説明をする．簡明のために $f(e)/m(e)$ を$F(e)$ と略記する．$x$ を含んで $x$ に収束する正則なる閉集合を一般的に $e$ と書いたのだが，なお精密に $x$ を中心とする半径 $\rho$ の円（二次元に即していう）に含まれる $e$ の全体を $S(\rho)$ とする（点 $x$ をも正則なる閉集合と見られないでもなかろうが，それは $S(\rho)$ から除外する）．そうして $S(\rho)$ に属する $e$ に対する $F(e)$ の値の集合（値域）の上限を $M(\rho)$ とすれば，それは $\rho$ が減少するに従って単調に減少する．そこで $\textstyle M=\lim_{\rho\to 0}M(\rho)$ とすれば，

(2)

$\bar{D}_f(x)=M.$

これが (1) の意味である．$\bar{D}_f(x)$ はまた数列の $\varlimsup$ に基づいて

(3)

$\bar{D}_f(x)=\sup_{\{e_n\}}\bigl(\varlimsup_{n\to\infty}F(e_n)\bigr) \quad (e_n\to x)$

としても定義される．ここで $\{e_n\}$ は $x$ に収束する正則なる閉集合の列である．(3) は (1) の左の式と同等である．実際，まず $e_n$ を含む上記の円の最小半径を $\rho_n$ とすれば $e_n\in S(\rho_n)$．従って $F(e_n)\leqq M(\rho_n)$．故に $\textstyle \varlimsup_{n\to\infty}F(e_n)\leqq \lim_{n\to\infty}M(\rho_n)=M$．

さて，一方において，$\rho_n\to 0$ とすれば，$\textstyle e_n\in S(\rho_n), M(\rho_n)-\varepsilon < F(e_n)\leqq M(\rho_n)$ なる $e_n$ があるが，$n\to\infty$ の極限へ行って $\textstyle M-\varepsilon \leqq \varliminf_{n\to\infty}F(e_n) \leqq \varlimsup_{n\to\infty}F(e_n) \leqq M$，$\varepsilon >0$ は任意に取れるから $\textstyle \lim_{n\to\infty}F(e_n)=M$．すなわち (3) における $\sup$ は実は $\mathrm{Max}$ で，$\bar{D}_f(x)$ は或る集合列 $\{e_n\}$ に関する $\textstyle \lim_{n\to\infty}F(e_n)$ に等しい．

$\underline{D\!}\,_f(x)$ に関しても同様である．

---

123．Vitali の被覆定理

定理 113．

$R^n$ において任意の集合 $A$ の各点 $x$ に収束する正則なる閉集合の列が与えられたとき，それらの集合の中から単純列 $\{E_n\}$ を抽き出して，それだけで，ほとんど全く $A$ を覆うことができる．すなわち $\textstyle\sum E_n$ に含まれない $A$ の点は零集合を成すのである：

(1)

$m\!\left(A-\sum E_n\right)=0.$

これを Vitali の被覆定理という．

［証］

二次元に即して，Banach の証明法を紹介する．言語節約のために，定理にいう閉集合を $\mathrm{C}$ と総称する．

1º．

$A$ は有界で，集合 $\mathrm{C}$ に正則性の指数は一定の正数 $a$ より大きいとする．

$A$ を含む一つの有界なる開集合を $S$ として，集合 $\mathrm{C}$ は $S$ に含まれるもののみをとっても差し支えない．

$\mathrm{C}$ から任意に一つの集合 $E_1$ を取り出して，$E_1$ に触れない集合 $\mathrm{C}$ の径の上限を $\delta_1$ とし，それらの集合 $\mathrm{C}$ の中から $E_2$ の径 $\delta E_2>\tfrac12\delta_1$ なる一つの集合 $E_2$ を取り出す．同じようにして，次々に $\{E_n\}$ を定めて行く．すなわちすでに $E_n$ までが定められたとき，$E_1+E_2+\cdots+E_n$ なる閉集合がまだ全く $A$ を覆っていないならば，それに触れない集合 $\mathrm{C}$ の径の上限 $\delta_n>0$ だから，その中から $\delta E_{n+1}>\tfrac12\delta_n$ なる $E_{n+1}$ が取り出されるのである．このようにして，$\mathrm{C}$ から取り出される有限または無限の単純列 $\{E_n\}$ が定理の条件 (1) に適合するのである．

まず仮定によって，$E_n$ を包んで $mE_n>cmW_n$ なる円 $W_n$ があるが，$\textstyle\sum mE_n\leqq mS$ だから，$\textstyle\sum mW_n<mS/c$ は収束する．従って $n\to\infty$ のとき，（円 $W_n$ の直径）$\delta W_n\to 0$，故に $\delta E_n\to 0$．

さて，$A$ に属して $\textstyle\sum E_n$ に属しない点 $x$ があるとして，その $x$ に収束する集合 $\mathrm{C}$ の中の任意の一つを $E$ とすれば，$E$ は $\{E_n\}$ の中のどれかと交わる．――さもなければ，すべての $n$ に対して $0<\delta E\leqq\delta_n<2\delta E_{n+1}$ で，$\delta E_n\to 0$ に矛盾する．

今かりに (1) が成り立たないとして，

$A'=A-\sum E_n,\quad \bar{m}A'>0.$

とするならば，上記の各円 $W_n$ を同心の $W_n'$ にまで $k$ 倍（$k\geqq 5$，後述）に拡大するとき，$\textstyle\sum mW_n'=k^2\sum mW_n<\tfrac{k^2}{c}mS$ は収束するから，十分大きい $N$ に対して，

$\sum_{n>N}mW_n'<\bar{m}A'.$

故に

(2)

$x\in A',\quad x\notin\bigcup_{n>N}W_n'$

なる点 $x$ がある．この点 $x$ は $\textstyle\sum E_n$ に属しないから，$x$ を含んで $E_1,E_2,\ldots,E_N$ に交わらない $\mathrm{C}$ の集合 $E$ があるが，前にいったように，$E$ は $\{E_n\}$ の中のどれかと交わるのだから，$\{E_n\}$ の中で $E$ と交わる最初のものを $E_p$ とすれば，$p>N$ で，$E$ は $E_1,E_2,\ldots,E_{p-1}$ とは交わらない．従って

(3)

$\delta E\leqq\delta_{p-1}.$

ファイル:図

そうして $x$ は $W_p'$ には属しないのだから，$E$ は $W_p'$ の外部の点 $x$ を含む．また $E$ は $W_p$ 内にある $E_p$ と交わるから，$W_p$ の内部の点をも含む．従って

$\delta E\geqq \frac12(k-1)\delta W_p \geqq\frac12(k-1)\delta E_p > \frac14(k-1)\delta_{p-1}.$

$k\geqq 5$ とすれば，これは (3) と矛盾する．すなわち $\bar{m}A'>0$ は不合理である．故に (1) が成り立つ．

2º．

一般の場合．原点 $O$ を中心とする半径 $n$ の円の内部を $S_n$ とする．$A$ の点 $x$ が $S_n$ に含まれ，かつ $x$ に収束する $\mathrm{C}$ の集合列の正則性の指数が $\tfrac1n$ よりも大きいとして，そのような点 $x$ の集合を $A_n$ とする．従って $\{A_n\}$ は増大列で，$\textstyle A=\lim_{n\to\infty}A_n$． さて 1º によって，集合 $\mathrm{C}$ の単純和 $\textstyle\sum E_i$ でほとんど $A_n$ が覆われる．すなわち

(4)

$\bar{m}\!\left(A_n-\sum_{i=1}^\infty E_i\right)=0.$

単純和 $\textstyle\sum_{i=1}^\infty E_i$ は有界だから $\textstyle\sum_{i=1}^\infty mE_i$ は収束する．よって十分大きく $p$ を取って

(5)

$\sum_{i>p}mE_i <\frac{1}{n}$

とする．然らば $\textstyle F_n=\sum_{i=1}^p E_i$ と置くとき

(6)

$\bar{m}(A_n-F_n)<\frac{1}{n}$

である．実際，

$A_n-F_n\subset\left(A_n-\sum_{i=1}^\infty E_i\right)+\sum_{i>p}E_i$

だから，(4)，(5) によって

$\bar{m}(A_n-F_n)\leqq \bar{m}\!\left(A_n-\sum_{i=1}^\infty E_i\right)+\sum_{i>p}mE_i <\frac{1}{n},$

すなわち (6) が成り立つ． さて，集合 $A_{n+1}-F_n$ は開集合 $S_{n+1}-F_n$ に含まれ，その各点に正則性の指数が $\tfrac{1}{n+1}$ より大きい集合 $\mathrm{C}$ の列が収束するから，前と同じようにして，それらの $\mathrm{C}$ 集合の中から単純なる有限列 $\textstyle\sum_{i=1}^q E_i'$ を取り出して

$\bar{m}\!\left(A_{n+1}-F_n-\sum_{i=1}^q E_i'\right)<\frac{1}{n+1}$

にすることができる．ここで $E_i'$ は閉集合 $F_n$ の外にあるから，

(7)

$F_{n+1}=F_n+\sum_{i=1}^q E_i'$

と置けば，$F_{n+1}$ は集合 $\mathrm{C}$ の有限単純列で，

$\bar{m}(A_{n+1}-F_{n+1})<\frac{1}{n+1}.$

このような操作は，$n=1$ から始めて，どこまでも続けられるから，記号を変えて，集合 $\mathrm{C}$ の或る単純列 $\{E_n\}$ に関し，各〻の $n$ に対して，(6) が成り立つと見てよい．そのとき，(7) によって $\{F_n\}$ は増大列だから，

$B=\lim_{n\to\infty}F_n=\sum_{i=1}^\infty E_i$

と置けば，$B$ は集合 $\mathrm{C}$ の単純和で，

(8)

$\bar{m}(A-B)=0.$

実際，$n$ を決めておいて，任意に $r>n$ を取れば，$F_r\subset B,A_n\subset A_r$ から

$A_n-B\subset A_n-F_r\subset A_r-F_r,$

$\bar{m}(A_n-B)\leqq\bar{m}(A_r-F_r)<\frac{1}{r}.$

$r$ は任意であったから，$\bar{m}(A-B)=0$ を得る．これから $\textstyle A-B=\bigcup_n(A_n-B)$ を用いて

$\bar{m}(A-B)\leqq\sum_n\bar{m}(A_n-B)=0$

を得る．よって (8) が成り立ち，$\textstyle B=\sum_{i=1}^\infty$ をもって，(1) を得る．

---

124．加法的集合函数の微分法

準備として，B 集合に関する次の考察を挿入する．$F(e)\geqq 0$ を正なる加法的集合函数とする．一般的に開集合を $G$，閉集合を $E$ で表せば，

$\inf_{G\supset e}F(G)\geqq F(e)\geqq \sup_{E\subset e}F(E)$

であるが，B 集合 $e$ に関しては

(1)

$\inf_{G\supset e}F(G) = \sup_{E\subset e}F(E)$

が成り立つ．それを見るために，(1) を成立せしめる L 集合 $e$ の一類を $S$ とする．

任意の閉区間 $w$ は $S$ に属する．実際，$G_n\darr w$ なる列 $\{G_n\}$ があるから，定理 95によって，

$\inf_{G\supset w}F(G)=F(w)=\sup_{E\subset w}F(E).$

さて，$S$ は σ 系をなす．$G\supset e\supset E$ から $G'\subset e'\subset E'$ だから，$e$ と共に余集合 $e'$ が $S$ に属する．次に，$\textstyle e_i\in S, e=\bigcup e_i$ とすれば，$e\in S$ である．実際，$\textstyle \varepsilon_i > 0, \sum \varepsilon_i =\varepsilon$ とすれば，(1) によって，$e_i\in S$ から

$G_i\supset e_i\supset E_i,\quad F(G_i-E_i) < \varepsilon_i$

なる $G_i,E_i$ がある．今，$\textstyle G=\bigcup G_i, H=\bigcup E_i$ とすれば，

$G\supset e\supset H,\quad G-H\subset\bigcup(G_i-E_i),$

$F(G-H)\leqq \sum F(G_i-E_i) < \sum\varepsilon_i = \varepsilon.$

然るに $H$ は閉集合の増加列の極限だから，

$H\supset H, \quad F(H-E) < \varepsilon$

なる $E$ があって（定理 95），$F(G-E)=F(G-h)+F(H-E)<2\varepsilon$ である．すなわち

$G\supset e\supset E,\quad F(G-H)< 2\varepsilon$

なる $G,E$ がある．$\varepsilon$ は任意だから，(1) が成り立ち，$e\in S$ である．

任意の閉区間が $S$ に属するから，$S$ は少なくともすべての B 集合を含む．すなわち $e$ が B 集合なら (1) が成り立つ．

定理 114．

（予備定理） $F(e)\geqq$ を正なる加法的集合函数とし，任意の集合 $A$ の各点において $\bar{D}_F(x)\geqq a > 0$ とすれば，$\bar{m}A<\infty$ で，$A$ を含む B 集合 $e$ 関して，$F(e)\geqq a\bar{m}A$．

［証］

$e$ を集合 $A$ を含む B 集合とする．然らば，任意の $\varepsilon > 0$ に対応して，(1) によって，

(2)

$e\subset G,\quad F(e)>F(G)-\varepsilon$

なる開集合 $G$ がある．また任意に $0<b<a$ なる $b$ を取れば，仮定によって，$A$ の各点 $x$ に収束する正則なる閉集合 $E$ の列があって，$F(E)>bmE$．これらの集合の中から $G$ に含まれる単純列 $\{E_n\}$ を取って，ほとんど $A$ を覆うことができる（定理 113）．故に (2) から

(3)

$F(e) > F(G)-\varepsilon \leqq \sum F(E_n)-\varepsilon > b\sum mE_n-\varepsilon \leqq b\bar{m}A-\varepsilon.$

仮定により $F(e)<\infty$ だから $\bar{m}A<\infty$，また $\varepsilon$ は任意，$b < a$ も任意だから，$F(e)\leqq a\bar{m}A$．

［注意］ 

もしも $A$ において $\bar{D}_F(x)=\infty$ ならば，$\bar{m}A=0$．実際，この場合，任意の $M > 0$ に関して $F(e)\leqq M\bar{m}A$．$F(e)$ は有限だから $\bar{m}A=0$．

定理 115．

（予備定理） $F$ は前の定理の通りとする．任意の集合 $A$ において $\underline{D\!}\,_F(x)\leqq a, (a>0)$，ならば，ほとんど $A$ を覆う B 集合 $e$ が存在して

$A\simeq A_0\subset e,\quad F(e)\leqq a\bar{m}A$

になる。

［証］

$\bar{m}A<\infty$ として証明すればよい．そのとき任意の $\varepsilon>0$ に対して，

$A\subset G,\quad \bar{m}A > mG-\varepsilon$

とする．$b>a$とすれば，仮定によって，$A$ の各点に収束する正則なる閉集合 $E$ の列があって，$F(E)\leqq bmE$ だが，それらのうち，$G$ に含まれる単純列 $\{E_n\}$ を取って，ほとんど $A$ を覆うことができる（定理 113）．そこで $\textstyle e=\sum E_n$ とすれば

$F(e)\leqq b\sum mE_n = bme\leqq bmG < b(\bar{m}A+\varepsilon).$

今，$\varepsilon=\tfrac{1}{n}, b=a+\tfrac{1}{n}$ に対応する $e$ を $e_n$ と書いて，改めて $\varliminf e_n$ とする．すなわち

$A\simeq A_n\subset e_n,\quad F(e_n)\leqq \left(a+\frac{1}{n}\right)\left(\bar{m}A+\frac{1}{n}\right),$

従って $A_0=\varliminf A_n$ とすれば，

$A\simeq A_0\subset e, \quad F(e)=F(\varliminf e_n)\leqq \varliminf F(e_n)\leqq a\bar{m}A.$

定理 116．

加法的なる集合函数は，ほとんど各所で微分可能である［Lebesgue の定理］．

［証］

$F\geqq 0$ を加法的なる集合函数とする．今

$\bar{D}_F(x)>\underline{D\!}^\,_F(x)$

なる点 $x$ の集合を $A$ とする．もしも $\bar{m}A\ne 0$ とするならば，或る有理数 $r,s(>0)$ に関して

$\bar{D}_F(x)>r>s>\underline{D\!}\,_F(x)$

なる点 $x$ の集合を $A_0$ とするとき，$\bar{m}A_0>0$．また，$\bar{m}A_0<\infty$（定理 114）．

然らば，ほとんど $A_0$ を覆う或る B 集合 $e$ に関して（定理 115）

$F(e)\leqq s\bar{m}A_0,$

一方，$A_0\cap e\subset e$ から（定理 114）

$F(e)\geqq r\bar{m}(A_0\cap e)=r\bar{m}A_0.$

従って

$r\bar{m}A_0\leqq s\bar{m}A_0.$

$r>s,\infty >\bar{m}A_0>0$ だから，これは不合理である．故に $mA=0$，すなわち

$\bar{D}_F(x)\simeq \underline{D\!}\,_F(x).$

$F$ の符号が一定でないならば，

$F(e)=F^+(e)+F^-(e),\quad F^+(e)\geqq 0,\quad -F^-(e)\geqq 0$

で，$D_F(x)=D_{F^+}(x)+D_{F^-}(x)$．故に定理は成り立つ．

［注意］ 

$D_F(x)$ はほとんど常に有限である（前頁，［注意］）．

定理 117．

$\{F_n\}$ が加法的集合函数の単調列で，

$\lim_{n\to\infty}F_n(e)=F(e)$

ならば

$D_F(x)\simeq \lim_{n\to\infty}D_{F_n}(x).$

［証］

$\{F_n\}$ を増大列として，

$f_n(e)=F(e)-F_n(e)$

と置けば（減少列の場合には $f_n=F_n-F$ と置く），$f_n\geqq 0, f_n\to 0$ で，$\{f_n\}$ は減少列である．故に $\bar{D}_{f_n}(x)\geqq 0$ も $n$ に関して減少列である．そこで

$\lim_{n\to\infty}\bar{D}_{f_n}(x)\simeq 0$

を示せばよい．

もしも，これが真でないとするならば，或る $a>0$ に関して

$x\in A,\quad \bar{m}A>0,\quad \bar{D}_{f_n}(x)>a.\quad (n=1,2,\ldots)$

なる集合 $A$ が存在すべきである．然らば（定理 114），$A\subset e$ なる任意の B 集合 $e$ に対して，

$f_n(e)\geqq a\bar{m}A.\quad(n=1,2,\ldots)$

$f_n(e)\to 0$ だからこれは不合理である．

定理 118．

$F(e)$ は加法的で，L 集合 $E$ の内で常に 0 に等しいとする．すなわち $e\subset E$ ならば $F(e)=0$．然らば，$E$ において $D_F(x)\simeq 0$．

［証］

$F\geqq 0$ として十分である．或る B 集合 $B$ をとって，$E\supset B, m(E-B)=0$ とする（§117）．$x\in B$ かつ $D_F(x)>\tfrac{1}{n}$ なる $x$ の集合を $A_n$ とすれば，$F(B)\geqq \tfrac{1}{n}\bar{m}A_n$（定理 114）．仮定により $F(B)=0$ だから，$\bar{m}A_n=0$．さて，$x\in B, D_F(x)>0$ なる $x$ の集合は $\{A_n\}$ の合併であるから，それは零集合である．故に $B$ において $D_F(x)\simeq 0$．然るに $m(E-B)=0$ だから，$E$ において $D_F(x)\simeq 0$．

定理 119．

特異函数 $F$ に関しては $D_F(x)\simeq 0$．

［証］

$F\geqq0$ として十分である．今 $mN=0,F(N')=0$ とする．ただし $N'$ は $N$ の余集合である．然らば，$N'$ において $D_F(x)\simeq 0$（定理 118）．$mN=0$ だから，これは全空間で成り立つ．

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125．不定積分の微分法

定理 120．

［密度定理］．L 集合 $E$ の定義函数を $\varphi(x)$ として，$F(e)=m(Ee)$ と書けば，

$D_F(x)\simeq \varphi(x).$

すなわち $E$ の内では $D_F(x)\simeq 1$，余集合 $E'$ の内では $D_F(x)\simeq 0$．

［証］

$F'(e)=m(E'e)$ と置けば

$F(e)+F'(e)=m(Ee)+m(E'e)=m(e).$

故に $F,F'$ が微分可能なる点において，すなわち，ほとんど各所（定理 116），

(1)

$D_F(x)+D_{F'}(x)\simeq 1.$

さて，$E'$ においては $F(e)=m(Ee)=m(0)=0$．従って（定理 118）$D_F(x)\simeq 0$．また $E$ においては $F'(e)=0$，従って $D_{F'}(x)=0$，従って (1) から $D_F(x)\simeq 1$．

（証終）

定理 121．

$f(x)$ を積分可能（有限）なる点函数，

$F(e)=\int_e f(x)\,dm$

とすれば，

$D_F(x)\simeq f(x).$

［証］

(1º)

$E$ の定義函数を $\varphi(x)$ とすれば

$F(e)=m(Ee)=\int_e f(x)\,dm$

で密度定理に帰する．

(2º)

$f(x)$ が階段的で，$x\in E_i$ なるとき，$f(x)=a_i\,(i=1,2,\ldots, p)$ とする．然らば $\varphi_i(x)$ を $E_i$ の定義函数とすれば，

$f(x)=\sum_{i=1}^{n}a_i\varphi_i(x).$

故に

$F(e)=\int_e f(x)dm = \sum a_i\int_e \varphi(x)dm.$

従って (1º) によって

$D_F(x)\simeq \sum a_i\varphi_i(x) = f(x).$

(3º)

一般の場合には，$f(x)\geqq 0$ として証明すればよいから，$f(x)$ を階段的なる函数 $f_m(x)$ の増大列の極限とする（定理 83）．然らば

$F(e)=\int_e f(x)dm.\quad F_n(e)=\int_e f_n(x)dm$

と置くとき，

（定理 88）

$F(e)=\lim F_n(e).$

故に（定理 117）

$D_F(x)\simeq \lim_{n\to\infty}D_{F_n}(x)\simeq \lim_{n\to\infty}f_n(x)= f(x).$

定理 122．

加法的なる集合函数 $F(e)$ の導函数 $D_F(x)$ は積分可能で，$F(e)$ は $D_F(x)$ の不定積分と一つの特異函数との和に等しい．

［証］

定理 99，100 によって

$F(e)=F(eH)+\int_e f(x)\,dm$

で，$F(eH)$ は特異函数である．故に定理 119，定理 121 によって

$D_F(x)\simeq f(x).$

従って

$F(e)=F(eH)+\int_e D_F(x)\,dm.$

右辺の積分において，$e$ 内の或る零集合 $e_0$ では $D_F(x)$ が存在しないこともありうるが，そのような $e_0$ は積分範囲 $e$ から除くべきである．それを了解の上で，上記のように書いた．$\bar{D}_F(x),\underline{D\!}\,_F(x)$ は常に存在して，

（定理 116）

$\bar{D}_F(x)\simeq \underline{D\!}\,_F(x)\simeq D_F(x)$

であるから，積分記号の下へ $\bar{D}_F(x)$ または $\underline{D\!}\,_F(x)$ を入れてもよい．

以上，我々は $D_F(x)$ を 446 頁に述べた一般的の意味に取ったが，あるいはそれを狭義にしても，結果は同じである．狭い意味を，かりに記号 ${}^0$ で示せば，

$\bar{D}_F(x)\simeq \bar{D}_F^0(x)\simeq \underline{D\!}\,_F^0(x)\simeq \underline{D\!}\,_F(x).$

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126．有界変動・絶対連続の点函数

$R^1$ において加法的なる集合函数 $F(e)$ に対応して点函数 $f(x)$ が定義される．すなわち $e=(-\infty,x)$ なるとき $F(e)=f(x)$ とするのである．今最も興味ある場合として，$F(e)$ を連続と仮定する．すなわち $\delta e\to 0$ なるとき $F(e)\to 0$ とするのである．$\delta e$ は集合 $e$ の径，すなわち $R^1$ においては，$e$ を含む区間の幅（長さ）の下限である．故に $e$ が一点から成り立つとき，$F(e)=0$ で，$f(x)$ は点函数として連続である．

さて，$F(e)$ が有界なる $e$ に対して有限，したがって有界（定理 94）であることを仮定するならば，$F$ に対応する $f(x)$ は $e$ において有界変動である．$F$ の正負の変分 $F^+,F^-$ および絶対変分 $V=F^+ +|F^-|$ に対応する点函数を，それぞれ $f^+(x),f^-(x)$ および $v(x)$ と書けば，

$f(x)=f^+(x)+f^-(x),\quad v(x)=f^+(x)+|f^-(x)|$

で，$f^+(x),|f^-(x)|$ は単調増大である（§111）． さて，$F(e)$ を既述の意味（[[解析概論/第9章/絶対連続性 特異性|§112）で絶対連続とする．すなわち $me=0$ なるとき，$F(e)=0$．$F$ の加法性のために，それは $me\to 0$ のとき，$F(e)\to 0$ を意味するのであった（419 頁）．$F(e)$ のこの絶対連続性は，それに対応する点函数 $f(x)$ の性質として次のようにいい表わされる．――今互に重なり合わない小区間 $w_i=[x_i,x_i']$ の有限列の合併を $w$ とし，それら小区間 $w_i$ における $f(x)$ の変動の絶対値の和を

$V(w)=\sum|f(x_i)-f(x_i)|$

と書くならば，

$mw=\sum|x_i'-x_i|$

で，$F(e)$ の絶対連続性によって，$mw\to 0$ のとき，$V(w)\to 0$．詳しくいえば，任意の $\varepsilon>0$ に対応して $\delta$ が定められて，

(1)

$mw<\delta$　なるとき　$V(w)<\varepsilon$

ならしめうるのである．函数 $f(x)$ のこの性質を Vitali が絶対連続と名づけた．これが絶対連続という用語の由来である．すなわち，Vitali の意味で絶対連続なる点函数に対応する集合函数 $F(e)$ が絶対連続と名づけられたのである．

逆に $f(x)$ が絶対連続ならば，$F(e)$ も絶対連続である．――まず $f(x)$ が絶対連続だから，(1) において $\varepsilon$ を固定して，それに対応する $\delta$ を取って，任意の区間を長さが $\delta$ を超えない小区間に分けて，それらの区間の数を $p$ とするならば，その区間における任意の小区間群 $\textstyle w=\sum w_i$ に関して，$V(w)\leqq p\varepsilon$ だから，$f(x)$ は有界変動である．故に $f(x)$ が単調増大なる場合を考慮すればよいが，そのとき $F(e)\geqq 0$ だから，今 $mE=0$ とするならば，$E\subset G_n,mG_n\to 0$ なる開集合 $G_n$ の列があって，$F(G_n)\to 0$．故に $F(E)=0$．すなわち $F$ は絶対連続である．

同様の意味で，特異なる集合函数 $F(e)$ に対応する点函数 $f(x)$ をも特異というならば，$f(x)$ に関しては，$K$ を任意の区間とするとき，任意の $\varepsilon>0$ に対して $m(K-w)<\varepsilon$ で，$V(w)<\varepsilon$ なる区間列 $w$ が $K$ 内に存在する．

さて区間 $K$ において $f(x)$ を連続とする．その区間内で $x$ を固定し，$h$ を動かして，

$\Delta(x,h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

と書いて，

1）

$\bar{D}_f^+(x)=\varlimsup_{h\to+0}\Delta(x,h),$

2）

$\underline{D\!}\,_f^+(x)=\varliminf_{h\to+0}\Delta(x,h),$

3）

$\bar{D}_f^-(x)=\varlimsup_{h\to-0}\Delta(x,h),$

4）

$\underline{D\!}\,_f^-(x)=\varliminf_{h\to-0}\Delta(x,h)$

と置く．$h\to+0$ は‘$h>0,h\to 0$’の略記，$h\to-0$ は‘$h<0,h\to 0$’の略記である．

もしも 1），2） が一致するならば，その共通の値を $D_f^+(x)$ と書く．それは $x$ における $f(x)$ の右への微分商である．同様に3），4）が一致すれば，その共通の値 $D_f^-(x)$ は左への微分商である．もしも 1）―4）がすべて一致すれば，その共通の値 $D_f(x)$ はすなわち $x$ における $f(x)$ の微分商で，その場合 $f(x)$ は $x$ において微分可能である．狭い意味では，$D_f(x)$ が有限なることを要求し，広い意味では $\pm\infty$ をも許容する．

今，$f(x)$ が集合函数 $F(e)$ に対応するとするならば，1）―4）は §122 に述べた $F(e)$ の微分商の特別の場合，あそこの $e$ を $[x,x+h]$ または $[x-h,x]$ に限定した場合で，これらの $e$ の正則性の指数は $\tfrac12$ である．

このように $h$ が限定された結果として，導函数は B 函数である．例えば $\bar{D}^+$ に関していえば $\varlimsup$ の意味によって，$h$ を有理数に限ってもよいが，$f$ の連続性から，$\Delta(x,h)$ は $x$ に関して連続で、$\bar{D}^+(x)$ は連続函数列の $\varlimsup$ として B 函数である（§117）．

以上を前置きとして，$f(x)$ を区間 $K=[a,b]$ において連続かつ有界変動として，$f(x)$ に対応する（完全）加法的集合函数 $F(e)$（§121 参照）に §§124，125 の定理を適用すれば，次のような結果が得られる．

1．

区間 $K$ において連続かつ有界変動なる函数 $f(x)$ は，ほとんど常に微分可能で，微分商はほとんど常に有限である．

2．

区間 $t_0\leqq t\leqq t_1$ において $\varphi(t),\psi(t)$ が連続かつ有界変動ならば，$x=\varphi(t),y=\psi(t)$ によって定義される曲線はほとんど各点で接線を有する．

3．

区間 $[a,b]$ の点を $x$ とすれば

$f(x)-f(a)=\mathit\Phi(x)+\int_a^x\Delta(x)\,dx.$

右辺の $\Delta(x)$ は前頁 1）―4）の四つの微分商の中のどれでもよい．$\textstyle \int_a^x$ は $[a,x]$ における L 積分で，$\mathit\Phi(x)$ は特異函数である． 特に $f(x)$ が $f'(x)$ の Lebesgue の意味の不定積分であるためには，$f(x)$ が絶対連続であることが必要かつ十分である．

4．

特異函数は，ほとんど常に微分可能で，微分商は 0 に等しい．

最後に，特異函数 $\mathit\Phi(x)$ のなるべく手近な実例を作るために，§115 に述べた三進集合 $E$ を考察する．区間 $K=[0,1]$ において三進集合 $E$ を作るために，次々に $K$ から取り去った区間は第 $n$ 回には $2^{n-1}$ 個であったが，それらの区間において $\mathit\Phi(x)$ の値を左から順に $1/2^n,3/2^n,\ldots,(2^n-1)/2^n$ とする．すべての $n$ に関して，このように $\mathit\Phi(x)$ の値を決めるならば，$\mathit\Phi(x)$ は $K$ において稠密に分布される $E'$（余集合）において決定するが，それを $K$ において連続なる $\mathit\Phi(x)$ に拡張することができる．この $\mathit\Phi(x)$ は $K$ において単調に $0$ から $1$ まで増大し，零集合 $E$ 以外の各点では $\mathit\Phi'(x)=0$．$E$ の点では一般に $\mathit\Phi'(x)=\infty$ であるが，$E'$ を組成する区間の端では，右または左への微分商が $0$ になるであろう．