解析概論/第7章/逆函数

83．逆函数

定理 74．

$n$ 個の独立変数 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ の $n$ 個の函数

(1)

$u_i=f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)\quad (i=1,2,\ldots,n)$

が点 $P_0=(x_1^0,x_2^0,\ldots,x_n^0)$ の近傍で連続的微分可能であるとして，函数行列式を

$J(x_1,x_2,\ldots,x_n) =\frac{D(u_1,u_2,\ldots,u_n)}{D(x_1,x_2,\ldots,x_n)} =\begin{vmatrix} \dfrac{\partial u_1}{\partial x_1},&\ldots,&\dfrac{\partial u_1}{\partial x_n}\\[6pt] \ldots & \ldots & \ldots\\[6pt] \dfrac{\partial u_n}{\partial x_1},&\ldots,&\dfrac{\partial u_n}{\partial x_n} \end{vmatrix}$

とする．今変数 $x$ に関する点 $P_0=(x_1^0,x_2^0,\ldots,x_n^0)$ に $u$ に関する点 $Q_0=(u_1^0,u_2^0,\ldots,u_n^0)$ が対応し，かつ $J(x_1^0,x_2^0,\ldots,x_n^0)\ne 0$ とするならば，$Q_0$ を含む或る領域内において点 $Q=(u_1,u_2,\ldots,u_n)$ の函数として，(1) を満足せしめる $x_1,x_2,\ldots,x_n$ が一意的に存在して，それらは連続的微分可能である．

［証］

(1) を変数 $x_1,x_2,\ldots,x_n;\;u_1,u_2,\ldots,u_n$ の間の $n$ 個の関係式とみて，それによって $u_1,u_2,\ldots,u_n$ の陰伏函数として $x_1,x_2,\ldots,x_n$ を考察するならば，定理 73が適用される．すなわち

$F_i=f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)-u_i,\quad(i=1,2,\ldots,n)$

と置けば

$\frac{D(F_1,F_2,\ldots,F_n)}{D(x_1,x_2,\ldots,x_n)} =\begin{vmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}, &\dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}, & \ldots, &\dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\[10pt] \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\[10pt] \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\[10pt] \dfrac{\partial f_n}{\partial x_1}, &\dfrac{\partial f_n}{\partial x_2}, & \ldots, &\dfrac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{vmatrix}=J.$

さて仮定によって，$J(x_1^0,x_2^0,\ldots,x_n^0)\ne 0$．故に関係式

$F_i=0,\quad (i=1,2,\ldots,n),$

すなわち (1) を満足せしめる $(u_1,u_2,\ldots,u_n)$ の函数

$x_i=\varphi_i(u_1,u_2,\ldots,u_n)\quad(i=1,2,\ldots,n)$

が $Q_0=(u_1^0,u_2^0,\ldots,u_n^0)$ の近傍で確定する．これらの函数が微分可能であること，およびその全微分を求める方法は，前節で述べたとおりである．

（証終）

函数の間の関係

定理 74 を一般化して次の定理を得る．

定理 75．

$n$ 個の変数 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ の $m$ 個の函数

(2)

$u_i=f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n),\quad(i=1,2,\ldots,m)$

が点 $P_0=(x_1^0,x_2^0,\ldots,x_n^0)$ の近傍で連続的微分可能とする．また偏微分商の行列

(3)

$\begin{matrix} \dfrac{\partial u_1}{\partial x_1}, &\dfrac{\partial u_1}{\partial x_2},&\ldots, &\dfrac{\partial u_1}{\partial x_n}\\[10pt] \dfrac{\partial u_2}{\partial x_1}, &\dfrac{\partial u_2}{\partial x_2},&\ldots, &\dfrac{\partial u_2}{\partial x_n}\\[10pt] \ldots &\ldots &\ldots &\ldots\\[10pt] \dfrac{\partial u_m}{\partial x_1}, &\dfrac{\partial u_m}{\partial x_2},&\ldots, &\dfrac{\partial u_m}{\partial x_n} \end{matrix}$

において，一つの $r$ 次（$r<m,r\leqq n$）の行列式は $P_0$ において $0$ に等しくなく，例えば

(4)

$\left(\frac{D(u_1,u_2,\ldots,u_r)}{D(x_1,x_2,\ldots,x_r)}\right)_0\ne 0$

であるが，それを含む $r+1$ 次の全ての行列式は $P_0$ の近傍で常に等しい．すなわち

(5)

$\left(\frac{D(u_1,u_2,\ldots,u_r,u_\rho)}{D(x_1,x_2,\ldots,x_r,x_\sigma)}\right)_0 = 0\quad\left({r<\rho\leqq m\atop r<\sigma \leqq n}\right)$

とする．然らば，$P_0$ の近傍で $u_1,u_2,\ldots,u_r$ は独立であるが，$u_{r+1},\ldots,u_m$ は $u_1,u_2,\ldots,u_r$ だけの函数である．

すなわち $x$ 系の点 $P_0=(x_1^0,x_2^0,\ldots,x_n^0)$ に $u$ 系の点 $Q_0=(u_1^0,u_2^0,\ldots,u_m^0)$ が対応するとき，$P_0$ の近傍で $(u_1,u_2,\ldots,u_r)$ は $(u_1^0,u_2^0,\ldots,u_r^0)$ に十分近い任意の値をとりうるので，その意味において $u_1,u_2,\ldots,u_r$ は独立というのであるが，そのとき $u_{r+1},\ldots,u_m$ の取る値は自然に確定してしまうのである．換言すれば，$P=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ が $P_0$ の近傍で自由に変動するとき，それに対応して $Q=(u_1,u_2,\ldots,u_m)$ は $Q_0$ の近傍で変動するけれども，$Q$ は $m$ 次元空間のどれほど小さい一つの領域をも満たしえないのである．それを略称して $u_1,u_2,\ldots,u_m$ は独立でないという（早わかりに約言すれば，例えば $m=3$ で，$r=2$ ならば $Q$ はある曲面上に限局され，$r=1$ ならば $Q$ はある曲線上に限局される）

［注意］ 

上記の仮定において，(4) は点 $P_0$ においてのみの仮定だけれども，それは不等式であるから，連続性のために $P_0$ の近傍で成り立つが，(5) は等式だから $P_0$ において成り立つだけでは不足で，$P_0$ の近傍で常に成立するとせねばならないのである．要するに，$P_0$ の近傍で $r$ 次の一つの行列式は常に一定の符号を有し，それを含む $r+1$ 次のすべての行列式は常に $0$ に等しいことを仮定するのである．

［証］

この定理では $x_1^0,\ldots,x_n^0,u_1^0,\ldots,u_m^0$ に十分近い所でのみ各変数 $x,u$ を考察するのだから，一々それをことわらない．仮定 (4) によって $u_1,u_2,\ldots,u_r;x_{r+1},\ldots,x_n$ を独立変数とみるとき $x_1,x_2,\ldots,x_r$ がそれらの陰伏函数として確定する（定理 73）．故に $u_1,u_2,\ldots,u_r$ および $x_{r+1},\ldots,x_n$ に任意の値を与えて，それに対応する $x_1,x_2,\ldots,x_r$ の値を定めるならば，それらの値は

(6)

$u_i=f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)\quad(i=1,2,\ldots,r)$

を満足せしめる．すなわち $u_1,u_2,\ldots,u_r$ は任意の値を取りうるのだから互に独立である． このようにして定められる $x_1,x_2,\ldots,x_r$ を

(7)

$x_\rho=f_\rho(x_1,x_2,\ldots,x_r;x_{r+1},\ldots,x_n)\quad(\rho=r+1,\ldots,m)$

に持ち込めば $u_\rho$ は $u_1,\ldots,u_r$ と $x_{r+1},\ldots,x_n$ との函数になるが，それは仮定 (5) のために $x_{r+1},\ldots,x_n$ に無関係で，従って $u_\rho$ は $u_1,\ldots,u_r$ のみの函数になるのである．それを示すために $u_\rho$ を $u_1,\ldots,u_r,x_{r+1},\ldots,x_n$ の函数とするとき $\tfrac{\partial u_\rho}{\partial x_{r+1}}=0,\ldots,\tfrac{\partial u_\rho}{\partial x_n}=0$ であることを確かめよう． さて $r<\sigma\leqq m$ として，(7) から

(8)

$\frac{\partial u_\rho}{\partial x_\sigma} = \frac{\partial f_\rho}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial x_\sigma} +\frac{\partial f_\rho}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial x_\sigma} +\cdots +\frac{\partial f_\rho}{\partial x_r}\frac{\partial x_r}{\partial x_\sigma} +\frac{\partial f_\rho}{\partial x_\sigma}$

右辺の $\tfrac{\partial x_i}{\partial x_\sigma}$ は $x_1,x_2,\ldots,x_r$ を $x_{r+1},\ldots,x_n$ （および $u_1,\ldots,u_r$）の陰伏函数とみての微分商で，それらは (6) を微分して得られる次の等式

(9)

$0= \frac{\partial f_i}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial x_\sigma}+\cdots+ +\frac{\partial f_i}{\partial x_r}\frac{\partial x_r}{\partial x_\sigma} +\frac{\partial f_i}{\partial x_\sigma},\quad(i=1,2,\ldots,r)$

から求められる．さて (8) と (9) とから $\tfrac{\partial x_i}{\partial x_\sigma}$ をおい出せば，

$\begin{vmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1},&\ldots, & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_r}, & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_\sigma}\\[10pt] \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\[10pt] \dfrac{\partial f_r}{\partial x_1},&\ldots, & \dfrac{\partial f_r}{\partial x_r}, & \dfrac{\partial f_r}{\partial x_\sigma}\\[10pt] \dfrac{\partial f_\rho}{\partial x_1},&\ldots, & \dfrac{\partial f_\rho}{\partial x_r}, & \dfrac{\partial f_\rho}{\partial x_\sigma} -\dfrac{\partial u_\rho}{\partial x_\sigma} \end{vmatrix}=0,$

すなわち

$\frac{D(f_1,\ldots,f_r,f_\rho)}{D(x_1,\ldots,x_r,x_\sigma)} -\frac{\partial u_\rho}{\partial x_\sigma} \frac{D(f_1,\ldots,f_r)}{D(x_1,\ldots,x_r)}=0.$

仮定によって第一の函数行列式は $0$ に等しいが，第二のは $0$ に等しくないから

$\frac{\partial u_\rho}{\partial x_\sigma}=0.\quad(\sigma=r+1,\ldots,m)$

故に $u_\rho$ は $u_1,u_2,\ldots,u_r$ のみの函数である．

［注意］ 

定理 75 は局所的で，$r$ すなわち行列 (3) の位（rank）は所によって違いうる．函数 $u_i$ の数を上記のように $m$ とすれば，$r$ は $0$ から $m$ までの値を取る可能性がある．$r=0$ は $P_0=(x_1^0,x_2^0,\ldots,x_n^0)$ の近傍で $\tfrac{\partial u_\mu}{\partial x_\nu}$ がすべて $0$，従って $u_\mu$ がすべて定数であることを意味する．また $r=m$ は $P_0$ の近傍で，行列 (3) の或る $m$ 次の行列式が $0$ に等しくない場合（従って $m\leqq n$） で，このとき $u_1,u_2,\ldots,u_m$ は $P_0$ の近傍で独立である．

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