解析概論/第8章/多変数の定積分によって表わされる函数

95．多変数の定積分によって表わされる函数

二次元以上においても §48 のような考察ができる．最も簡単な一例として

(1)

$F(t)=\iint_K f(x,y,t)\,dxdy$

において，$x,y$ に関する積分区域 $K$（閉区域）が変数 $t$ には無関係とする．もしも $(x,y)$ が $K$ に属し，$t$ が区間 $t_1\leqq t\leqq t_2$ に属するとき，$f(x,y,t)$ が連続ならば，$F(t)$ は区間 $[t_1,t_2]$ において連続で，また $\tfrac{\partial f}{\partial t}=f_t(x,y,t)$ が上記区域において連続ならば，$F(t)$ を積分記号の下において微分することができる．すなわち

(2)

$\frac{d}{dt}F(t)=\iint_K f_t(x,y,t)\,dxdy,$

これは定理 41と同様である．また $F(t)$ の積分は，連続性の仮定の下において，$f(x,y,t)$ の三次元積分，すなわち積分記号の下における積分に帰する．すなわち

(3)

$\int_{t_1}^{t_2}F(t)dt=\iint_K dxdy\int_{t_1}^{t_2}f(x,y,t)\,dt$

これはすでに §93 で述べた．

広義積分に関しても §48 のような考察法が適用される．

今古典的な一例としてポテンシャル

$V(a,b,c)=\int_K\frac{\mu(x,y,z)d\omega}{r}$

を取る．ここで $K$ は体積確定なる $xyz$ 空間の閉区域で，

$r=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}$

は $P=(x,y,z)$ と $A=(a,b,c)$ との距離，また $\mu(x,y,z)$ は $K$ において連続とする．すなわち，ここでは $V$ を点 $(a,b,c)$ の函数とみるのである． さて，もしも点 $A$ が区域 $K$ の外にあるならば，

$\frac{\partial\left(\dfrac{1}{r}\right)}{\partial a}=\frac{x-a}{r^3}$

から，(2) のように

(4)

$X=\frac{\partial V}{\partial a}=\int_K\frac{(x-a)\mu\,d\omega}{r^3}$

を得る．もしも $A$ が $K$ の内にあるならば，$V$ も $X$ も広義積分で，それは収束して（§94，［例 1］参照），(4) はやはり成立する．しかし，ここでは不連続点 $A$ が $P$ と同じく $K$ の内で変動するのだから，(2) とは違って，(4) を得るためには特別の考察を要する． 今 $A$ を包む小区域 $K_1$ を $K$ から除いた残りの区域を $K_2$ として，$K_1$ 内の点 $A'=(a+h,b,c)$ から点 $P$ への距離を $r'$ と書いて

$\begin{align} V_1&=\int_{K_1}\frac{\mu\,d\omega}{r}, & V_1'&=\int_{K_1}\frac{\mu\,d\omega}{r},\\ V_2&=\int_{K_2}\frac{\mu\,d\omega}{r}, & V_2'&=\int_{K_2}\frac{\mu\,d\omega}{r} \end{align}$

と置けば，

(5)

$\frac{V(A')-V(A)}{h}=\frac{V_1'-V_1}{h}+\frac{V_2'-V_2}{h}.$

さて

$\frac{V_1'-V_1}{h} = \int_{K_1}\frac{1}{h}\left(\frac{1}{r'}-\frac{1}{r}\right)\mu\,d\omega = \int_{K_1}\frac{r-r'}{h}\frac{\mu\,d\omega}{rr'}$

において，$|r-r'|\leqq|h|$ だから，$K$ における $\mu$ の最大値を $m$ とすれば

$\left|\frac{V_1'-V_1}{h}\right| \leqq m\int_{K_1}\frac{d\omega}{rr'} < \frac{m}{2}\int_{K_1}\left(\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r'^2}\right)d\omega.$

そこで $K_1$ の径を $\rho$ とすれば

$\int_{K_1}\frac{d\omega}{r^2},\quad\int_{K_1}\frac{d\omega}{r'^2}$

は $A$ または $A'$ を中心，$\rho$ を半径とする球に関する積分 $\textstyle\int \frac{d\omega}{r^2}=4\pi\rho$ よりも小さいから

$\left|\frac{V_1'-V_1}{h}\right|<4\pi m\rho.$

故に $\varepsilon>0$ に対応して $\rho$ を十分小さく取れば，(5) から

(6)

$\left|\frac{V(A')-V(A)}{h}-\frac{V_2'-V_2}{h}\right|<\varepsilon.$

また $A,A'$ は区域 $K_2$ の外にあるから，$K_2$ に関しては (4) が適用されて

(7)

$\lim_{h\to 0}\frac{V_2'-V_2}{h}=\int_{K_2}\frac{(x-a)\mu\,d\omega}{r^3}.$

一方，

(8)

$\lim_{\rho\to 0}\int_{K_2}\frac{(x-a)\mu\,d\omega}{r^3} =\int_K\frac{(x-a)\mu\,d\omega}{r^3},$

これは右辺の広義積分の収束に他ならない．(6)，(7)，(8) から

$\lim_{h\to 0}\frac{V(A')-V(A)}{h}=\int_K\frac{(x-a)\mu\,d\omega}{r^3}.$

すなわち

$X=\frac{\partial V}{\partial a}=\int_K \frac{(x-a)\mu\,d\omega}{r^3},$

同様に

$Y=\frac{\partial V}{\partial b}=\int_K \frac{(y-b)\mu\,d\omega}{r^3},$

$Z=\frac{\partial V}{\partial c}=\int_K \frac{(z-c)\mu\,d\omega}{r^3}.$

［注意］ 

$A$ が $K$ の外部にあるときには，再び微分して

(9)

$\frac{\partial^2V}{\partial a^2} = \int_K \left(\frac{3(x-a)^2}{r^5}-\frac{1}{r^3}\right)\mu\,d\omega,$　等

を得，それから Laplace の微分方程式

$\Delta V\equiv \frac{\partial^2 V}{\partial a^2} +\frac{\partial^2 V}{\partial b^2} +\frac{\partial^2 V}{\partial c^2} =0$

が得られる．$A$ が $K$ の内部にあるときには，(9) の積分は収束しない．

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