解析概論/第7章/曲面の方程式

87．曲面の方程式

$x,y,z$ を三次元空間における直角座標とすれば，方程式

(1)

$F(x,y,z)=0$

は一般に一つの曲面を表わす．曲面上の点 $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ において $F_z\ne 0$ ならば，$P_0$ の近傍において (1) が

$z=f(x,y)$

なる形に表わされる（定理 72）． この部分において，曲面上の点 $(x,y,z)$ における接平面の方程式は

$Z-z=(X-z)\frac{\partial f}{\partial x}+(Y-y)\frac{\partial f}{\partial y}$

で，$\tfrac{\partial f}{\partial x}=-\tfrac{F_x}{F_z}, \tfrac{\partial f}{\partial y}=-\tfrac{F_y}{F_z}$ だから，この方程式が

(2)

$(X-x)F_x+(Y-y)F_y+(Z-z)F_z=0$

になって，それは $x,y,z$ に関して対称なる形である．曲面上の点 $(x,y,z)$ において $F_x,F_y,F_z$ の中の一つが $0$ にならないならば，それに対応して $x,y,z$ の中の一つが他の二つの函数として表わされるから，接平面の方程式 (2) は $F_x^2+F_y^2+F_z^2\ne 0$ なるとき常に有効である．その条件の下において，法線の方向余弦は

(3)

$\cos\alpha=\frac{F_x}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}},\quad \cos\beta=\frac{F_y}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}},\quad \cos\gamma=\frac{F_z}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}}$

である．ただし，この方向は $F>0$ なる向きを示すのである．すなわち

$\begin{align} &F(x+\rho\cos\alpha,y+\rho\cos\beta,z+\rho\cos\gamma)\\ &\qquad =F(x,y,z)+\rho(F_x\cos\alpha+F_y\cos\beta+F_z\cos\gamma)+o(\rho)\\ &\qquad =\rho\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}+o(\rho) \end{align}$

だから，$\rho\gtrless 0$ に従って左辺が $\gtrless 0$．

曲面 $F=0$ の上の一点で $F_x,F_y,F_z$ が同時に $0$ になるならば，その点は曲面の特異点で，そこでは一般に確定の接平面が存在しない．

数量の場と等位面

函数 $u=F(P)$ が与えられたとき，空間の各点 $P=(x,y,z)$ に数値 $u$ が配置されているとみて，その空間の一区域をスカラー場（scalar field）または数量の場という．もしもその区域において $F_x^2+F_y^2+F_z^2\ne 0$ ならば，$F(P_0)=c_0$ とするとき $P_0$ を通る一つの面 $F(x,y,z)=c_0$ がある．それをその数量の場における等位面（niveau surface）という．上記仮定によって $c_0$ は $F(P)$ の極大または極小値でない（§26）から，$c_0$ に近い或る範囲内の $c$ の値に対応する等位面 $F(P)=c$ の一つの系列が生じて，それらが空間の一区域を満たすであろう．曲面 $F=0$ は $c=0$ に対応する等位面にほかならない． さてこの区域内の各点 $P$ を起点として

$F_x(P),\quad F_y(P),\quad F_z(P)$

を成分とするベクトルをその点における数量の場の勾配（gradient）といい，それを

$\text{grad}\,F$

で表わす．

このように，空間の各点 $P$ に或るベクトルが配置されているとき，それをベクトルの場（vector field）という．

上記のベクトル $\text{grad}\,F$ は，(3) からみえるように，$P$ において等位面に垂直で，その大きさは

$|\text{grad}\,F|=\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}$

である．今点 $P$ において方向余弦が $\cos\lambda,\cos\mu,\cos\nu$ なる向きに $F$ を微分すれば，その微分商は（§22）

$\lim_{PP'\to 0}\frac{F(P')-F(P)}{PP'}=F_x\cos\lambda+F_y\cos\mu+F_z\cos\nu$

である． またはベクトル $PP'$ の成分を $dx,dy,dz$ とし，その長さを $ds$ とすれば，$\cos\lambda=\tfrac{dx}{ds},\cos\mu=\tfrac{dy}{ds},\cos\nu=\tfrac{dz}{ds}$ だから，上記 $PP'$ の向きへの微分商は

$\frac{dF}{ds} = \frac{\partial F}{\partial x}\frac{dx}{ds} +\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{ds} +\frac{\partial F}{\partial z}\frac{dz}{ds}$

である．すなわち

$\frac{dF}{ds}=\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}\,( \cos\alpha\cos\lambda+\cos\beta\cos\mu+\cos\gamma\cos\nu ) = |\text{grad}\,F|\cos\theta,$

ただし，$\theta$ は $\text{grad}\,F$ と $\overline{PP}'$ との間の角である．故に，$P$ におけるベクトル $\text{grad}\,F$ の方向は，$F(P)$ の増加率の最大なる向きで，$\text{grad}\,F$ の大きさは，その最大増加率に等しい． $\tfrac{dF}{ds}$ は $PP'$ の上への $\text{grad}\,F$ の正射影，すなわち $PP'$ に関するベクトル $\text{grad}\,F$ の成分である．

二つの曲線の交わり

点 $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ が二つの曲面

(4)

$F(x,y,z)=0,\quad G(x,y,z)=0$

に共通で，その点において行列式

(5)

$\frac{D(F,G)}{D(y,z)},\quad\frac{D(F,G)}{D(z,x)},\quad\frac{D(F,G)}{F(x,y)}$

のうち少くとも一つが $0$ でないとする．例えば $P_0$ において，

$\left[\frac{D(F,G)}{D(y,z)}\right]_0\ne 0$

とする．然らば $P_0$ の近傍で，(4) から

(6)

$y=\varphi(x),\quad z=\psi(x)$

を得る（定理 73）．$\varphi,\psi$ は微分可能で，$x=x_0$ のとき $y_0,z_0$ になる．すなわち $P_0$ の近傍では，(4) の二つの曲面の交わりは曲線 (6) である，換言すれば，$P0$ の近傍で，曲線 (6) が二つの方程式 (4) で表わされる． $P_0$ における曲線 (6) の接線の方程式は

$\frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y_0}{\varphi'(x_0)}=\frac{z-z_0}{\psi'(x_0)}$

であるが，$\varphi'(x_0),\psi'(x_0)$ は

$\left.\begin{align} F_x+F_y\varphi'(x)+F_z\psi'(x)=0,\\ G_x+G_y\varphi'(x)+G_z\psi'(x)=0 \end{align}\right\}$

から求められるから，接線の方程式は次のように書かれる．

$\dfrac{x-x_0}{\left[\dfrac{D(F,G)}{D(y,z)}\right]_0} =\dfrac{y-y_0}{\left[\dfrac{D(F,G)}{D(z,x)}\right]_0} =\dfrac{z-z_0}{\left[\dfrac{D(F,G)}{D(x,y)}\right]_0}.$

これは $P_0$ における二つの曲面 (4) の接平面

$\begin{align} &(F_x)_0(x-x_0)+(F_y)_0(y-y_0)+(F_z)_0(z-z_0)=0.\\ &(G_x)_0(x-x_0)+(G_y)_0(y-y_0)+(G_z)_0(z-z_0)=0 \end{align}$

の交わりである．

もしも $P_0$ において (5) の三つの行列式が同時に $0$ になるならば，$P_0$ において二つの直線は互に接して，$P_0$ は一般に曲線上の特異点である．

媒介変数によって曲面を表わすこと

一つの媒介変数によって曲線を定義する（§12）のと同様に，二つの媒介変数によって曲面を表わすことが，本来は合理的である．すなわち媒介変数 $u,v$ の函数

(7)

$x=f(u,v),\quad y=g(u,v),\quad z=h(u,v)$

を点の直角座標とすれば，$u,v$ が $uv$ 平面上の或る区域内において変動するとき，点 $(x,y,z)$ が一つの曲面を画くとするのである．$z=f(x,y)$ は $x=u,y=v$ なる特別の場合にほかならない．実際 (7) の三つの方程式のうちの二つによって $u,v$ が $x,y,z$ の陰伏函数として与えられるから，それを他の一つの方程式に持ち込めば $x,y,z$ のうちの一つが他の二つの函数として表わされるであろう．詳しくいえば行列式

(8)

$\frac{D(f,g)}{D(u,v)},\quad\frac{D(f,h)}{D(u,v)},\quad\frac{D(g,h)}{D(u,v)}$

のうちの一つ，例えば $\tfrac{D(f,g)}{D(u,v)}$ が $(u_0,v_0)$ において $0$ に等しくないとすれば，$(u_0,v_0)$ に $(x_0,y_0,z_0)$ が対応するとするとき，(7) の初めの二つの方程式から，$(x_0,y_0)$ の近傍において

$u=\varphi(x,y),\quad v\psi(x,y)$

を得る．従って (7) の最後の方程式から

(9)

$z=h(\varphi,\psi)=F(x,y)$

を得る．(7) から得られる $(x,y,z)$ は，$(x_0,y_0,z_0)$ の近傍では，(9) によって与えられるものと全体において同一である．

［注意］ 

$uv$ 平面上の或る閉域において $(u,v)$ と (7) の $(x,y,z)$ との間の対応が一対一であるとき，曲面 (7) を Jordan 曲面という．上記のように，(8) の行列式の中一つが $(u_0,v_0)$ で $0$ にならないならば，$(u_0,v_0)$ の近傍では $(u,v)$ と $(x,y,z)$ との間に一対一の対応が成り立つのである．