解析概論/第7章/練習問題(7)

練習問題（7）

(1)

定理 72（296 頁）の場合において $\textstyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ を求めること．

［解］

$\begin{align} &\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} =-\frac{F_{xx}}{F_z}+\frac{2F_xF_{xz}}{F_z^2}-\frac{F_x^2F_{zz}}{F_z^3},\\ &\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} =-\frac{F_{xy}}{F_z}+\frac{F_xF_{yz}+F_yF_{xz}}{F_z^2}-\frac{F_xF_yF_{zz}}{F_z^3},\\ &\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =-\frac{F_{yy}}{F_z}+\frac{2F_yF_{yz}}{F_z^2}-\frac{F_y^2F_{zz}}{F_z^3}. \end{align}$

(2)

$x,y;u,v$ の間に二つの関係式が与えられて，$x,y$ が $u,v$ の函数として，また $u,v$ が $x,y$ の函数として定められるときは

$\begin{align} &\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}=1,& &\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial v}=0,\\ &\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial x}{\partial v}=0,& &\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}=1. \end{align}$

［解］

$\textstyle du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy, dv=\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy$ を $dx,dy$ に関して解けば

$dx=\frac{\partial x}{\partial u}du+\frac{\partial x}{\partial v}dv,\quad dy=\frac{\partial y}{\partial u}du+\frac{\partial y}{\partial v}dv$

が得られるはずだから．

(3)

$\varphi(x_1,x_2,\ldots,x_n;\;u_1,u_2,\ldots,u_m)$ が $x_1,x_2,\ldots,x_n$ に関しては同次二次式なるとき

$\frac{\partial\varphi}{\partial x_i}=p_i,\quad(i=1,2,\ldots,n)$

として，$x_1,x_2,\ldots,x_n$ の代りに $p_1,p_2,\ldots,p_n$ を独立変数として

$\varphi(x,u)=\psi(p,u)$

とすれば

$\frac{\partial\psi}{\partial p_i}=x_i,\quad \frac{\partial\psi}{\partial u_i}=-\frac{\partial\varphi}{\partial u_i}.$

(4)

$z$ が $x,y$ の函数なるとき

$\frac{\partial z}{\partial x}=p,\ \frac{\partial z}{\partial y}=q;\; \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=r,\ \frac{\partial^2 z}{\partial x\,\partial y}=s,\ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=t$

と書く．今独立変数として $p,q$ を取り

$Z=px+qy-z$

を $p,q$ の函数とみて $\textstyle \frac{\partial^2 Z}{\partial p^2}=R, \frac{\partial^2 Z}{\partial p\partial q}=S, \frac{\partial^2 Z}{\partial q^2}=T$ と書くならば

$dZ=x\,dp+y\,dq,$

（すなわち $\textstyle \frac{\partial Z}{\partial p}=x,\frac{\partial Z}{\partial q}=y$）．また

（Legendre の変換）

$\frac{R}t=\frac{S}{-s}=\frac{T}r=\frac{1}h,\quad(h=rt-s^2).$

(5)

$V$ を $x,y,z$ の函数として

$\Delta_1 =\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^2 +\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^2 +\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^2,\quad \Delta_2 =\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}$

と置く．今直角座標を $(x,y,z)$ から $(X,Y,Z)$ に変換すれば

$\Delta_1 =\left(\frac{\partial V}{\partial X}\right)^2 +\left(\frac{\partial V}{\partial Y}\right)^2 +\left(\frac{\partial V}{\partial Z}\right)^2,\quad \Delta_2 =\frac{\partial^2 V}{\partial X^2} +\frac{\partial^2 V}{\partial Y^2} +\frac{\partial^2 V}{\partial Z^2}.$

(6)

領域 $K$ において連続的微分可能なる函数 $f(x,y)$ が，$x+ay$ のみの函数なるために必要かつ十分なる条件は $f_y=af_x$ である（$a$ は定数）．

［解］

$u=f(x,y),v=x+ay$ と置けば，条件は $\tfrac{D(u,v)}{D(x,y)}=0$ である．この場合定理 75 の $r=1$．

(7)

楕円体の中心の通る截面の主軸を極値として求めること．

［解］

楕円体と截面とを（直交座標）

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$

$lx+my+nz=0,\quad(l^2+m^2+n^2=1)$

として，$r^2=x^2+y^2+z^2$ の極値を求めるのである． 極値は

$\frac{a^2l^2}{r^2-a^2}+\frac{b^2m^2}{r^2-b^2}+\frac{c^2n^2}{r^2-c^2}=0$

の根である．