解析概論/第8章/Gaussの定理

102. Gaussの定理

平面上で閉曲線 $C$ の内部の面積が，$C$ に関する線積分として表されるこをを前に述べた（§41，［例 2］）．それは線積分の応用の最も簡単な一例であったのだが，それを拡張して三次元において，閉曲面 $S$ に関する任意の面積分を $S$ の内部の区域 $K$ に関する三次元積分に変形することができる．結果を言えば次の通り：

$a(x,y,z),\qquad b(x,y,z),\qquad c(x,y,z)$

は $(x,y,z)$ の函数で，それらは $K$ において連続的微分可能とすれば

(1)

$\iint\limits_S a\,dy\,dz+b\,dz\,dx+c\,dx\,dy = \iiint\limits_K (a_x+b_y+c_z)\,dx\,dy\,dz.$

これが Gauss の定理である． (1) は記憶しやすい形に書いたのであるが，今その意味を説明する．閉曲面 $S$ の各点において，その外部への法線の方向余弦を $\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$ とすれば

(1′)

$\int_K(a_x+b_y+c_z)\,d\omega =\int_S(a\cos\alpha+b\cos\beta+c\cos\gamma)\,d\sigma.$

または一層簡単に，$(a,b,c)$ をベクトル $\boldsymbol{v}$ の座標と考えて，上記法線上の単位ベクトルを $\boldsymbol{n}$ と書けば

(G)

$\int_K\mathrm{div}\,\boldsymbol{v}\,d\omega = \int_S\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}\,d\sigma.$

［証］

(1) の形からみえるように，両辺において $a,b,c$に関する部分が各別に相等しいことを示せばよい．よって今

(2)

$\iint\limits_S c\,dx\,dy = \iiint\limits_K\frac{\partial c}{\partial z}\,dx\,dy\,dz$

を証明する．

ファイル:図

まず簡単に閉曲面 $S$ は $z$ 軸に平行なる直線と二つよりも多くの交点を有しないと仮定して

$\iiint\limits_K\frac{\partial c}{\partial z}\,dx\,dy\,dz$

を考察する．曲面 $S$ の $xy$ 平面上への正射影を $B$ とすれば，$S$ は $B$ を底とする直筒面に包まれて，一つの閉曲線 $L$ に沿って，その筒面に接するであろう．そうして $S$ は $L$ によって上下の二部分 $S_1,S_2$ に分たれる．すなわち $B$ の内部の点 $(x,y)$ を通る $z$ 軸への平行線が $S$ に交わる点を $P_1=(x,y,z_1),\,P_2=(x,y,z_2),\,z_1>z_2$とすれば，$P_1$ は $S_1$ に，$P_2$ は $S_2$ に属する．さて $z$ に関して積分すれば

(3)

$\iiint\limits_K\frac{\partial c}{\partial z}\,dx\,dy\,dz =\iint\limits_B\{c(x,y,z_1)-c(x,y,z_2)\}\,dx\,dy.$

然るに，もしも $K$ の外部を $S$ の正の側として，面積分を取るならば

$\begin{align} \iint\limits_B c(x,y,z_1)\,dx\,dy &= \iint\limits_{S_1}c(x,y,z)\,dx\,dy,\\ -\iint\limits_B c(x,y,z_2)\,dx\,dy &= \iint\limits_{S_2}c(x,y,z)\,dx\,dy. \end{align}$

故に

(4)

$\iiint\limits_K\frac{\partial c}{\partial z}\,dx\,dy\,dz =\iint\limits_S c(x,y,z)\,dx\,dy =\iint\limits_S c\cdot\cos\gamma\,d\sigma.$

$\textstyle\iint_B$ は通常の意味の二次元積分であるが，$\textstyle\iint_S$ において $dx\,dy = \cos\gamma\,d\sigma$ とすれば，(3) をこのように形式上簡明に書き表すことができるのである．

（証終）

ファイル:図

(2) は曲面 $S$ の一部が $B$ を底とする直筒面上にある場合にも成り立つ．たとえば $L_1,L_2$ を筒面の部分の境界とすれば，

$\begin{align} \iiint\limits_K c_z\,dx\,dy\,dz &=\iint\limits_B c(x,y,z_1)\,dx\,dy - \iint\limits_B c(x,y,z_2)\,dx\,dy \\ &=\iint\limits_S c(x,y,z)\,dx\,dy. \end{align}$

$L_1$ と $L_2$ との間にある部分に関しては $\cos\gamma=0$ で

$\iint c\,dx\,dy = \iint c\cos\gamma\,d\sigma=0$

だから，それでよいのである．

ファイル:図

区域 $K$ の境界面 $S$ が $z$ 軸への平行線と二つより多くの点で交わる場合にも，もしも $K$ を前記のような区域に分割することができるならば，(1)はやはり成り立つ．例えば $K$ を曲面 $T$ で $K_1,K_2$ に分割して，それらの境界面を $S_1,S_2$ とすれば，$K_1,S_1$ と $K_2,S_2$ とに関して，(1)は成り立つ．さて

$\iiint\limits_K=\iiint\limits_{K_1}+\iiint\limits_{K_2} =\iint\limits_{S_1}+\iint\limits_{S_2}=\iint\limits_S$

$S_1,S_2$ に共通なる境界面 $T$ に関しては，反対の側において二回面積分を取ることになるから，それらは相殺するのである．

ファイル:図

$K$ の境界が互いに離れた二つ以上の曲面であってもよい．$K$ が図のように閉曲面 $S_1$ と，その内部に含まれる閉曲面 $S_2$ との間に挟まれる区域である場合が，その一例である．ただし，この場合，$S_2$ の内部は区域 $K$ の外部だから，もしも閉曲面の外側を正の側として面積分をとるならば，$K$ の境界 $S$ に関する面積分は $\textstyle\int_S=\int_{S_1}-\int_{S_2}$になることに注意すべきである．

ファイル:図

平面上においても Gauss の定理は成り立つ．それは上記と同様にして証明されるが，あるいはそれを (1) から導くために，$c=0,\,\boldsymbol{v}=(a,b,0)$ と置いて閉区域 $K$ を高さ $1$ なる直筒，$xy$ 平面上におけるその底を $B$，$B$ の周を閉曲線 $C$ とする．然らば (1) から

$\iint_B(a_x+b_y)\,dx\,dy=\int_C(a\cos\alpha+b\cos\beta)\,ds.$

ここで $\alpha,\beta$ は $C$ の外部へ引いた法線 $n$ と $x$ 軸，$y$ 軸の正の向きとの間の角で，$ds$ は $C$ の微小弧である．もしも $C$ の周を正の向き（内部を左に見る向き）に回るものとして，接線と $x$ 軸の正の向きの間の角を $\theta$ とすれば，

$\begin{alignat}{3} dx &= ds\cos\theta=-&&ds\cos\beta, \\ dy &= ds\,\sin\theta= &&ds\cos\alpha. \end{alignat}$

故に

$\iint_B(a_x+b_y)\,dx\,dy = \int_Ca\,dy-b\,dx.$

$-b,a$ の代わりに二つの函数 $\varphi,\psi$ を置けば

(5)

$\iint_B\left( \frac{\partial\psi}{\partial x} -\frac{\partial\varphi}{\partial y} \right)dx\,dy =\int_C\varphi\,dx+\psi\,dy.$

これが平面における Gauss の定理である．

［例 1］

閉曲面 $S$（二つ以上でもよい）を境界とする区域 $K$ の体積を $V$ とすれば

$\begin{align}V &=\iint\limits_S x\,dy\,dz=\iint\limits_S y\,dz\,dx=\iint\limits_S z\,dx\,dy\\ &=\frac{1}{3}\int_S(x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma)\,d\sigma. \end{align}$

［証］

(1) において $a=x, b=c=0$ とすれば

$\iiint\limits_K dx\,dy\,dz = \iint\limits_S x\,dy\,dz =\int\limits_S x\cos\alpha\,\,d\sigma.$

その他も同様である． もしも座標の原点から $S$ 上の点　$P$ への動径を $r$，$P$ において $K$ の外部への法線と $r$ との間の角を $(r,n)$ とするならば

$x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma=r\cos(r,n),$

従って

(6)

$V=\frac{1}{3}\int_S r\cos(r,n)\,d\sigma.$

今 $K$ を一つの卵形として，原点 $O$ がその内部にあるとするならば，$\tfrac{1}{3}r\cos(r,n)\,d\sigma$ は，原点を頂点，境界面 $S$ 上の微小面積 $d\sigma$ を底とする微小錐体の体積であるから，(6) の幾何学的の意味は明瞭である．しかし $\cos(r,n)$ の符号に注意すれば，任意の $K$ に関して原点の位置に関係なく (6) は一般に成り立つのである．

［例 2］

原点 $O$ から閉曲面 $S$ の上の点 $P$ への動径を $r$，$P$ において $S$ の外側へ引いた単位法線を $\boldsymbol{n}$ とすれば，$O$ が $S$ の外にあるか，または内にあるかに従って

$\int_S\frac{\cos(r,n)\,d\sigma}{r^2}=0,$　　または　 $=4\pi.$

［証］

$\boldsymbol{u}=\mathrm{grad}\,\frac{1}{r}$

とすれば，$\boldsymbol{u}$ の座標は

$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{r}\right)=\frac{-x}{r^3},\qquad \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{r}\right)=\frac{-y}{r^3},\qquad \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{1}{r}\right)=\frac{-z}{r^3}.$

$OP$ の方向余弦を $\lambda,\mu,\nu$ とすれば，これらはそれぞれ

$\frac{-\lambda}{r^2},\quad\frac{-\mu}{r^2},\quad\frac{-\nu}{r^2}$

に等しい．故に

$\frac{\cos(r,n)}{r^2}=-\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}.$

さて $O$ が $S$ の外にあれば，$S$ の内部 $K$ において $1/r$ は連続であるから，によって

$\int_S\frac{\cos(r,n)\,d\sigma}{r^2} =-\int_S\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}\,d\sigma =-\int_K\mathrm{div}\,\boldsymbol{u}\,d\omega.$

然るに $\textstyle\mathrm{div}\,\boldsymbol{u}=\mathrm{div}\,\mathrm{grad}\,\frac{1}{r}=\Delta(\frac{1}{r})=0$（§21，［例 2］），故に

$\int_S\frac{\cos(r,n)\,d\sigma}{r^2}=0.$

次に $O$ が $S$ の内にあれば，$O$ を中心とする半径 $\rho$ なる小球面を $S_0$ として，$K$ から $S_0$ の内部を除いた残りを $K^*$ とする．然らば $O$ は $K^*$ の外にあるから，$K^*$ に関しては上記の結果が成り立つ．従って

$\int_S\frac{\cos(r,n)\,d\sigma}{r^2}-\int_{S_0}\frac{\cos(r,n)\,d\sigma}{r^2}=0.$

さて $S_0$ に関しては $\cos(r,n)=1, r=\rho$ だから，第二の積分は

$\frac{1}{\rho^2}\int_{S_0}d\sigma=\frac{1}{\rho^2}\cdot4\pi\rho^2=4\pi.$

故に

$\int_S\frac{\cos(r,n)\,d\sigma}{r^2}=4\pi.$

［注意］ 

$O$ が $S$ の上にあるときには，上記の球面 $S_0$ の $S$ の内部にある部分 $S_0'$ だけを取れば

$\int_S\frac{\cos(r,n)\,d\sigma}{r^2}=\frac{1}{\rho^2}\int_{S_0'}d\sigma.$

これは $\rho\to 0$ のときにも成り立つが，極限において $S_0'$ は半球面になるから，右辺は $2\pi$ に等しい．ただし，$S$ は滑らかな曲面と仮定していうのである．

一般に点 $O$ が曲面 $S$ の上にないとし，$P$ が $S$ の上を動くとき$OP$ が $O$ を中心とする半径 $\rho$ の球面に交わる点を $P'$ とすれば，$P'$ は球面上の或る面積を掃過する．ただし，$OP$（の延長）が $S$ の負の側から正の側に出るときには球面上の面積を正とし，反対の場合には負とする．このようにして計算された球面上の面積を $S'$ とすれば，$S'$ は半径 $\rho$ の平方に比例するから，$S'/\rho^2$ は $\rho$ に無関係である．これを $O$ からみた曲面 $S$ の立体角という．今 $O$ を原点とし，$OP$ の長さを $r$，$OP$ と $P$ における $S$ の法線の正の向きとの間の角を $(r,n)$ とし，$S$ の上の微小面積 $d\sigma$ に対応する球面上の微小面積を $d\sigma'$ とすれば

$\frac{d\sigma'}{\rho^2}=\frac{\cos(r,n)\,d\sigma}{r^2}.$

故に上記立体角は面積分

$\int_S\frac{\cos(r,n)\,d\sigma}{r^2}$

に等しい．

［例 2］では $S$ が閉曲面であるとき，その外側を正の側として，立体角を計算したのである．

［例 3］

§95で述べた積分

$V(a,b,c)=\int_K\frac{\mu(x,y,z)}{r}\,d\omega$

に関して，

(7)

$\frac{\partial V}{\partial a} =\int_K\frac{x-a}{r^3}\mu\,d\omega =\int_K\frac{\partial\left(\frac{1}{r}\right)}{\partial a}\mu\,d\omega$

を積分記号の下で，さらに $a$ に関して微分して，$\tfrac{\partial^2V}{\partial a^2}$ を求めることは，$A$ が $K$ 内にあるときには，できなかった（348/9 頁）．今本節で述べた方法によって，この問題の解決を試みる．

$r=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}$

であったから，

(8)

$\frac{\partial(\frac{1}{r})}{\partial a} =\frac{\partial(-\frac{1}{r})}{\partial x} =\frac{x-a}{r^3},$

従って (7) から

(9)

$\frac{\partial V}{\partial a} =\int_K\mu\frac{\partial(-\frac{1}{r})}{\partial x}\,dx\,dy\,dz.$

よって $x$ に関して部分積分を行えば，

$\frac{\partial V}{\partial a} =-\int_S\frac{\mu}{r}\,dy\,dz +\int_K\frac{1}{r}\cdot\frac{\partial\mu}{\partial x}\,dx\,dy\,dz.$

ここで右辺の第一項は $K$ の境界 $S$ に関する積分である．従って (4) と同様に

$\int_S\frac{\mu}{r}\,dydz=\int_S\frac{\mu}{r}\cos\alpha\,d\sigma$

で，$\alpha$ は曲面 $S$ の外部への法線と $x$ 軸との間の角，また $d\sigma$ は $S$ 上の微小面積である．よって

(10)

$\frac{\partial V}{\partial a} =-\int_S\frac{\mu}{r}\cos\alpha\,d\sigma +\int_K\frac{1}{r}\frac{\partial\mu}{\partial x}\,dx\,dy\,dz.$

ここで右辺の第一の積分は境界面 $S$ の上にわたるのだから，$r\ne0$．また第二の積分は $\mu$ の代わりに $\tfrac{\partial\mu}{\partial x}$ を取ったポテンシャルである．故に $\tfrac{\partial V}{\partial a}$ を $a$ に関して積分記号下で微分してよい．そこで，再び (8) を用いて

(11)

$\frac{\partial^2V}{\partial a^2} = \int_S\mu\frac{\partial(\frac{1}{r})}{\partial x}\cos\alpha\,d\sigma -\int_K\frac{\partial(\frac{1}{r})}{\partial x}\cdot\frac{\partial\mu}{\partial x}\,d\omega.$

これが求める公式である．これから，$A$ が $K$ の内部にあるとき，$\tfrac{\partial^2V}{\partial a^2}$ が $A$ に関して連続であることがわかる．$A$ が $K$ の外部にあるとき連続性は既知である（もっとも (11) は $A$ が $K$ の外部であっても通用する）． $\tfrac{\partial^2V}{\partial b^2}, \tfrac{\partial^2V}{\partial c^2}$ に関しても同様である．

ついでに $A$ が $K$ の内部にあるとして，有名なる Poisson の公式

$\Delta V = \frac{\partial^2V}{\partial a^2} +\frac{\partial^2V}{\partial b^2} +\frac{\partial^2V}{\partial c^2} =-4\pi\mu(A)$

を験証しよう． (11) から

$\begin{align}\Delta V =& \int_S\mu\left( \frac{\partial(\frac{1}{r})}{\partial x}\cos\alpha +\frac{\partial(\frac{1}{r})}{\partial y}\cos\beta +\frac{\partial(\frac{1}{r})}{\partial z}\cos\gamma \right)d\sigma \\ &-\int_K\left( \frac{\partial(\frac{1}{r})}{\partial x}\cdot\frac{\partial\mu}{\partial x} +\frac{\partial(\frac{1}{r})}{\partial y}\cdot\frac{\partial\mu}{\partial y} +\frac{\partial(\frac{1}{r})}{\partial z}\cdot\frac{\partial\mu}{\partial z} \right)d\omega \\ =&\int_S\mu\frac{\partial(\frac{1}{r})}{\partial n}\,d\sigma -\int_K\sum\frac{\partial(\frac{1}{r})}{\partial x}\cdot\frac{\partial\mu}{\partial x}\,d\omega. \end{align}$

ここで，$\alpha, \beta, \gamma$ は $S$ の外部への法線と座標軸との間の角，$\partial(\tfrac{1}{r})/\partial n$ はその法線上の微分商で，また $\textstyle\sum$ は $x, y, z$ 上にわたるのである． さて，$K$ 内で $A$ を中心とする半径 $\rho$ の小さな球を $k$ として，それを $K$ から除いた残りを $K-k$ と書けば，$A$ は $K-k$ の外にあるから，$K-k$ に関しては $(\Delta V)_{K-k}=0$（348/9 頁，［注意］），故に

$(\Delta V)_K=(\Delta V)_k.$

故に球 $k$ の表面を $S$ とすれば，

(12)

$(\Delta V)_K = \int_S\mu\frac{\partial(\frac{1}{r})}{\partial n}\,d\sigma -\int_k\sum\frac{\partial(\frac{1}{r})}{\partial x}\cdot\frac{\partial\mu}{\partial x}\,d\omega.$

球 $k$ の半径 $\rho$ は任意であるが，$K$ における $\tfrac{\partial\mu}{\partial x}, \tfrac{\partial\mu}{\partial y}, \tfrac{\partial\mu}{\partial z}$ の絶対値の上限を $m$ とすれば，

$\left|\frac{\partial(\frac{1}{r})}{\partial x}\right| =\left|\frac{a-x}{r^3}\right|\leqq\frac{1}{r^2}$

から，

$\left| \int_k\sum\frac{\partial(\frac{1}{r})}{\partial x} \cdot\frac{\partial\mu}{\partial x}\,d\omega \right| < 3m\int_k\frac{d\omega}{r^2}=3m\cdot4\pi\rho.$

故に $\rho\to0$ のとき (12) の右辺の第二の積分 $\textstyle\int_k\to 0$．また，その第一の積分は

$\int_S\mu\frac{\partial(\frac{1}{r})}{\partial n}\,d\sigma =\mu_0\int_S\frac{\partial(\frac{1}{r})}{\partial n}\,d\sigma.$

$\mu_0$ は $S$ 上 $\mu$ の平均値で，また $\textstyle -\int_S\partial(\frac{1}{r})/\partial n\cdot d\sigma$ は［例 2］の積分 $\textstyle \int_S\frac{\cos(r,n)}{r^2}\,d\sigma =-\int_S\mathrm{grad}\,\frac{1}{r}\cdot\boldsymbol{n}\,d\sigma =4\pi$ である．すなわち

$\lim_{\rho\to 0}\int_S\mu \frac{\partial(\frac{1}{r})}{\partial n}\,d\sigma =-4\pi\,\lim_{\rho\to 0}\mu_0=-4\pi\mu(A),$

故に結局 (12) から，$A\in K$のとき

$\Delta V=-4\pi\mu(A).$

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