解析概論/第7章/陰伏函数の極値

[編集] 89．陰伏函数の極値

陰伏函数の極値の最も簡単な一例として，次の問題を考察する：

［問題］

変数 $x,y$ が

(1)

$\varphi(x,y)=0$

なる関係式で縛られているとき， $f(x,y)$ の極値の必要条件を求めること．

今点 $P_0=(x_0,y_0)$ において $f(x_0,y_0)=c_0$ が極値であると仮定する．もしも $P_0$ が曲線 (1) の特異点でないならば， $P_0$ において $\varphi_x$ または $\varphi_y$ が $0$ でない．例えば $\varphi_y(P_0)\ne 0$ とすれば， $P_0$ の近傍で，(1) は

$y=\mathit\Phi(x)$

のような形で表わされる．それを $f(x,y)$ へ持ち込んで

(2)

$f(x,y)=f(x,\mathit\Phi(x))=F(x)$

とすれば，問題は $F(x)$ の極値を求めることに帰する．その必要条件として

$\frac{dF}{dx}=0$

を得るが，与えられた函数 $f,\varphi$ をもってそれを書き表わすことができる．すなわち (2) から

(3)

$\frac{df}{dx}=f_x+f_y\frac{dy}{dx}=0.$

然るに (1) から

(4)

$\varphi_x+\varphi_y\frac{dy}{dx}=0.$

従って (3)，(4) から

(5)

$\frac{f_x}{\varphi_x}=\frac{f_y}{\varphi_y}$

を得る． $(x_0,y_0)$ は (1) と (5) とを満足せしめねばならない．これが極値の必要条件である．

今 $f(x,y)$ の等位線の族 $f(x,y)=c$ で $xy$ 平面の一部分が覆われているとして，点 $P$ が曲線 $\varphi(x,y)=0$ の上を動くと考える．然らば $P$ の一つの位置における $f(P)$ の値はすなわち $P$ を通る等位線 $f(x,y)=c$ の位を示す数 $c$ である．さて，もしも $\varphi=0$ の上の点 $P_0$ において $f(x,y)$ が極値を取るならば，(5) によって， $\varphi=0$ は $P_0$ において等位線 $f(x,y)=c_0$ に接する．（ただし $P_0$ は $\varphi=0$ の特異点ではないと仮定してある．特異点においては $\varphi_x=\varphi_y=0$ だから，(5) は当然成り立つ）．そうしてその等位線 $f(x,y)=c_0$ の位を示す数 $c_0$ がすなわち $f(x,y)$ の極値である．

しかし，(5) は極値の必要条件に過ぎないから， $f=c_0$ と $\varphi=0$ とが接しても， $c_0$ が $f$ の極値であると断言することはできない．

ファイル:図

［例］

定点 $A=(a,b)$ から曲線 $\varphi(x,y)$ への距離の極大極小を求めること．距離の代りに，その平方を取って

$f(x,y)=(x-a)^2+(y-b)^2$

とすれば，極値の必要条件として

$\frac{\varphi_x}{x-a}=\frac{\varphi_y}{y-b}$

を得る．曲線上の点 $P$ がこの方程式を満足せしめるならば， $P$ は曲線上の特異点（ $\varphi_x=\varphi_y=0$ ）であるか，または $AP$ が曲線への法線である．よって極大または極小距離の候補者として， $A$ からの法線と， $A$ と特異点とを結ぶ線分を取るべきである．しかし，実際極値を決定するには，めんどうな計算を要する（例えば点 $(0,1)$ から曲線 $y^2=x^3$ への最短距離を求めてみるとよい）．

一般に $n$ 個の変数 $x_1,x_2\ldots,x_n$ の函数

$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$

が

(6)

$\varphi^{(i)}(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0$

$(i=1,2,\ldots,p;\;p<n)$

なる条件の下で，点 $P^0=(x_1^0,x_2^0,\ldots,x_n^0)$ において極値を取るとする．もしも $P^0$ の近傍で， $\varphi^{(1)},\varphi^{(2)},\ldots,\varphi^{(p)}$ が互に独立で，例えば

(7)

$\frac{D(\varphi^{(1)},\varphi^{(2)},\ldots,\varphi^{(p)})}{D(x_1,x_2\ldots,x_p}\ne 0$

ならば， $x_1,x_2,\ldots,x_p$ はその他の $x_\rho\,(\rho=p+1,\ldots,n)$ の函数になり，従って $f$ は $x_\rho$ のみの函数になる．よって

$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=F(x_{p+1},\ldots,x_n)$

と書くならば，極値の必要条件は

(8)

$\frac{\partial F}{\partial x_\rho}=0\qquad(\rho=p+1,\ldots,n)$

であるが，これらを $f$ および $\varphi^{(i)}$ の偏微分商 $f_\nu=\tfrac{\partial f}{\partial x_\nu},\varphi_\nu=\tfrac{\partial \varphi^{(i)}}{\partial x_\nu}$ を用いて書き表わすことができる．まず (8) から

(9)

$f_\rho+\sum_{\nu=1}^p f_\nu\frac{\partial x_\nu}{\partial x_\rho}=0,\quad(p<\rho\leqq n).$

さて $\tfrac{\partial x_\nu}{\partial x_\rho}$ は (6) から求められる（定理 73）．すなわち

(10)

$\varphi^{(i)}_\rho+\sum_{\nu=1}^p \varphi^{(i)}_\nu\frac{\partial x_\nu}{\partial x_\rho}=0.$

(9)，(10) から $\tfrac{\partial x_\nu}{\partial x_\rho}$ を消去すれば，

(11)

$\frac{D(f,\varphi^{(1)},\varphi^{(2)},\ldots,\varphi^{(p)})}{D(x_1,x_2,\ldots,x_p,x_\rho)}=0,$

$(\rho=p+1,\ldots,n).$

すなわち $P^0=(x_1^0,x_2^0,\ldots,x_n^0)$ は条件 (7) の下において，(6) と (11) と合わせて $n$ 個の方程式を満足せしめねばならない．これが極値の必要条件である．

上記の考察においては陰伏函数の理論を応用したが，それよりも直截的に，かつすべての変数に関して対称的に，次のように考えることができる．

前のように $P^0$ を極値点とするならば， $P^0$ において

$d\varphi^{(1)}=0,d\varphi^{(2)},\ldots,d\varphi^{(p)}=0$

なるとき，

$df=0$

でなければならない。すなわち（ $x_i$ に関する微分を添字 $i$ で示して）

(12)

$f_1dx_1+f_2dx_2+\cdots+f_ndx_n=0$

が

(13)

$\varphi^{(i)}_1dx_1+\varphi^{(i)}_2dx_2+\cdots+\varphi^{(i)}_ndx_n=0\qquad (i=1,2,\ldots,p)$

からの帰結である．従って一次方程式の理論によって (12) は (13) の一次結合である．故に

(14)

$f_\nu=\lambda_1\varphi^{(1)}_\nu+\lambda_2\varphi^{(2)}_\nu+\cdots+\lambda_p\varphi^{(p)}_\nu,\quad(\nu=1,2,\ldots,n)$

なる乗数 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p$ が存在する．すなわち $x_1^0,x_2^0,\ldots,x_n^0$ と $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p$ とが (6) と (14) と合わせて $n+p$ 個の方程式を満足せしめねばならない．ここでは乗数 $(\lambda_i)$ は $(x_\nu^0)$ を求めるための補助の未知数である（Lagrange の乗数法）．すなわち (14) から $\lambda_i$ を消去すれば仮定 (7) の下において (11) を得る．