解析概論/第8章/曲線座標(体積，曲面積，弧長の変形)

[編集] 98．曲線座標（体積，曲面積，弧長の変形）

三次元空間の或る区域において， $xyz$ 系空間と $uvw$ 系空間との点の間に一対一対応が成り立つときは，点 $(x,y,z)$ はそれに対応する $(u,v,w)$ によって確定するから， $(u,v,w)$ を点 $(x,y,z)$ の一種の座標（曲線座標）とみることができる．今 $u,v,w$ のうち二つを固定して， $u$ だけ， $v$ だけ，または $w$ だけを変動させるならば，それに対応して点 $(x,y,z)$ はそれぞれ或る曲線を画く．それらを $u$ 線， $v$ 線， $w$ 線と略称する．

例えば $v=v_0,w=w_0$ を固定して（変数の記号を函数記号に流用），

$x=x(u,v_0,w_0),\quad y=y(u,v_0,w_0),\quad z=z(u,v_0,w_0)$

とすれば， $xyz$ 空間において， $u$ を媒介変数とする一つの曲線が定められる．それがいわゆる $u$ 線（ $v_0,w_0$ に対応する $u$ 線）である．

然らば $xyz$ 系空間の各点を一つずつの $u$ 線， $v$ 線， $w$ 線が通って， $xyz$ 空間はそれらの $u$ 線， $v$ 線， $w$ 線の網で覆われる．

極座標 $(r,\vartheta,\varphi)$ においては，点 $P$ を通る $r$ 線は半直線 $OP$ ， $\vartheta$ 線は $P$ を通る子午線， $\varphi$ 線は $P$ を通る緯度線である．

同様に $u,v,w$ のうちの一つ，例えば $w=w_0$ を固定して $u,v$ のみを変動させるならば

$x=x(u,v,w_0),\quad y=y(u,v,w_0),\quad z=z(u,v,w_0)$

は $u,v$ を媒介変数として $xyz$ 系空間の一つの曲面を定める．それを $uv$ 面（ $w_0$ に対応する $uv$ 面）という．さて， $uvw$ 系の微小直方体に対応する $xyz$ 系の微小体積を $d\omega$ と略記すれば

(1)

$\left.\begin{align} &d\omega=|J|\,du\,dv\,dw,\\ &J=\frac{D(x,y,z)}{D(u,v,w)}. \end{align}\quad\right\}$

その意味はすでに述べた（§96）通りである． $(u,v,w)$ を $(x,y,z)$ の曲線座標とみれば， $xyz$ 空間の微小体積（volume element）が (1) で表わされるのである．

故に $d\omega$ はもちろん $u,v,w$ の或る函数 $\omega$ の微分という意味ではない． $uvw$ 系における直方体の稜を $\Delta u,\Delta v,\Delta w$ として，それに対応する $xyz$ 系の区域の体積を $\Delta \omega$ とすれば

$\Delta\omega=|J|\Delta u\Delta v\Delta w+o(\delta^3),$ 　ただし　 $\delta=\mathrm{Max}(\Delta u,\Delta v,\Delta w).$

(1) は $\Delta\omega$ の主要部が $|J|\Delta u\Delta v\Delta w$ であることを簡明に略記するのである．

同様に立場において， $xyz$ 空間の曲線の弧長を $s$ ，その曲線上の点の座標 $(x,y,z)$ の微分を $dx,dy,dz$ とすれば

$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2$

であるが，

$\begin{align} dx&=\frac{\partial x}{\partial u}du+\frac{\partial x}{\partial v}dv+\frac{\partial x}{\partial w}dw,\\ dy&=\frac{\partial y}{\partial u}du+\frac{\partial y}{\partial v}dv+\frac{\partial y}{\partial w}dw,\\ dz&=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv+\frac{\partial z}{\partial w}dw \end{align}$

から

(2)

$\begin{align} ds^2=&H_1\,du^2+H_2\,dv^2+H_3\,dw^2\\&+2F_1\,dv\,dw+2F_2\,du\,dw+2F_3\,du\,dv. \end{align}$

ただし

(3)

$\left.\begin{align} H_1 &= \sum\left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)^2, & H_2 &= \sum\left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)^2, & H_3 &= \sum\left(\frac{\partial x}{\partial w}\right)^2, \\[5pt] F_1 &= \sum\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial w}, & F_2 &= \sum\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial w}, & F_3 &= \sum\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}, \end{align}\ \right\}$

ただし， $\textstyle\sum$ は $x,y,z$ に関する三つの項の和を示すのである．さて上記 (1) の微小体積 $d\omega$ を六つの $H,F$ で表わすことができる．すなわち

(4)

$J^2=\begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial x}{\partial w}\\[10pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial w}\\[10pt] \dfrac{\partial z}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}^2=\begin{vmatrix} H_1 & F_3 & F_2\\ F_3 & H_2 & F_1\\ F_2 & F_1 & H_3 \end{vmatrix}^2=M$

と置けば

(5)

$d\omega=\sqrt{M}\,du\,dv\,dw.$

曲面に関しては，簡単のために， $w$ を固定して $uv$ 面を考察する．然らばその曲面は $u,v$ を媒介変数として

(6)

$x=\varphi_1(u,v),\quad y=\varphi_2(u,v),\quad z=\varphi_3(u,v)$

で表わされる．今この曲面が局所的に

(7)

$z=f(x,y)$

で表わされるとするならば，曲面上の微小面積（surface element）を $d\sigma$ として（§97）

$\begin{align}d\sigma &= \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\,dx\,dy\\[10pt] &= \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\,\left|\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right|\,du\,dv. \end{align}$

さて

$\begin{align} z_u &= \frac{\partial z}{\partial x}x_u+\frac{\partial z}{\partial y}y_u,\\[5pt] z_v &= \frac{\partial z}{\partial x}x_v+\frac{\partial z}{\partial y}y_v \end{align}$

から

(8)

$\frac{\partial z}{\partial x}:\frac{\partial z}{\partial y}:-1 = \begin{vmatrix} y_u & z_u\\y_v & z_v \end{vmatrix}:\begin{vmatrix} z_u & x_u\\z_v & x_v \end{vmatrix}:\begin{vmatrix} x_u & y_u\\x_v & y_v \end{vmatrix},$

従って

(9)

$\begin{align}d\sigma &= \sqrt{(y_uz_v-y_vz_u)^2+(z_ux_v-z_vx_u)^2+(x_uy_v-x_vy_u)^2}\,du\,dv\\[10pt] &= \sqrt{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2}\,du\,dv.\end{align}$

これは $x,y,z$ のいずれにも偏しない形であるから，曲面 (6) が (7) のように表わされなくても，一般に通用する． (9) において，根号の下の三つの函数行列式は，(8) によって $(u,v)$ に対応する点における曲面の法線の方向余弦 $\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$ に比例する．故に

$\cos\alpha=\pm\frac{\frac{D(y,z)}{D(u,v)}}{\sqrt{\sum\left(\frac{D(x,z)}{D(u,v)}\right)^2}},\quad \cos\beta=\pm\frac{\frac{D(z,x)}{D(u,v)}}{\sqrt{\begin{matrix}\qquad\\[-5pt]\end{matrix}\prime\prime\begin{matrix}\\[-5pt]\qquad\end{matrix}}},\quad \cos\gamma=\pm\frac{\frac{D(x,y)}{D(u,v)}}{\sqrt{\textstyle\begin{matrix}\\[-5pt]\qquad\end{matrix}\prime\prime\begin{matrix}\qquad\\[-5pt]\end{matrix}}},$

$\pm$ は三つとも同一，また分母は (9) の右辺の平行根と同じものである．故に分子なる三つの函数行列式が同時に $0$ になる点（曲面の特異点）を通らない限り，法線の方向は連続的に変動する．さて (6) において $(u,v)$ を曲面上の点の座標とみれば， $u,v$ の間の函数的関係によって曲面上の曲線が定められる．その弧長を $s$ とすれば， $ds$ は (2) から（ $w$ に関する項を除いて）求められる．すなわち

(10)

$ds^2=E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2,$

ただし，

(11)

$\left.\begin{alignat}{3} E&= \left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)^2 & &+\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)^2 & &+\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)^2,\\ F&= \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v} & &+\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} & &+\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v},\\ G&= \left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)^2 & &+\left(\frac{\partial y}{\partial v}\right)^2 & &+\left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)^2, \end{alignat}\right\}$

すなわち前記 (3) の $H_1,F_3,H_2$ である．(11) から

$\begin{vmatrix}\\[-6pt]E & F\\\\F & G\\[8pt]\end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v}\\[10pt] \dfrac{\partial z}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial v} \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} \dfrac{\partial z}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial v}\\[10pt] \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\[10pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}^2$

すなわち

$EG-F^2 = \left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2 +\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2 +\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2,$

従って (9) から

(12)

$d\sigma=\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv.$

今公式 (12) の幾何学上の意味を考察しよう．曲面 $S$ を $u$ 線， $v$ 線の網をもって $ABCD$ のような微小曲線四辺形に分割すれば， $u$ 線 $AB$ では $v$ は一定で， $u$ が $u$ から $u+du$ まで変わるのだから，弧 $AB$ の主要部は $\sqrt{E}\,du$ である．同じように $v$ 線の弧 $AC$ の主要部は $\sqrt{G}\,dv$ である．また $A$ における $u$ 線 $AB$ の接線の方向余弦は

$\frac{\frac{\partial x}{\partial u}}{\sqrt{E}},\quad \frac{\frac{\partial y}{\partial u}}{\sqrt{E}},\quad \frac{\frac{\partial z}{\partial u}}{\sqrt{E}},$

$v$ 線 $AC$ の接線では

$\frac{\frac{\partial x}{\partial v}}{\sqrt{G}},\quad \frac{\frac{\partial y}{\partial v}}{\sqrt{G}},\quad \frac{\frac{\partial z}{\partial v}}{\sqrt{G}}$

であるから，これらの接線の間の角を $\theta$ とすれば

$\cos\theta=\frac{F}{\sqrt{EG}},$ 　従って　 $\sin\theta=\frac{\sqrt{EG-F^2}}{\sqrt{EG}}.$

故に

$\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv=\sqrt{E}\,du\cdot\sqrt{G}\,dv\cdot\sin\theta$

は高位の微小数を省略するとき， $A$ における接平面上において二辺は微小弧 $AB,AC$ に等しく，夾角は $\theta$ に等しい平行四辺形の面積に等しい．これが (12) における微小面積 $d\sigma$ の幾何学的の意味である．

［注意］

上記 $E,F,G$ は (10) からみえるように，曲面上の弧長だけによって確定するのであるから，曲面の形のみに関係する量である，すなわち $E,F,G$ は直角座標 $(x,y,z)$ の選択に無関係なる一定の値を有するのである^{[* 1]}．それはまた計算によって容易に験証される．すなわち

$\begin{align} x'=x_0'+l_1x+m_1y+n_1z,\\ y'=y_0'+l_2x+m_2y+n_2z,\\ z'=z_0'+l_3x+m_3y+n_3z \end{align}$

を直角座標 $(x,y,z)$ から直角座標 $(x',y',z')$ への変換式として

$\begin{alignat}{3} E'&=\left(\frac{\partial x'}{\partial u}\right)^2& &+\left(\frac{\partial y'}{\partial u}\right)^2& &+\left(\frac{\partial z'}{\partial u}\right)^2,\\ F'&=\frac{\partial x'}{\partial u}\frac{\partial x'}{\partial v}& &+\frac{\partial y'}{\partial u}\frac{\partial y'}{\partial v}& &+\frac{\partial z'}{\partial u}\frac{\partial z'}{\partial v},\\ G'&=\left(\frac{\partial x'}{\partial v}\right)^2& &+\left(\frac{\partial y'}{\partial v}\right)^2& &+\left(\frac{\partial z'}{\partial v}\right)^2 \end{alignat}$

と書けば

$E'=\left( l_1\frac{\partial x}{\partial u} +m_1\frac{\partial y}{\partial u} +n_1\frac{\partial z}{\partial u} \right)^2 + \left( l_2\frac{\partial x}{\partial u} +m_2\frac{\partial y}{\partial u} +n_2\frac{\partial z}{\partial u} \right)^2 + \left( l_3\frac{\partial x}{\partial u} +m_3\frac{\partial y}{\partial u} +n_3\frac{\partial z}{\partial u} \right)^2$

$= \left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)^2 +\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)^2 +\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)^2 = E.$

ここで

$\begin{align} &l_1^2+l_2^2+l_3^2=1,\quad m_1^2+m_2^2+m_3^2=1,\quad n_1^2+n_2^2+n_3^2=1,\\ &l_1m_1+l_2m_2+l_3m_3=0,\quad l_1n_1+l_2n_2+l_3n_3=0,\quad m_1n_1+m_2n_2+m_3n_3=0 \end{align}$

を用いた．同様に $F'=F,G'=G$ を得る．

次に一，二の特別なる曲面に関して述べる．

(1º)

回転面

$xz$ 平面上， $z$ 軸の右側（ $x>0$ ）にある曲線

(13)

$x=\varphi(u),\quad z=\psi(u),\quad a\leqq u\leqq b,$

が $z$ 軸の周りに回転して生ずる回転面の方程式は， $v$ を回転の角として

$x=\varphi(u)\cos v,\quad y=\varphi(u)\sin v,\quad z=\psi(u).$

よって

$\begin{align} E &= (\varphi'(u)\cos v)^2+(\varphi'(u)\sin v)^2+\psi'(u)^2 =\varphi'(u)^2+\psi'(u)^2,\\ G &= (-\varphi(u)\sin v)^2+(\varphi(u)\cos v)^2 = \varphi(u)^2,\\ F &= 0, \end{align}$

$\sqrt{EG}=\varphi(u)\sqrt{\varphi'(u)^2+\psi(u)^2},$

$\begin{align} S&=\int_0^{2\pi}dv\int_a^b \varphi(u)\sqrt{\varphi'(u)^2+\psi(u)^2}\,du\\ &=2\pi\int_a^b\varphi(u)\sqrt{\varphi'(u)^2+\psi(u)^2}\,du. \end{align}$

母線 (13) を $C$ と書いて，その弧長を $s$ とすれば

$ds=\sqrt{\varphi'(u)^2+\psi'(u)^2}\,du$

だから

(14)

$S=2\pi\int_C x\,ds.$

$2\pi x ds$ は母線の微小弧 $ds$ の回転から生ずる微小円錐台の側面積である．

もしも曲線 $C$ の重心を $(x_0,z_0)$ とすれば， $C$ の全長を $l$ として

$x_0=\frac{1}l\int_C x\,ds,\quad z_0=\frac{1}l\int_C z\,ds.$

故に (14) を

$S=2\pi x_0l$

と書くことができる．すなわち回転面の面積は母線の長さと，母線の重心の画く円周の長さとの積に等しい．［Guldin の法則］

［注意］

回転体の体積に関しても，類似の法則が成り立つ，今 $xz$ 平面において母線の方程式を

$x=f(z)\geqq 0$

とすれば $z=a,z=b$ の間に挟まれる回転体の体積 $\textstyle V=\int_a^b\pi f(z)^2dz.$ さて子午線面での截口の面積を $A$ ，截口の重心を $(\xi,\zeta)$ とすれば

$\begin{align} \xi&=\frac1A\int_A x\,dx\,dz\\&=\frac1{2A}\int_a^b f(z)^2\,dz. \end{align}$

故に

$V=2\pi\xi\cdot A,$

すなわち回転体の体積 $V$ は子午線面の面積と，それの重心が画く円周の長さとの積に等しい（体積に関する Guldin の法則）．この法則は $z$ 軸に交わらない閉曲線が $z$ 軸を周って回転するとき生ずる回転体にも当てはまる．

［例 1］

$xz$ 平面上において， $z$ 軸と交わらない円が $z$ 軸を周って回転するときに生ずる立体を輪環体（torus）という．

円の半径を $r$ ，中心と回転軸との距離を $a$ とすれば， $x_0=a,\xi=a$ だから

$\begin{align} S &= 2\pi a\cdot 2\pi r = 4\pi^2 ar,\\ V &= 2\pi a\cdot\pi r^2 = 2\pi^2 ar^2. \end{align}$

［例 2］

回転楕円体の表面積はすでに計算した（365 頁）．またその体積はもちろん既知である．故に Guldin の法則によって，反対に長軸または短軸を限界とする楕円の半周または半面の重心の位置が決定される．

(2º)

螺旋面

母線

$x=\varphi(u),\quad z=\psi(u),\quad a\leqq u\leqq b,$

が $z$ 軸を軸として一定の角速度をもって回転すると同時に， $z$ 軸に沿って一定の速度をもって平行移動をするときは，螺旋面が生ずる． $v$ を回転の角（ $0\leqq v\leqq 2\pi$ ）とすれば，その方程式は

$x=\varphi(u)\cos v,\quad y=\varphi(u)\sin v,\quad z=\psi(u)+cv,$

$c$ は定数である．よって

$\begin{align} E &=\varphi'(u)^2+\psi'(u)^2,\\ G &=\varphi(u)^2+c^2,\\ F &=c\psi'(u), \end{align}$

$EG-F^2=\varphi(u)^2(\varphi'(u)^2+\psi'(u)^2)+c^2\varphi'(u)^2.$

これは $u$ のみに関係するから，

$S=v\int_a^b\{\varphi^2(\varphi'^2+\psi'^2)+c^2\varphi'^2\}^\frac12\,du,$

ただし， $v$ は母線の回転の角である．

例えば母線が軸に垂直なる長さ $a$ の直線ならば， $\varphi(u)=u, 0\leqq u\leqq a,\psi(u)=0$ と置いて $E=1,G=u^2+c^2,F=0$ ．故に一周に対応する面積は

$\begin{align} S &= 2\pi\int_0^a\sqrt{u^2+c^2}\,du = \pi\left|u\sqrt{u^2+c^2}+c^2\log(u+\sqrt{u^2+c^2})\right|_0^a\\ &= \pi\left\{a\sqrt{a^2+c^2}+c^2\log\frac{a+\sqrt{a^2+c^2}}c\right\}. \end{align}$

ここで $2\pi c$ が螺旋の高さに等しい．

(3º)

線織面

直線

$x=a_1u+b_1,\quad y=a_2u+b_2,\quad z=a_3u+b_3$

において係数 $a,b$ を $v$ の函数とするときは， $v$ が変動するとき，直線が動いて線織面を生ずる．この場合には

$\begin{align} E &= a_1^2+a_2^2+a_3^2,\\ G &= (a_1'u+b_1')^2+(a_2'u+b_2')^2+(a_3'u+b_3')^2,\\ F &= a_1(a_1'u+b_1')+a_2(a_2'u+b_2)+a_3(a_3'u+b_3'). \end{align}$