解析概論/第7章/写像

84．写像

前節 (1) のように $x$ 系 $n$ 次元空間の或る領域 $K$ において連続的微分可能なる $n$ 個の函数

(1)

$u_i=f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n),\quad(i=1,2,\ldots,n)$

が与えられているとすれば，$K$ の点 $P=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ に $u$ 系空間の点 $Q=(u_1,u_2,\ldots,u_n)$ が対応する．約言すれば，点 $Q$ が点 $P$ の‘函数’である．よって (1) を

(2)

$Q=f(P)$

と略記すればわかりよいであろう．このような対応関係を写像といい，$Q$ を $P$ の像，逆に $P$ を $Q$ の原像という．上記のように函数 $f_i$ が連続ならば，$P$ が連続的に変動するとき，点 $P$ の像なる点 $Q$ も連続的に変動するから，写像 (2) を連続的の写像という． 写像 (2) において，各点 $P$ の像 $Q$ は確定であるが，逆に一点 $Q$ が相異なる点 $P$ に対応することが可能である．すなわち $Q$ の原像は必らずしも一意でない．もしも $Q$ の原像 $P$ が一意に確定するならば，すなわち $P$ と $Q$ とが一対一に対応する（1-1 対応をする）ならば，(2) の逆写像

(3)

$P=\varphi(Q)$

が可能である．さて函数行列式 $J(P)=\tfrac{D(u_1,u_2,\ldots,u_n)}{D(x_1,x_2,\ldots,x_n)}$ が $P_0$ において $0$ でない（$J(P_0)\ne 0$）ならば，$P_0$ の近傍で (2) が一対一の写像である．それを見るために，簡単のため $n=2$ として，写像

(4)

$u=f(x,y),\quad v=g(x,y)$

を考察する．上記のように，一般的に $P=(x,y),Q=(u,v)$ と書いて，$xy$ 平面から $uv$ 平面への写像 (4) を

(5)

$Q=F(P)$

と略記する．さて $P_0=(x_0,y_0)$ に $Q_0=(u_0,v_0)$ が対応して，かつ $J(P_0)\ne 0$ とする．そのとき $xy$ 平面で $P_0$ を含む十分小さい領域 $K_0$ と，$uv$ 平面で $Q_0$ を含む領域 $K_0'$ とを取って，$K_0'$ の任意の点の原像は $K_0$ 内では一つより多くはないようにする．それは可能である． 実際，さもなければ，$uv$ 平面において，$Q_0$ に収束する点列 $\{Q_i\}$ を適当に取れば，$Q_i$ の相異なる原像 $P_i(x_i,y_i),P_i'=(x_i',y_i'),(P_i\ne P_i')$ があって，$P_i\to P_0,P_i'\to P_0$ となる．然らば平均値の定理によって，線分 $P_iP_i'$ 上の点 $R_i,S_i$ を適当に取れば，

$\begin{alignat}{3} 0&=f(P_i)-f(P_i')&&=(x_i-x_i')f_x(R_i)&&+(y_i-y_i')f_y(R_i),\\ 0&=g(P_i)-g(P_i')&&=(x_i-x_i')g_x(S_i)&&+(y_i-y_i')g_y(S_i). \end{alignat}$

然るに $P_i\ne P_i'$ であるから，$x_i-x_i',y_i-y_i'$ が共に $0$ であることはない．故に

$\begin{vmatrix}f_x(R_i)&f_y(R_i)\\g_x(S_i)&g_y(S_i)\end{vmatrix}=0 \quad(i=1,2,\ldots).$

ここで，極限 $i\to\infty$ へ行けば，$R_i\to P_0,S_i\to P_0$ だから $J(P_0)=0$．これは仮定に反する．

さて定理 74 によれば，$K_0'$ 内で $Q_0$ を含む十分小なる領域 $G'$ を取れば，$G'$ の点 $Q$ の原像は $K_0$ 内では一意に確定するから，(5) の逆写像 $P=\varphi(Q)$ が $G'$ において確定する．今 $uv$ 平面の領域 $G'$ の点 $Q$ の $K_0$ 内にある現像 $P$ の集合を $G$ とすれば，$G$ は $xy$ 平面において $P_0$ を含む領域である．――実際，$G$ の任意の点 $P_1$ が $Q_1$ に対応するならば，$K_0$ において $P_1$ に十分近く任意の点 $P$ を取れば，写像 $F(P)$ の連続性によって $P$ の像 $Q$ は $G'$ に属するから，$P$ は集合 $G$ に属する．これは $G$ の各点 $P_1$ が内点であることを意味するから，$G$ は開集合である．$G$ が連結されていることは，$G$ の任意の二点 $P_1,P_2$ に対応する $Q_1,Q_2$ を領域 $G'$ で連結する曲線（Jordan 曲線，例えば折線）に，$G$ において $P_1,P_2$ を結ぶ曲線が対応することからわかる．故に $G$ は連結された開集合すなわち領域である．

さて $G'$ 内に $Q_0$ を含みその閉包が $G'$ に含まれる領域を任意に取って，それを $G'$ に代用すれば，上記と同様に，その $G'$ に対応する領域 $G$ の点と領域 $G'$ の点とが一対一連続に対応するが，今度は $G,G'$ の閉包は，いずれも一対一連続に写像される領域内にある．このとき，$G$ の境界点には $G'$ の境界点が一対一連続に対応することは写像 $F,\varphi$ の連続性からの簡単なる帰結である．故に境界をも入れていえば $K_0$ 内の閉域 $[G]$ と $K_0'$ 内の閉域 $[G']$ との間に一対一の連続的写像ができて，内点には内点が，境界点には境界点が対応する．特に $[G]$ の境界が Jordan 閉曲線ならば，$[G']$ の境界も同様である．

上記考察は局所的であるから，$K$ において常に $J(P)\ne 0$ であっても，$K$ の全局において写像が一対一であることは保証されない．例えば

$u=x^2-y^2,\quad v=2xy$

とする（その出所は $u+iv=(x+iy)^2$ である），然らば

$J=\frac{D(u,v)}{D(x,y)}=\begin{vmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{vmatrix}=4(x^2+y^2)$

で，$(x,y)\ne(0,9)$ ならば $J\ne 0$ であるが，$(x,y)$ と $(-x,-y)$ とには同じ $(u,v)$ が対応するから，$K$ が $(x,y)$ と同時に $(-x,-y)$ を含むときには一対一対応はない．一般に $K$ において正則な解析函数 $f(z)=f(x+yi)=u+iv$ の実部と虚部とを $u(x,y),v(x,y)$ とすれば，Cauchy-Riemann の微分方程式（203 頁）によって

$\frac{D(u,v)}{D(x,y)}=\begin{vmatrix}u_x&u_y\\v_x&x_y\end{vmatrix}=u_x^2+u_y^2=|f'(z)|^2$

で $f'(z)\ne 0$ なるところでは，これは $0$ でないけれども，$f(z)$ の逆函数は必らずしも一意でない．

上記考察は局所的（local，im Kleine）であったけれども，それを応用して若干大局的（grobal，Grossen）の結論を導くことができる．

(1º)

まず写像 $Q=f(P)$ によって $xy$ 平面の領域 $K$ と $uv$ 平面の領域 $K'$ との間に一対一対応が成り立つと仮定する．然らば逆写像 $P=\varphi(Q)$ が確定するが，$f$ が連続ならば $\varphi$ も連続である（下記［注意］および295 頁参照）．この場合にも，$K$ 内の閉域と $K'$ 内の閉域とは対応して，内点は内点に，境界点は境界点に対応することが，上記と同様にして証明される．

［注意］ 

一対一の連続的な写像では，$n$ 次元の領域が $n$ 次元の領域に対応する（Brouwer）．それは明白のようでも，証明は意外にむずかしい．今 (1º) ではそれを仮定した．特に，$K$ が領域ならば，$K'$ が領域であることの証明を省略したのである．

ファイル:図

(2º)

写像 (2) に関して函数行列式 $J$ が $0$ にならないとする．然らば有界なる閉域 $K$ を有限個の小閉域に分割して，各小区域において一対一対応を成立せしめることができる．――実際 $K$ 内の任意の点 $P$ において $J(P)\ne 0$ だから，$P$ の近傍で局所的には一対一対応が成り立つ。今 $P$ を中心とする半径 $\rho$ の円内では一対一対応が成り立つとして，その半径の最大値を $\rho(P)$ とすれば，$\rho(P)$ は $P$ に関して連続であることは定理 14 のようにして証明される： すなわち $|\rho(P)-\rho(P')|\leqq PP'$．よって閉区域 $K$ における $\rho(P)$ の最小値を $\rho_0$ とすれば $\rho_0>0$．然らば $K$ を辺長が $\sqrt{2}\rho_0$ より小なる方眼に分割するとき，各方眼において一対一対応が成り立つであろう．

(3º)

写像 (2) によって $K$ において一対一対応が成り立つときには（上記［注意］参照）．$K$ 内のいかなる小領域においても常に $J(P)=0$ なることはありえない（定理 75）．しかし，例えば $K$ 内の孤立する点またはある線上において $J=0$ なることは可能である．

［例 1］

$u=x,v=y^3$ とすれば，全平面において一対一対応が成り立つが，

$J=\begin{vmatrix}1&0\\0&3y^2\end{vmatrix}=3y^2$

で，$x$ 軸上では $J=0$．

［例 2］

原点からの半直線上に $P=(x,y),Q=(u,v)$ を取って $OQ=OP^2$ とすれば，全平面で一対一対応が成り立つが，

$u=\sqrt{x^2+y^2},\quad v=y\sqrt{x^2+y^2}\qquad J=2(x^2+y^2)$

で，$(x,y)=(0,0)$ において $J=0$．

(4º)

$K$ と $K'$ との間の全局的一対一対応の場合，$K$ において $J$ は $0$ になりえても，$K$ が連結されている限り，$J$ が $K$ 内で反対の符号を取ることはできない（上記の例参照）．それをみるために，函数行列式 $J$ の符号の幾何学的の意味を考察する．$K$ 内の一点 $P$ から出る曲線 $l$ と，それに対応して $K'$ の点 $Q$ から出る曲線 $\lambda$ との接線上において

$\left.\begin{align} du&=\varphi_x\,dx+\varphi_y\,dy\\ dv&=\psi_x\,dx+\psi_y\,dy \end{align}\right\}$　従って　$\frac{dv}{du} =\frac{\psi_x+\psi_y\dfrac{dy}{dx}}{\varphi_x+\varphi_y\dfrac{dy}{dx}}.$

$\tfrac{dy}{dx},\tfrac{dv}{du}$ は $P$ および $Q$ における $l,\lambda$ の勾配である．$l$ が変動して $\tfrac{dy}{dx}$ が増大するとき，$J(P)=\varphi_x\psi_y-\varphi_y\psi_x\gtrless 0$ に従って $\tfrac{dv}{du}$ は増大または減少する．

これは一次変換の性質である．すなわち $\eta=\tfrac{r+s\xi}{p+q\xi}$ から $\tfrac{d\eta}{d\xi}=\tfrac{ps-qr}{(p+q\xi)^2}$，従って $\tfrac{d\eta}{d\xi}$ の符号は行列式 $ps-qr$ の符号と同じである．ここで $\xi,\eta$ にそれぞれ $\tfrac{dy}{dx},\tfrac{dv}{du}$ を当てはめるのである．

ファイル:図

故に $P$ および $Q$ において互いに対応する回転の向きは $J(P)\gtrless 0$ に従って，同意または反対である．

さてかりに $K$ において $J$ が反対の符号の値を取るとするならば，中間値の定理によって $J$ は $K$ において $0$ にもなるが，$J(P)=0$ なる点は $K$ において，いかなる小領域をも満たし得ないのだから，任意の $\varepsilon$ に関して $P_1P_2<\varepsilon,J(P_1)>0,J(P_2)<0$ なる点 $P_1,P_2$ が存在する．今 $P_1P_2$ 上の点 $M$ において $P_1P_2$ に垂直に $MN$ を引いて，$K'$ において，それらに対応する点 $Q_1,Q_2$ および曲線 $M'N'$ が，次の図のように配置されるとする．ファイル:図然らば $P$ が $MN$ の上を動くとき，仮定 $J(P_1)>0$ によれば，$P$ に対応する $Q$ は $M'N'$ の上を $M'$ から $N'$ への向きに動かねばならないが，一方 $J(P_2)<0$ によれば $Q$ は反対に $N'$ から $M'$ への向きに動かねばならない．そこに矛盾があって $J(P_1)>0,J(P_2)<0$ は不合理である．要約すれば一対一対応の場合 $K,K'$ において互いに対応する回転の向きは，各所同意または各所反対で，従って常に $J(P)\geqq 0$ または常に $J(P)\leqq 0$．

上記の説明は直観的（粗雑）であるが，問題の要点は明瞭であろう．また適当なる補足によって三次元以上にも拡張されるであろう．