解析概論/第6章/Weierstrassの定理

78. Weierstrass の定理

連続函数に関する次の定理は重要である．

定理 67．

閉区間 $[a,b]$ において $f(x)$ は連続とする．然らば任意に $\varepsilon > 0$ を取るとき，$[a,b]$ において常に

$|f(x) - P(x)| < \varepsilon$

なる多項式 $P(x)$ が存在する．［Weierstrass］

約言すれば，閉区間において，連続なる函数に一様に近似する多項式が存在するのである．

この意味では，上記定理は任意次元に関して成り立つ．むずかしかったこの定理の証明は，一次元に関しては，§74 の Fejér の定理から，簡単に導かれる．

［証］

変数 $x$ に一次変換を行えば， $[a,b]$ は全く $[-\pi,\pi]$ の内部にあるとみてよい．そうして $[a,b]$ 以外では与えられた $f(x)$ を $[-\pi,\pi]$ に連続的に延長して $f(-\pi) = f(\pi)$ とすることができる．然らば Fejér の定理によって $[a,b]$ において

$n > n_0$　なるとき　$|f(x)- S_n(x)| < \frac{\varepsilon}{2}.$

$S_n(x)$ は整函数であるから，それの Taylor 展開の第 $m$ 項までの部分和を $P_{m,n}(x)$ とすれば，巾級数の一様収束性を用いて

$m > m_0$　なるとき　$|S_n(x) - P_{m,n}(x)| < \frac{\varepsilon}{2}.$

故に十分大なる $n$ に関して，$m$ を十分大きく取れば，多項式 $P_{m,n}(x) = P(x)$に関し，

$|f(x) - P(x)| < \varepsilon.$

（証終）

Fejér の定理から出発すれば，Weierstrass の定理の証明は上記の通り簡単であるが，次に掲げる直接の証明法［Serge Bernstein］は初等的である．

二項定理

$(x+y)^n = \sum_{\nu = 0}^n \binom{n}{\nu} x^\nu y^{n-\nu}$

から， $x$ に関して一回，二回微分して，$x, x^2$ を掛ければ

$nx(x+y)^{n-1} = \sum_{\nu=0}^n \nu \binom{n}{\nu} x^\nu y^{n-\nu},$

$n(n-1)x^2(x+y)^{n-2} = \sum_{\nu=0}^n \nu(\nu-1) \binom{n}{\nu} x^\nu y^{n-\nu}.$

ここで $y=1-x$ として

(1)

$\varphi_\nu(x) = \binom{n}{\nu} x^\nu (1-x)^{n-\nu} \qquad (\nu = 0, 1, \cdots, n)$

と置けば

(2)

$\sum_{\nu=0}^n \varphi_\nu(x) = 1,$

(3)

$\sum_{\nu=0}^n \nu\varphi_\nu(x) = nx,$

(4)

$\sum_{\nu=0}^n \nu(\nu-1)\varphi_\nu(x) = n(n-1)x^2.$

これらから

(5)

$\begin{align} \sum_{\nu=0}^n (\nu - nx)^2 \varphi_\nu(x) &= n^2x^2 \sum\varphi_\nu(x)-2nx\sum\nu\varphi_\nu(x)+\sum\nu^2\varphi_\nu(x) \\ &= n^2x^2 \cdot 1 - 2nx \cdot nx + (nx + n(n-1)x^2) \\ &= nx(1-x). \end{align}$

次の証明で，これを使うのである．

さて変数の一次変換によって区域を $[0,1]$ にする．また与えられた連続函数に或る定数を掛けて

(6)

$[0,1]$　において　$|f(x)| < 1$

としてよい．

連続の一様性によって，$\varepsilon > 0$ に対応して $\delta$ を定めて， $[0,1]$ において

(7)

$|x-x'|<\delta$　なるとき　$|f(x)-f(x')|<\varepsilon$

とする．然らば $n$ を十分大きく取れば

(8)

$\left| f(x) - \sum_{\nu=0}^n f\left( \frac{\nu}{n} \right) \varphi_\nu(x) \right| < 2\varepsilon$

になって，定理が証明されるのである．──まず (2) によって

(8) の左辺 $= \left| \sum_{\nu=0}^n \left( f(x) - f\left( \frac{\nu}{n} \right) \right) \varphi_\nu(x) \right|.$

この和を $|\tfrac{\nu'}{n}-x| < \delta$ および $|\tfrac{\nu''}{n}-x | \geqq \delta$ なる $\nu', \nu''$ に関する二つに分ける．

$\nu'$ に関しては，(1) によって $[0,1]$ において $\varphi_\nu(x) \geqq 0$ であることを用いて，(7) から， $n$ に無関係に，

$\left| \sum_{\nu'} \right| < \varepsilon \sum_{\nu'} \varphi_\nu(x) \leqq \varepsilon \sum_{\nu=0}^n \varphi_\nu(x) = \varepsilon.$

また $\nu''$ に関しては，まず (6) から

$\left| \sum_{\nu''} \right| < 2\sum_{\nu''} \varphi_\nu(x).$

$\tfrac{(\nu''-nx)^2}{\delta^2 n^2} \geqq 1$ だから

$\left| \sum_{\nu''} \right| < 2\sum_{\nu''} \frac{(\nu - nx)^2}{\delta^2 n^2} \varphi_\nu(x) \leqq \frac{2}{\delta^2 n^2} \sum_{\nu=0}^n (\nu - nx)^2 \varphi_\nu(x).$

そこで (5) を用いて

$\left| \sum_{\nu''} \right| < \frac{2x(1-x)}{\delta^2 n} \leqq \frac{1}{2\delta^2 n},$

それを $<\varepsilon$ にするには $n > 1/2\delta^2\varepsilon$ とすればよい．すなわち (8) が成り立つ．

［附記］ 

上記 Weierstrass の定理によれば，区間 $[-1,1]$ において，Legendre の球函数 $P_n(x)$ が，連続函数に関して §73 の完備条件を満すことが分る．――任意の多項式は $\textstyle\sum \gamma_i P_i(x)$ の形に表わされるから，§73，(1º)によって，それは明白であろう（§74 の終りを参照）．

直交函数系 $P_n(x)$ によって，任意の函数 $f(x)$ を区間 $[-1,+1]$ でFourier式に展開することは，古典数学で応用上重要であった．

$f(x)$ から生ずるFourier式級数 $\textstyle\sum c_n P_n(x)$ における係数は

$c_n = \frac{2n+1}{2} \int_{-1}^{+1} f(x)P_n(x) dx,$

そうして

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_nP_n(x)$

は右辺の級数が $[-1,+1]$ において一様に収束する場合には確かに成り立つ（§73）．

すなわち $P_n(x)$ に関して §73 (I) の問題は解けたが，(II) の問題は $f(x)$ を滑らかとしても，三角函数の場合（§75）のように，簡単には解けない．事実は，$f(x)$ が三角級数に展開されるのと同様の条件の下で，$P_n(x)$ の級数に展開されるけれども，不幸にしてその証明が手軽にできないのである．