解析概論/第7章/解析函数への応用

85．解析函数への応用

陰伏函数の解析性を考察することはもちろん重要であるが，ここでは最も簡単な場合において，しかも §82 の定理との連絡を主眼として，若干の解説を試みる．

定理 76．

複素数平面（$z$ 平面）の或る領域 $K$ において

(1)

$w=f(z)$

は正則で，$K$ 内の一点 $z=z_0$ において $w=w_0$ とする．もしも $z_0$ において $f'(z_0)\ne 0$ ならば，$w=w_0$ の近傍で正則なる逆函数 $z=g(w)$ が確定する．

［証］

複素変数 $z,w$ の実部と虚部とを分けて

$z=x+yi,\quad w=u+vi$

として，(1) を

(2)

$u=\varphi(x,y),\quad v=\psi(x,y)$

と書く．然らば

$\varphi_x=\psi_y,\quad\varphi_y=-\psi_x,$

$f'(z)=\varphi_x+i\psi_x=\psi_y-i\varphi_y$

$\frac{D(u,v)}{D(x,y)} =\begin{vmatrix}\varphi_x &\psi_x\\ \varphi_y &\psi_y\end{vmatrix}, = \varphi_x^2+\psi_x^2=|f'(z)|^2.$

仮定によって $f'(z_0)\ne 0$ だから，$(x_0,y_0)$ において

$\frac{D(u,v)}{D(x,y)}\ne 0.$

故に定理 74 の意味で，(2) の逆函数（逆写像）が $(u_0,v_0)$ の近傍で確定する．すなわち複素変数 $z=x+yi$ が $w=u+vi$ の函数 $z=g(w)$ として与えられる．それが解析的（正則）であることをみるには，$g(w)$ の微分可能性を示せばよいが，それは明白である．すなわち，

$f'(z)=\lim_{z_1\to z}\frac{w_1-w}{z_1-z}\ne 0$

が $z=z_0$ の近傍では確定であるのだから，

$g'(w)=\lim_{w_1-w}{z_1-z}=\frac{1}{f'(z)}$

も確定である．

（証終）

なお一般に $F(w,z)$ を複素変数 $z,w$ の函数として，その実部と虚部とを分けて

$F(w,z)=\mathit\Phi(u,v,x,y)+i\mathit\Psi(u,v,x,y)$

とする．今 $F(w_0,z_0)=0$ として，$F(w,z)$ は $z$ が $z_0$ の近傍にあるとき $w$ に関して正則，また $w$ が $w_0$ の近傍にあるとき $z$ に関して正則とする．然らば

(3)

$\left.\begin{align} \mathit\Phi_u &= \mathit\Psi_v, & \mathit\Phi_v &= -\mathit\Psi_u,\\ \mathit\Phi_x &= \mathit\Psi_y, & \mathit\Phi_y &= -\mathit\Psi_x,\quad \end{align}\right\}$

(4)

$F_w=\frac{\partial F}{\partial w}=\mathit\Phi_u+i\mathit\Psi_u,\quad F_z=\frac{\partial F}{\partial z}=\mathit\Phi_x+i\mathit\Psi_x.$

これが $F_w,F_z$ の意味である． さて上記のように

$F(w_0,z_0)=0$

とするとき，もしも $F_w(w_0,z_0)\ne 0$ ならば，$z_0$ の近傍で，方程式 $F(w,z)=0$ によって，$w=f(z)$ が $z$ の陰伏函数として定義されて，しかも $w$ は $z=z_0$ の近傍で正則な解析函数である．すなわち言葉の上では定理 71 と同じようだが，実数に引き直していえば，条件はまず $F(w,z)=0$ から

(5)

$\left.\begin{align} \mathit\Phi(u,v,x,y)&=0,\\ \mathit\Psi(u,v,x,y)&=0 \end{align}\right\}$

次に $F_w(w_0,z_0)\ne 0$ から，$(u_0,v_0,x_0,y_0)$ において

$\frac{D(\mathit\Phi,\mathit\Psi)}{D(u,v)} =\begin{vmatrix} \mathit\Phi_u & \mathit\Psi_u\\ \mathit\Phi_v & \mathit\Psi_v \end{vmatrix} =\mathit\Phi_u^2+\mathit\Psi_u^2=|F_w|^2\ne 0.$

故に定理 73 によって $(x_0,y_0)$ の近傍で (5) を満足せしめる $x,y$ の函数として $u,v$ が確定する． 従って $w$ が $z$ の函数として確定するのであるが，それの解析性すなわち微分可能性を考察するために299 頁の計算を引用する．すなわち

$\begin{align} \mathit\Phi_udu+\mathit\Phi_vdv+\mathit\Phi_xdx+\mathit\Phi_ydy=0,\\ \mathit\Psi_udu+\mathit\Psi_vdv+\mathit\Psi_xdx+\mathit\Psi_ydy=0. \end{align}$

(3) を用いて書き直せば

(6)

$\mathit\Phi_udu+\mathit\Psi_udv+\mathit\Phi_xdx+\mathit\Psi_xdy=0,$

(7)

$\mathit\Psi_udu+\mathit\Phi_udv+\mathit\Psi_xdx+\mathit\Phi_xdy=0.$

(7) に $i$ を掛けて (6) に加えて

$(\mathit\Phi_u+i\mathit\Psi_u)(du+idv)+(\mathit\Phi_x+\mathit\Psi_y)(dx+idy)=0,$

すなわち

$\frac{du+idv}{dx+idy} =-\frac{\mathit\Phi_x+i\mathit\Psi_x}{\mathit\Phi_u+i\mathit\Psi_u}.$

従って

$\frac{dw}{dz}=-\frac{F_z}{F_w}.$

故に $w$ は $z$ の函数として解析的（正則）である．

§82 の定理から導かれた上記の結果は局所的であるが，解析性を利用すれば，いくぶん精密な結論が得られる．

(1º)

定理 76 において簡単のために $z-z_0,w-w_0$ に $z,w$ を代用すれば，$f'(0)\ne 0$ を用いて，$z=0$ の近傍で

(8)

$w=f(z)=a_1z+a_2z^2+\cdots,\quad(a_1\ne 0).$

さて $w=0$ の近傍で逆函数が正則であることが知られているから，

(9)

$z=b_1w+b_2w^2+\cdots$

と置いてよい．これを (8) に代入すれば，定理 58 によって (8) の右辺が $w$ の巾級数になるから，巾級数の一意性によって係数 $b_1,b_2,\ldots$ が逐次に計算される（未定係数法）．そのようにして得られる巾級数 (9) は $w=0$ の近傍で収束することはもちろん既知であるが，少なくとも (9) が収束する限り，逆函数が一意的である（解析的延長の原則）．

(2º)

上記逆函数が確定である $z$ 平面の領域内において，原点を中心とする円を $C$ とすれば，(9) における係数 $bn$ が見やすい形に書き表される．今 $z_1$ を $C$ 内の点とし，また $w_1=f(z_1)$ として

(10)

$I=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{zf'(z)dz}{f(z)-w_1}$

と置けば，被積分函数は $C$ 内で $z=z_1$ において一次の極を有するだけだから，$I$ は $z=z_1$ における留数に等しく，従って

$I=\lim_{z\to z_1}\frac{z(z-z_1)f'(z)}{f(z)-w_1}=z_1.$

さて (10) において

$\frac{zf'(z)}{f(z)-w_1} =\frac{zf'(z)}{f(z)}\left\{1+\frac{w_1}{f(z)}+\frac{w_1^2}{f(z)^2}+\cdots\right\}$

の一様収束性を用いて項別積分をすれば，$I$ すなわち $z_1$ が $w_1$ の巾級数に展開される．すなわち (9) において

(11)

$b_n=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{zf'(z)dz}{f(z)^{n+1}},$

または

$\frac{d}{dz}\frac{z}{f(z)^n}=\frac{1}{f(z)^n}-\frac{nzf'(z)}{f(z)^{n+1}}$

を用いて

$nb_n=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{dz}{f(z)^n}.$

右辺は $z=0$ における $f(z)^{-n}$ の留数である．従って

(12)

$b_n=\frac{1}{n!}\left[ \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left(\frac{z}{f(z)}\right)^n \right]_{z=0}.$

これが (9) における係数 $b_n$ の値である［Lagrange の展開］．

応用上しばしば遭遇するように，$z$ と $w$ との関係が

(13)

$z=a+w\varphi(z)$

の形で与えられる場合に順応するために，書き換えるならば，

$z_0=a,\quad w_0=0,\quad \varphi(a)\ne 0$

として（もちろん $\varphi(z)$ は $z=a$ の近傍で正則とする）

(14)

$\left.\begin{align} &z=a+b_1w+b_2w^2+\cdots\\ &b_n=\frac{1}{n!}\frac{d^{n-1}}{da^{n-1}}\varphi(a)^n. \end{align}\quad \right\}$

［附記］ 

展開 (9) の収束半径の一つの限界が，次のようにして得られる．今 $z$ 平面において，原点を中心として原点以外 $f(z)$ の零点を含まない円 $C$ の周上で $|f(z)|$ の最小値を $m>0$ とすれば，$|w|<m$ なるとき，$w=f(z)$ は $C$ 内にただ一つの根を有する．すなわち $w$ 平面の円 $\mathit\Gamma(|w|<m)$ の内では，逆函数 $z=g(w)$ が確定だから，(9) の収束変形は少くとも $m$ である． 一例として天文学で出てくる Kepler の方程式

$z=a+w\sin z$

を取る．$a\ne n\pi$ ならば (14) によって

(15)

$z=a+w\sin a+\frac{w^2}{2!}\frac{d\sin a}{da}+\cdots +\frac{w^n}{n!}\frac{d^{n-1}(\sin a)^n}{da^{n-1}}+\cdots.$

今 $a$ は実数，$0<a<\pi$ とすれば，

$w=\frac{z-a}{\sin z}$

は $z=a$ を中心として半径 $r$ は $a$ および $\pi-a$ を超えない円 $C$ において正則であるが，その円周上で

$|w|=\left|\frac{z-a}{\sin z}\right|\geqq \frac{2r}{e^r+e^{-r}}.$

さて $\tfrac{2r}{e^r+e^{-r}}$ の最大値を求めるならば，それは

(16)

$r>0,\quad e^{2r}=\frac{r+1}{r-1}$　なるときの　$\sqrt{r^2-1}$

である．Stirltjes の計算によれば，その値は

$r_0=1{.}1996\ldots,\quad \sqrt{r^2-1}=0{.}66274\ldots.$

これから (15) の収束半径の限界が得られる．

(3º)

なお一般に $z=0$ において $f'(z)=0$ なるとき

$w=f(z)=az^k(1+a_1z+\cdots).$

$k>1,\quad a\ne 0$

とする．然らば

$W^k=\frac{w}{a}$

と置けば

$W=z(1+a_1z+\cdots)^{\frac{1}{k}}$

から，二項定理によって $z=0$ の近傍で

$W=z(1+c_1z+\cdots).$

従って (1º) によって $W=0$ の近傍で

$z=W+b_1W^2+\cdots.$

故に，この場合には逆函数 $z$ は $w^{\frac{1}{k}}$ の巾級数として表わされる．すなわち $z$ は $w$ の函数として $w=0$ の近傍で多意（$k$ 意）である．

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