解析概論/第8章/一般区域上の積分

92. 一般区域上の積分

一般区域上の積分に関しては，まず $xy$ 平面上の積分区域 $K$ を有界とし，それを面積確定のものに限定する．また函数 $f(P)$ は少なくとも $K$ において定義され，しかも $K$ において有界とする．

さて矩形網 $\Delta$ において $K$ の点を含む小矩形 $\omega_i$ において $K$ の任意の点 $P_i$ を取って，和

(1)

$\mathit\Sigma_\Delta = \sum f(P_i)\,\omega_i$

を作る．もしも

(2)

$I=\lim_{\delta\to 0}\mathit\Sigma_\Delta$

が存在するならば，それを区域 $K$ 上の $f(P)$ の積分とする．

和 (1) において $K$ の境界点を含む小矩形 $\omega_i$ （いわゆる臨界矩形）に関する部分は絶対値において $M\mathit\Omega_\Delta$ を超えない．ここで $M$ は区域 $K$ における $\left|f(P)\right|$ の上限で，$\mathit\Omega_\Delta$ は臨界矩形の総面積である．仮定（$K$ の面積確定）によって $\delta\to 0$ のとき $\mathit\Omega_\Delta\to 0$ だから，和 (1) において小矩形 $\omega_i$ は全く $K$ の内部にあるもののみを取ればよろしい．

今 $K$ に属しない点に関して函数 $f(P)$ を変更または拡張して

$f^*(P)=\left\{\begin{array}{r}f(P),\\0,\end{array}\right.$		（$P$ が $K$ に属するとき）
		（$P$ が $K$ に属しないとき）

とし， $K$ を含む矩形（辺は座標軸に平行） $K^*$ を取って， $K^*$ における $f^*(P)$ の積分を考察する．それは

(3)

$\sum_i f^*(P_i)\,\omega_i$

の極限であるが，ここでは，$K$ 外にある小矩形 $\omega_i$ に関しては $f^*(P_i)=0$ であり，また臨界矩形に関する部分は $\mathit\Omega_\Delta\to 0$ のため考慮を要しない．従って (3) においても，$\omega_i$ を全く $K$ の内部にある小矩形に限ってよいが，それらに関しては $f^*(P_i)=f(P_i)$ としてよいから，$K$ 上 $f(P)$ の積分は $K^*$ 上 $f^*(P)$ の積分に帰する． $K$ の境界点は $f^*(P)$ の不連続点になる（なりうる）が，それらは総面積が，どれほどでも小なる小矩形群で覆われてしまうのである． よって次の定理を得る（§90）．

定理 77．

面積確定なる区域 $K$ において $f(P)$ は有界とする．然らば

(1º)

積分可能の必要かつ十分なる条件は $\textstyle \lim_{\delta\to 0}\sum v_i\omega_i = 0$ である．ここで，$\omega_i$ は $K$ 内において $f(P)$ の不連続点を含む小矩形で，$v_i$ は $\omega_i$ における $f(P)$ の振動量である．

(2º)

$f(P)$ が $K$ の内点において連続ならば， $f(P)$ は $K$ において積分可能である．

(3º)

$f(P)$ のすべての不連続点が，任意に小なる総面積を有する小矩形群で覆われるならば $f(P)$ は積分可能である（十分条件）．

§31 に述べた積分に関する定理は， 二次元以上でも同様に証明されるから， 一々説明しないが，次のは特に基本的である（もちろん区域は面積確定， 函数は積分可能と仮定して述べる）．

(1º)

（区域に関する加法性）

区域 $K$ が $K_1,K_2$ に分割されるならば

$\int_K f(P)d\omega=\int_{K_1}f(P)d\omega + \int_{K_2}f(P)d\omega.$

(2º)

（函数に関する一次性）

$a,b$ が定数ならば

$\int_K(af(P)+bg(P))d\omega = a\int_Kf(P)\,d\omega + b\int_Kg(P)\,d\omega.$

(3º)

$K$ 上で $f(P)$ が積分可能ならば， $|f(P)|$ も積分可能で，

$\left|\int_K f(P)d\omega\right| \leqq \int_K\left|f(P)\right|d\omega.$

(4º)

（平均値の定理）

 

$\int_Kf(P)d\omega = \mu A,\qquad(m\leqq\mu\leqq M),$

$A$ は区域 $K$ の面積で，$m,M$ は $K$ における $f(P)$ の上限，下限である．特に $K$ が閉域で $f(P)$ が $K$ において連続ならば $\mu=f(P_0), P_0\in K$．

(5º)

これは一次元では考察を要しなかった問題である． 区域 $K$ において， $f(P)$ が積分可能で，

$I=\int_Kf(P)\,d\omega$

とする．今 $K$ を小矩形の代りに小区域（面積確定！） $\omega_i$ に分割して，その分割 $\Delta$ に関して，上記のように，和

$\mathit\Sigma_\Delta = \sum_if(P_i)\,\omega_i.$

を作って，区域 $\omega_i$ を限りなく縮小する（区域 $\omega_i$ の径（ 31頁）$\delta_i$ の最大値 $\delta$ を限りなく小さくする）とき，和 $\mathit\Sigma_\Delta$ は積分 $I$ に収束する．すなわち

(4)

$I=\lim_{\delta\to 0}\sum_if(P_i)\,\omega_i.$

これは明白であろうが，念のために証明を略述する．まず小区域 $\omega_i$ に平均値の定理を適用して

$I=\sum_i\int_{\omega_i}f(P)\,d\omega = \sum_i\mu_i\,\omega_i,$

従って

$I-\mathit\Sigma_\Delta = \sum_i(\mu_i-f(P_i))\,\omega_i.$

さて $|\mu_i-f(P_i)|\leqq v_i$（$v_i$ は $\omega_i$ における $f(P)$ の振動量）だから

$|I-\mathit\Sigma_\Delta| \leqq \sum_iv_i\,\omega_i.$

故に

(5)

$\lim_{\delta\to 0}\sum v_i\,\omega_i = 0$

なることを示せばよい．

さて仮定によって $f(P)$ は積分可能だから， 矩形網に関しては (5) は既知である．よって任意の $\varepsilon_1(>0)$ を取って

(6)

$\sum_\sigma v(\sigma)\sigma < \varepsilon_1$

なる矩形網を取る．$\sigma$ はその矩形網の一つの小矩形の面積で， $v(\sigma)$ は小矩形 $\sigma$ における $f(P)$ の振動量である．前節でもしたように，各小矩形 $\sigma$ 内に，$\sigma$ の各辺を $\delta$ だけ引き込めて矩形 $\sigma'$ を作る（328頁図参照）．ただし $\delta$ を十分小さく取って，区域 $K$ からすべての $\sigma'$ を取り除いた残りの面積すなわち $\textstyle\sum(\sigma-\sigma')$ を任意の $\varepsilon_2$ よりも小さくする．然らば小区域 $\omega_i$ の中で $\sigma'$ と共通点を有するものは，$\sigma'$ の外へはみ出るとしても，$\sigma$ には含まれる（$\omega_i$ の径が $\delta$ 以内であるから）．従って一つの $\sigma$ に含まれるそれらの小区域 $\omega_i$ に関しては（$v_i\leqq v(\sigma)$ だから），

$\sum v_i\omega_i \leqq v(\sigma)\sigma.$

すべての $\sigma'$ に関して合計すれば，(6) から

(7)

$\sum_{\sigma'}v_i\omega_i \leqq \sum_\sigma v(\sigma)\sigma < \varepsilon_1.$

また (5) において，この和 $\textstyle\sum_{\sigma'}$ に入らない残りの小区域 $\omega_i$ は全く区域 $\textstyle\sum(\sigma-\sigma')$ に含まれるから，それらに関する和は

(8)

$\sum_{\sigma-\sigma'}v_i\omega_i \leqq v(K)\sum(\sigma-\sigma') \leqq v(K)\varepsilon_2,$

ただし $v(K)$ は全区域 $K$ における $f(P)$ の振動量である．

(7) と (8) とから，すべての $\omega_i$ にわたって，

$\sum v_i\omega_i < \varepsilon_1 + v(K)\varepsilon_2.$

$\varepsilon_1,\varepsilon_2$ は任意であったから，ここで右辺を任意の $\varepsilon$ よりも小さくとることができる．そのとき

$\sum v_i\omega_i < \varepsilon.$

すなわち (5)，従って (4) が確定する．

(6º)

一次元の積分

$I=\int_a^bf(x)dx$

は二次元における面積に帰する．今 $[a,b]$ において $f(x)$ は有界で，$f(x)\geqq 0$ として，二次元において

$K$：

$a\leqq x\leqq b,\quad 0\leqq y\leqq f(x)$

なる区域を $K$ とする．然らば $I$ は区域 $K$ の面積に等しい．§30 で積分 $I$ に関していった $S$，$s$ はすなわち §91 の意味での $K$ の外面積，内面積で，積分 $I$ が可能なる場合（$S=s=I$）はすなわち $K$ の面積確定なる場合である．$[a,b]$ において $f(x)$ は有界であるが，その符号が一定でないときには，$C$ を $f(x)$ の下界として $\bar{f}(x)=f(x)-C$ と置けば $\bar{f}(0)\geqq 0$ で， $\textstyle I=\int_a^b\bar{f}(x)dx-C(a-b)$．あるいは §39 のように，$f(x)=f^+(x)-f^-(x)$ としてもよい．同様に，二次元の積分は三次元の体積に帰する．

第3章では，一次元積分に関して積分区域を区間に限定したが， 二次元以上では，積分区域 $K$ は連結されていることすらも仮定しなかった．しかし，実際は本節で述べたように，函数 $f(P)$ を $f^*(P)$ に変更して，積分区域 $K$ を $K^*$ に帰せしめたのである．同様の立場において，一次元でも区間の代りに任意の（有界）点集合 $K$ に関する積分 $\textstyle \int_K f(x)\,dx$ を考察することができる．それは $K$ を含む区間 $[a,b]$ に関する $\textstyle \int_a^b f^*(x)\,dx$ である．特に $\varphi(x)$ を集合 $K$ の定義函数として $\textstyle \int_a^b\varphi(x)\,dx$ をもって集合 $K$ の‘長さ’を定義することができる．

一次元における長さ，二次元における面積，三次元における体積などは任意次元に拡張されるが，Jordan は各次元に関して，それを総称して集合の étendue と名づけた． 英訳すれば extent であろうが，ドイツ系では直訳しないで Inhalt という．折衷してかりにそれを容積というならば，集合 $K$ の容積は，$K$ の定義函数 $\varphi(P)$ の Riemann 積分である．Lebesgue は一層深刻な考察によって，容積の概念を拡張して，それを mesure（measure，Mass，測度）と名づけた．‘測度’は語義広汎で，特殊の意味に独占されるべきでなかろうから， 各〻の立場を明確にして，Lebesgue 測度に対して上記 Jordan 式の容積，étendue，を Riemann 測度というのが，むしろ適切であろう．