解析概論/第8章/直交座標

99．直交座標

前節に述べたように，$u,v,w$ のうち二つを固定すれば，$u$ 線，$v$ 線，$w$ 線の接線の方向余弦はそれぞれ行列

$\begin{matrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial x}{\partial w}\\[10pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial w}\\[10pt] \dfrac{\partial z}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial w} \end{matrix}$

の縦列に比例する（369 頁）．応用上最も取り扱いに便利なのは，これらの曲線が互に直交する場合で，そのとき $(u,v,w)$ を直交座標という．直交座標では，上記行列の列の間に直交条件

$\sum\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}=0,\quad \sum\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial w}=0,\quad \sum\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial w}=0$

が成り立つ．すなわち前節 (3) における

$F_1=F_2=F_3=0.$

故に直交座標に関しては 前節 (2)，(5)，(12) が次のように簡約される．

(1)

$ds=\sqrt{H_1\,du^2+H_2\,dv^2+H_3\,dw^2},$

(2)

$d\omega=\sqrt{H_1H_2H_3}\,du\,dv\,dw,$

(3)

$d\sigma=\sqrt{H_1H_2}\,du\,dv=\sqrt{EG}\,du\,dv.$

極座標は最も普通に用いられる直交曲線座標である．すなわち $u,v,w$ に $r,\vartheta,\varphi$ を代用して

$x=r\sin\vartheta\cos\varphi,\quad y=r\sin\vartheta\sin\varphi,\quad z=r\cos\vartheta$

から

$J=\begin{vmatrix} \ \sin\vartheta\cos\varphi &\quad r\cos\vartheta\cos\varphi & -r\sin\vartheta\sin\varphi\\ \ \sin\vartheta\cos\varphi &\quad r\cos\vartheta\sin\varphi &\quad r\sin\vartheta\cos\varphi\,\\ \cos\vartheta\qquad & -r\sin\vartheta\qquad & 0 \end{vmatrix}$

$H_1,H_2,H_3$ は各縦列の元の平方の和である．すなわち

$H_1=1,\quad H_2=r^2,\quad H_3=r^2\sin^2\vartheta.$

故に (1)，(2) から

$(J=\sqrt{H_1H_2H_3}=r^2\sin\vartheta)$

(4)

$ds^2=dr^2+r^2d\vartheta^2+r^2\sin^2\vartheta\,d\varphi^2,$

(5)

$d\omega=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\vartheta\,d\varphi.$

面積に関しては曲面が $r=f(\vartheta,\varphi)$ の形で与えられているとすれば，(4) から

$ds^2=(r_\vartheta\,d\vartheta+r_\varphi\,d\varphi)^2+r^2d\vartheta^2+r^2\sin^2\vartheta\,d\varphi^2,$

従って

(6)

$\left.\begin{array}{c} E=r^2+r_\vartheta^2,\quad F=r_\vartheta r_\varphi,\quad G=r^2\sin^2\vartheta+r_\varphi^2,\\ d\sigma=\sqrt{EG-F^2}\,d\vartheta\,d\varphi =r\sqrt{(r^2+r_\vartheta^2)\sin^2\vartheta+r_\varphi^2}\,d\vartheta\,d\varphi. \end{array}\right\}$

特に球面（$r=$ 定数）上で余緯度 $\vartheta$，経度 $\varphi$ を曲線座標とすれば，(6) から

$E=r^2,\quad G=r^2\sin^2\vartheta,\quad F=0,$

(7)

$\left.\begin{align} ds^2 &= r^2(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^2),\\ d\sigma &= r^2\sin\vartheta\,d\vartheta\,d\varphi. \end{align}\ \right\}$

(7) によって球面上の面積が次のようにして計算される．今北極 $(0,0,r)$ から球面上の点 $P$ への直線距離を $\rho$ とすれば，$P$ の極座標を $(r,\vartheta,\varphi)$ とするとき

$\rho=2r\sin\frac{\vartheta}2,\quad \rho^2=2r^2(1-\cos\vartheta),\quad \rho\,d\rho=r^2\sin\vartheta\,d\vartheta,$

故に (7) から

$d\sigma=\rho\,d\rho\,d\varphi.$

今球面が閉曲線 $C$ で二つの部分に分かたれるとき，その一つの部分を $S$ とする．北極が $S$ の内部にあるように座標軸を取って，$C$ 上の点 $P$ においては $\rho=F(\varphi)$ とする（$\rho,\varphi$ に関する $C$ の方程式）．然らば面積 $S$ は（記号 $[C]$ は 209 頁，脚注）

(8)

$S=\int_{[C]}d\sigma=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^\rho \rho\,d\rho =\frac12\int_0^{2\pi} \rho^2\,d\varphi.$

例えば $\rho$ を一定とすれば，球分の面積として $S=\pi\rho^2$ を得る．特に $\rho=2r$ とすれば球の全面積として $S=4\pi r$ を得る．

ファイル:図

(8) は $\vartheta$ を含まないから，$z$ 軸上原点を球の中心としなくてもよい．

［例］

球面 $x^2+y^2+(x-R)^2=R^2$ から，錐面 $z^2=ax^2+by^2 (a>0,b>0)$ が截り取る面積 $S$ を求めること． ここでは，$\rho=2R\sin\vartheta$ で，錐面上では

$\cos^2\vartheta=(a\cos^2\varphi+b\sin\varphi)\sin^2\vartheta.$

両辺に $\sin^2\vartheta$ を加えて

$1=(a\cos^2\vartheta+b\sin^2\varphi+1)\sin^2\vartheta.$

故に

$\rho^2=\frac{4R^2}{a\cos^2\vartheta+b\sin^2\varphi+1},$

従って (8) によって（§37，［例 2］参照）

$\begin{align} S &= 2R^2\int_0^{2\pi}\frac{d\varphi}{a\cos^2\vartheta+b\sin^2\varphi+1}\\ &= 2R^2\int_0^{2\pi}\frac{d\varphi}{(a+1)\cos^2\vartheta+(b+1)\sin^2\varphi} = \frac{4\pi R^2}\sqrt{(a+1)(b+1)}. \end{align}$

楕円座標を直交座標の他の一例として取ってみる．今

$a>b>c>0$

とすれば同焦点の二次曲面

(9)

$\frac{x^2}{a-\lambda}+\frac{y^2}{b-\lambda}+\frac{z^2}{c-\lambda}=1$

の中で，一点 $(x,y,z)$ を通るものが三つある．すなわち与えられた $(x,y,z)$ に関して (9) を満足せしめる $\lambda$ の三つの実数値 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ があって，それらは次のように配置される．

$\lambda_1<c<\lambda_2<b\lambda_3<a.$

$\lambda_1$ には楕円面，$\lambda_2$ には一葉双曲面，$\lambda_3$ には二葉双曲面が対応して，それらは二つずつ直交する．故に一つの八分象限（octant），例えば $x>0,y>0,z>0$ における $(x,y,z)$ と半直角柱

$-\infty<\lambda_1<c,\quad c<\lambda_2<b,\quad b<\lambda_3<a$

における $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ との間に一対一対応が成り立つ．$(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ を点 $(x,y,z)$ の楕円座標というのである． $\lambda$ を変数とするとき，(9) の根が $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ であることから，$\lambda$ に関する次の恒等式を得る：

(10)

$\frac{x^2}{a-\lambda}+\frac{y^2}{b-\lambda}+\frac{z^2}{c-\lambda} =\frac{(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)(\lambda-\lambda_3)} {(a-\lambda)(b-\lambda)(c-\lambda)}.$

これから $a-\lambda$ または $b-\lambda,c-\lambda$ を掛けて後 $\lambda$ に $a,b,c$ を代入して

(11)

$\left.\begin{align} x^2 &= \frac{(a-\lambda_1)(a-\lambda_2)(a-\lambda_3)}{(a-b)(a-c)},\\ y^2 &= \frac{(b-\lambda_1)(b-\lambda_2)(b-\lambda_3)}{(b-a)(b-c)},\\ z^2 &= \frac{(c-\lambda_1)(c-\lambda_2)(c-\lambda_3)}{(c-a)(c-b)} \end{align}\ \right\}$

を得る．これによって $(x,y,z)$ が $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ で表わされる．これらを対数的に微分して

$\left.\begin{align} -2dx &= \frac{x\lambda_1}{a-\lambda_1} +\frac{x\lambda_2}{a-\lambda_2} +\frac{x\lambda_3}{a-\lambda_3},\\ -2dy &= \frac{y\lambda_1}{a-\lambda_1} +\frac{y\lambda_2}{a-\lambda_2} +\frac{y\lambda_3}{a-\lambda_3},\\ -2dz &= \frac{z\lambda_1}{a-\lambda_1} +\frac{z\lambda_2}{a-\lambda_2} +\frac{z\lambda_3}{a-\lambda_3}. \end{align}\ \right\}$

これらを平方して加えて（直交条件を用いて）

$ds^2=H_1\,d\lambda_1^2+H_2\,\lambda_2^2+H_3\,\lambda_3^2$

における係数 $H_i$ が求められる．例えば

$4H_1=\frac{x^2}{(a-\lambda_1)^2}+\frac{y^2}{(b-\lambda_1)^2}+\frac{z^2}{(c-\lambda_1)^2}$

であるが，それを手短かに計算するために (10) の右辺の分母を

$\varphi(\lambda)=(a-\lambda)(b-\lambda)(c-\lambda)$

と置いて，(10) を $\lambda$ に関して微分してから，$\lambda$ に $\lambda_1$ を代入すれば

同様に，

(12)

$\left.\begin{align} H_1=\frac{(\lambda_1-\lambda_2)(\lambda_1-\lambda_3)}{4\varphi(\lambda_1)},\\ H_2=\frac{(\lambda_2-\lambda_1)(\lambda_2-\lambda_3)}{4\varphi(\lambda_2)},\\ H_3=\frac{(\lambda_3-\lambda_1)(\lambda_3-\lambda_2)}{4\varphi(\lambda_3)}. \end{align}\ \right\}$

従って

(13)

$\frac{D(x,y,z)}{D(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)} = \sqrt{H_1H_2H_3} =\frac{(\lambda_3-\lambda_2)(\lambda_3-\lambda_1)(\lambda_2-\lambda_1)} {8\sqrt{-\varphi(\lambda_1)\varphi(\lambda_2)\varphi(\lambda_3)}}.$

ここで $\lambda_1<\lambda_2<\lambda_3$ であった，また分母の根号の下で $\varphi(\lambda_1)>0,\varphi(\lambda_3)>0,-\varphi(\lambda_2)>0$ である．これを (2) へ入れて $d\omega$ を得る．

面積に関しては，一例として楕円体の表面

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\quad(x>0,y>0,z>0)$

を取れば，$\lambda_1=0,c<\lambda_2<b,b<\lambda_3<a$．よって $H_2,H_3$ において $\lambda_1=0$ と置いて

$E=\frac{\lambda_2(\lambda_3-\lambda_2)}{-4\varphi(\lambda_2)},\quad G=\frac{\lambda_3(\lambda_3-\lambda_2)}{4\varphi(\lambda_3)},$

$d\sigma=\sqrt{EG}\,d\lambda_2\,d\lambda_3 =\frac{\sqrt{\lambda_2\lambda_3}(\lambda_3-\lambda_2)} {4\sqrt{-\varphi(\lambda_2)\varphi(\lambda_3)}}\,d\lambda_2\,d\lambda_3.$

これを区域 $c<\lambda_2<b,b<\lambda_3<a$ において積分すれば，上記楕円体の表面積の $\tfrac18$ を得るが，その積分はもちろん楕円積分である．