解析概論/第8章/Stokesの定理

103．Stokes の定理

Gauss の定理において

$\text{div}\,\boldsymbol u=0$

とするならば，

$\int_S\boldsymbol u\cdot\boldsymbol n\,d\sigma=0$

になる．今閉曲面 $S$ を閉曲線 $C$ で二つの部分 $S_1,S_2$ に分けるならば

$\int_{S_1}\boldsymbol u\cdot\boldsymbol n\,d\sigma=-\int_{S_2}\boldsymbol u\cdot\boldsymbol n\,d\sigma.$

ファイル:図

ここの面積分では，いずれも $S$ の外側を正とするのだから，$S_1$ における正の回転は境界線 $C$ の上に互に反対なる方向を誘導する．今もし $S_1$（または $S_2$）の正負の側を変えるならば

(1)

$\int_{S_1}\boldsymbol u\cdot\boldsymbol n\,d\sigma =\int_{S_2}\boldsymbol u\cdot\boldsymbol n\,d\sigma.$

になるが，その場合には $S_1,S_2$ における正の回転は $C$ の上に同意の回転の向きを定めるであろう． よって $C$ の上に一定の向きを決めておいて，その向きが $C$ を境界（端）とする任意の曲面 $S_1$ の上において誘導する回転の向きが正になるように，曲面の正の側を定めるならば，$\text{div}\,\boldsymbol u=0$ なるとき

$\int_{S_1}\boldsymbol u\cdot\boldsymbol n\,d\sigma$

は (1) によって $S_1$ の境界線 $C$ のみに関係する値を有する． さて任意のベクトル $\boldsymbol v=(a,b,c)$ を取って

$\boldsymbol u=\text{rot}\,\boldsymbol v=(c_y-b_x,a_z-c_x,b_x-a_y)$

と置くならば（378 頁 (6)）

$\text{div}\,\boldsymbol u=0.$

故に $\boldsymbol n=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ とすれば

(2)

$\int_S \boldsymbol u\cdot\boldsymbol n\,d\sigma =\int_S ((c_y-b_x)\cos\alpha+(a_z-c_x)\cos\beta+(b_x-a_y)\cos\gamma)\,d\sigma$

は $S$ の境界線 $C$ のみに関係する値を有する．次に示すように，実際この面積分を曲線 $C$ に関する線積分に変形することができる． 今 $S$ は媒介変数 $u,v$ によって表わされるとし，$S$ およびその境界 $C$ は $uv$ 平面における区域 $S'$ とその境界 $C'$ とに対応するとする．さて積分 (2) において変数を $u,v$ に変換すれば（368 頁）

(3)

$\int_{S'}[(c_y-b_x)(y_uz_v-y_vz_u)+(a_z-c_x)(z_ux_v-z_vx_u)+(b_x-a_y)(x_uy_v-x_vy_u)]\,du\,dv$

を得る．積分記号の下で，$a$ に関する項を集めて

$\begin{align} a_z(z_ux_v-z_vx_u)-a_y(x_uy_v-x_vy_u) &=(a_xx_u+a_yy_u+a_zz_u)x_v-(a_xx_v+a_yy_v+a_zz_v)x_v\\ &=a_ux_v-a_vx_u. \end{align}$

これの積分

$\int_{S'}(a_ux_v-a_vx_u)\,du\,dv$

は $uv$ 平面における Gauss の定理によって（382 頁の(5) において $\varphi,\psi$ に $ax_u,ax_v$ を代用する），線積分

$\int_{C'}(ax_u\,du+ax_v\,dv)$

に等しい．変数 $x,y,z$ に返れば，それは

$\int_C a\frac{dx}{ds}ds=\int_C a\,dx$

に等しい．すなわち

$\int_{S'}(a_ux_v-a_vx_u)\,du\,dv=\int_C a\,dx.$

同様にして (3) における $b,c$ に関する項から

$\begin{align} \int_{S'}(b_uy_v-b_vy_u)\,du\,dv&=\int_C b\,dx,\\ \int_{S'}(c_uz_v-c_vz_u)\,du\,dv&=\int_C c\,dx. \end{align}$

よって結局積分 (2) が線積分に変形されて

$\iint\limits_S(c_y-b_z)\,dydz+(a_z-c_x)\,dzdx+(b_x-a_y)\,dxdy$

(4)

$=\int_C a\,dx+b\,dy+c\,dz.$

これを Stokes の定理という． 上記等式において，面積分および線積分を取るべき向きに関しては前に述べた．再言すれば，曲面 $S$ の一側を正と決めて回転の正の向きを定めるならば，それは境界線 $C$ の上における正の向きを誘導する．このようにして $C$ の接線 $t$ と $S$ の法線 $n$ との向きを対応させるときは，(4) が明確に次のように書かれる．

$\iint\limits_S [(c_y-b_x)\cos(x,n)+(a_z-c_x)\cos(y,n)+(b_x-a_y)\cos(z,n)]\,d\sigma$

(5)

$=\int_C[a\cos(x,t)+b\cos(y,t)+c\cos(z,t)]\,ds,$

$ds$ は $C$ の微小弧，$d\sigma$ は $S$ の微小面積で，それらは絶対的である．上記接線および法線上の単位ベクトルをそれぞれ $\boldsymbol t,\boldsymbol n$ とすれば，ベクトル法の記号を用いて，Stokes の定理を次のように簡明に書くことができる．

(S)

$\int_S\text{rot}\,\boldsymbol v\cdot\boldsymbol n\,d\sigma =\int_C \boldsymbol v\cdot\boldsymbol t\,ds.$

二つの境界を持つとき

Stokes の定理において，曲面 $S$ の境界が二つ以上の閉曲線であってもよい．ただし，各境界線上の向きは，$S$ における回転の向きによって誘導される向きであることを要する．例えば $S$ の境界が二つの閉曲線 $C_1,C_2$ であるときに，$C_1,C_2$ を曲面 $S$ の上で滑らかな曲線 $L$ で結び付けて二つの境界を合併して一つの境界にするならば，その境界では，$L$ の上を互に反対の向きに二回通過するから，線積分には $L$ の影響はない．面積分にはもちろん $L$ の影響はないから，Stokes の定理が成り立つのである．

二つの面の接合であるとき

同じように，$S$ が一つの滑らかな面でなくて，いくつかの滑らかな面の接合であっても，Stokes の定理は成り立つ．例えば $S$ が滑らかな曲線 $L$ において接する $S_1,S_2$ から成るとき，$S_1,S_2$ の境界は $C$ の二つの部分 $C_1,C_2$ と共通の $L$ とであるが，$S_1$ と $C_1+L$ および $S_2$ と $C_2+L$ とにおいて

$\int_{C_1}+\int_L=\int_{S_1},\quad \int_{C_2}+\int_L=\int_{S_2}$

である．ここで二つの $\textstyle\int_L$ は反対の向きに取った積分だから，加えて

$\int_{C_1}+\int_{C_2}=\int_{S_1}+\int_{S_2}$　すなわち　$\int_{C_{}}=\int_{S_{}}$

を得る．

［注意］ 

Stokes の定理で $C$ を $xy$ 平面上の閉曲線，$S$ をその内部とすれば，$n$ は $z$ 軸に平行，$t$ は垂直だから，$a,b$ の代りに $\varphi,\psi$ と置けば (5) から

$\begin{align} \iint\limits_S(\psi_x-\varphi_y)\,d\sigma &= \int_C[\varphi\cos(x,t)+\psi\cos(y,t)]\,ds\\ &= \int_C\varphi\,dx+\psi\,dy. \end{align}$

これは382 頁で述べた平面上の Gauss の定理で，それを上記の証明に用いたが，あの定理は，Stokes の定理の特別の場合とみるときに，左辺で $-\varphi_y$ が負号を持っている意味が明瞭である．

［附記］ 

Gauss の定理，Stokes の定理によって $\text{div}\,\boldsymbol u,\text{rot}\,\boldsymbol u$ の応用上の意味が簡明に説明される．今圧縮されない一定の密度の流体が定常の運動をすると想像して，$\boldsymbol u$ を点 $(x,y,z)$ における速度とする．然らば Gauss の定理における面積分 $\textstyle\int_S\boldsymbol u\cdot\boldsymbol n\,d\sigma$ は単位時間に閉曲面 $S$ を通過する流出量（符号を入れていう）で，圧縮されない流体では，それは区域 $K$ における湧出量（同上）に等しいはずである．この湧出量は Gauss の定理によって $\textstyle\int_K\text{div}\,\boldsymbol u\,d\omega=(\text{div}\,\boldsymbol u)_0\int_K\,d\omega$ に等しいから，$(\text{div}\,\boldsymbol u)_0$ は単位体積に関する平均の湧出量である．もしも曲面 $S$ が一点 $P$ に収束するならば，平均値 $(\text{div}\,\boldsymbol u)_0$ も $P$ における $\text{div}\,\boldsymbol u$ に収束する．故に $\text{div}\,\boldsymbol u$ は $P$ における湧出量である． また Stokes の定理における線積分 $\textstyle\int_C\boldsymbol u\cdot\boldsymbol t\,ds$ は単位時間における曲線 $C$ に沿っての循環（circulation）で，$C$ が曲面 $S$ の上の一点 $P$ に収束するとき，$P$ における法線上へ $\text{rot}\,\boldsymbol u$ の正射影が，面積に対する循環の率である．それの最大なる値を有する向きがすなわち $\text{rot}\,\boldsymbol u$ の向きで，その最大の値が $\text{rot}\,\boldsymbol u$ の大きさである．最も簡単な場合として流体が $z$ 軸の周りに角速度 $\omega$ をもって回転するとすれば，$r,\theta$ を $xy$ 平面上の極座標とするとき

$\begin{align} &\boldsymbol u=(-r\omega\sin\theta,r\omega\cos\theta,0)=(-\omega y,\omega x,0),\\ &\text{rot}\,\boldsymbol u=(0,0,2\omega). \end{align}$

$z$ 軸の代りに方向余弦が $l,m,n$ なる軸を取れば

$\begin{align} &\boldsymbol u=\omega(mz-ny,nx-lz,ly-mx),\\ &\text{rot}\,\boldsymbol u=2\omega(l,m,n). \end{align}$