解析概論/第8章/練習問題(8)

練習問題（8）

(1)

半径 $a$ なる二つの直円筒の軸が交わって角 $\omega$ をなすとき，両方に共通なる体積を求めること．

［解］

$\tfrac{16}3a^3/\sin\omega.$

(2)

放物面 $\textstyle z=\frac{x^2}{2a}+\frac{y^2}{2b}\ (a>0, b>0)$ が球面 $x^2+y^2+z^2=2Rz\ (r>0)$ から截り取る面積を求めること．

ただし，$\mathrm{Max}(a,b)\leqq R$ とする．

［解］

$4\pi R\sqrt{ab}.$ 374 頁，［例］参照

(3)

問題 (2) の放物面において，

[1º]

二つの等傾斜線（$xy$ に対する）の間の面積，

[2º]

直楕円筒 $\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1$ の内部にある面積

を求めること．

［解］

$\tfrac23\pi ab(\sec^3\gamma_1-\sec^3\gamma_2),\quad \tfrac23\pi ab(\sqrt8-1).$

(4)

$n$ 次元空間において

$|x_1|^\alpha+|x_2|^\alpha+\cdots+|x_n|^\alpha\leqq r^\alpha\quad (\alpha>0)$

なる区域の体積は

$V=\frac{(2r)^2\mathit\Gamma(\frac{1}\alpha)^n}{n\mathit\Gamma(\frac{n}\alpha)}.$

特に $\alpha=2$ とすれば，$n$ 次元の球の体積として次の値を得る：

$V=\frac{(r\sqrt\pi)^2}{\mathit\Gamma(\frac{n}2+1)}=\begin{cases} r^n\dfrac{\pi^\frac{n}2 2^\frac{n}2}{2\cdot4\cdot6\cdot\cdot n},\\[10pt] r^n\dfrac{\pi^\frac{n-1}2 2^\frac{n+1}2}{1\cdot3\cdot5\cdot\cdot n}. \end{cases}$		（$n$ は偶数）
		（$n$ は奇数）

［解］

358 頁，［例 2］から導かれる．ついでに $\alpha\to 0$ のとき $V\to 0$，また $\alpha\to\infty$ のとき $V\to(2r)^n$ になることをみきわめるとよい．

(5)

曲面 $S$ が媒介変数 $u,v$ によって $x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)$ の形に表わされるとき，$\boldsymbol r=(x,y,z), \boldsymbol r_u=(x_u,y_u,z_u), \boldsymbol r_v=(x_v,y_v,z_v)$ とすれば，原点からみた $S$ の立体角は

$\iint_K\frac{\boldsymbol r\cdot(\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v)}{|\boldsymbol r|^3}\,du\,dv$

である．ただし $K$ は $u,v$ 平面上 $(u,v)$ の変動区域である．

(6)

適当なる一般的仮定の下において，面積分

$\int_S P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy$

が $S$ の境界線 $C$ のみに関係するために必要かつ十分なる条件は

$\frac{\partial P}{\partial x} +\frac{\partial Q}{\partial y} +\frac{\partial R}{\partial z}=0.$

［解］

$C$ を通る任意の閉曲面に関して面積分が $0$ になることに帰するから，条件が十分なることは Gauss の定理から出る．条件が必要なることは背理法による．

(7)

適当なる一般的仮定の下において，$\text{div}\,\boldsymbol u=0$ ならば $\boldsymbol u=\text{rot}\,\boldsymbol v$．

［解］

$\boldsymbol u=(a,b,c);\;\boldsymbol v=(\varphi,\psi,\chi)$ とおいて

$\frac{\partial\chi}{\partial y}-\frac{\partial\psi}{\partial z}=a,\quad \frac{\partial\varphi}{\partial z}-\frac{\partial\chi}{\partial x}=b,\quad \frac{\partial\psi}{\partial x}-\frac{\partial\varphi}{\partial y}=c$

なる $\varphi,\psi,\chi$ の存在を示すのである．$\chi=0$ として $\varphi,\psi$ が積分によって求められる．（$\boldsymbol v$ が一つの解ならば $\boldsymbol v+\text{grad}\,f$ も解である．）

この定理の逆は既知（§101）である．

(8)

区域 $K$ において定義せられた函数 $f(P)$ に関し，広義積分

$\int_K|f(P)|\,d\omega$

が存在するとする（§94 の定義参照）．然らば $K$ に収束する任意の区域列（341 頁，定義参照）$\{K_n\}$ に関し

$\lim_{n\to\infty}\int_{K_n}f(P)\,d\omega =\int_K f^+(P)\,d\omega -\int_K f^-(P)\,d\omega.$

［解］

仮定によって $\textstyle\int_K|f|\,d\omega$ は収束するから，任意の閉区域 $H\subset K$ に関し $\textstyle\int_H|f|\,d\omega$ は有界である（§94）．従って $f^+(P)\leqq |f(P)|,f^-(P)\leqq |f(P)|$ によって，$\textstyle\int_H f^+\,d\omega,\int_H f^-\,d\omega$ は有界，故に $\textstyle\int_K f^+\,d\omega,\int_K f^-\,d\omega$ は収束する．従って

$\int_{K_n}f\,d\omega=\int_{K_n} f^+\,d\omega-\int_{K_n} f^-\,d\omega$

は $n\to\infty$ のとき収束して（収束する二つの数列の差！），標記の等式を得る．