解析概論/第6章/Fourier級数の例

[編集] 77. Fourier 級数の例

Fourier 級数の例二，三を次に掲げるが，その前に，まず一つの注意を述べておく．

$f(x)$ が偶函数，すなわち $f(-x)=f(x)$ ならば， $[-\pi,\pi]$ において $f(x)$ は $\cos$ のみの級数に展開される．この場合

$a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos nx\,dx, \qquad (b_n=0).$

$f(x)$ が奇函数，すなわち $f(-x)=-f(x)$ ならば， $[-\pi,\pi]$ において $f(x)$ は $\sin$ のみの級数に展開される．この場合

$b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin nx\,dx, \qquad (a_n=0).$

これは明白である．さて $f(x)$ が区間 $[0,\pi]$ においてのみ与えられたとき，それを $f(-x)=f(x)$ または $f(-x)=-f(x)$ によって区間 $[-\pi,0]$ に延長するならば， $[-\pi,\pi]$ における延長された $f(x)$ の展開から，区間 $[0,\pi]$ において $f(x)$ の $\cos$ のみまたは $\sin$ のみの級数が得られるであろう．もちろんここでは定理 66 の仮定の下においていう．

［例 1］

$f(x)=x$ ．これは奇函数だから

$b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\sin nx\,dx = (-1)^{n-1}\frac{2}{n}$

から，次の展開を得る：

$\frac{x}{2} = \sin x - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \cdots, \qquad (-\pi < x < \pi).$

ただし，この展開は前節で用いたものである．

特に， $x=\tfrac{\pi}{2}$ において $f(x)$ は連続だから，

$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots,$ 　［Leibniz の級数］．

これは既出である（186頁）．

ファイル:図

［注意］

$f(x) = |x|$ ．（偶函数）

$a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi x dx = \pi.$

$a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi x \cos nx\,dx = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x\cos nx}{n} + \frac{\cos nx}{n^2} \right]_0^\pi$

$=\begin{cases} 0,\\[5pt] \dfrac{-4}{n^2\pi},\end{cases}$		$n$ は偶数，
		$n$ は奇数．

故に $(-\pi \leqq x \leqq \pi)$

$|x| = \frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\left(\cos x+\frac{\cos 3x}{3^2}+\frac{\cos 5x}{5^2}+\cdots\right).$

$x=0$ において $|x|$ は連続だから，

$\frac{\pi^2}{8} = 1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \cdots,$ 　（§64 参照）．

ファイル:図

［注意］

区間を $[0,\pi)$ に限れば［例 1］，［例 2］から

$\begin{align} x &= 2\left(\sin x-\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}-\cdots\right) \\ &= \frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\left(\cos x+\frac{\cos 3x}{3^2}+\frac{\cos 5x}{5^2}+\cdots\right). \end{align}$

ただし， $x=\pi$ のとき $\sin$ の級数は $0$ になるが， $\cos$ の級数は，なお $\pi$ に等しい．実際 $x=\pi$ とすれば，上記 $\pi^2/8$ の級数を得る．

［例 3］

$f(x)=\cos\mu x$ （ $\mu$ は整数でない実数）．

$\int_0^\pi\cos\mu x\cos nx\,dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin(\mu-n)x}{\mu-n} +\frac{\sin(\mu+n)x}{\mu+n}\right]_0^\pi = \frac{(-1)^n\mu\sin\mu x}{\mu^2-n^2},$

故に

(1)

$\cos\mu x =\frac{2\mu\sin\mu x}{\pi}\left(\frac{1}{2\mu^2} -\frac{\cos x}{\mu^2-1}+\frac{\cos 2x}{\mu^2-2^2} -\cdots\right).$

特に $x=\pi$ として，また $\mu$ を $z$ と書けば

$\pi \cot \pi z = \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2z}{z^2 - n^2}.$ 　（236 頁参照）

また $x=0$ として， $\mu$ の代りに $z$ と書けば

$\frac{\pi z}{\sin \pi z} = 1 + 2z^2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{z^2 - n^2}.$ 　（236頁，(21) 参照）

［例 4］

$f(x) = \sin \mu x.$ （ $\mu$ 同上）

$\int_0^\pi \sin\mu x\sin nx\,dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin(\mu-n)x}{\mu-n}-\frac{\sin(\mu+n)x}{\mu+n}\right]_0^\pi = \frac{(-1)^n n\sin\mu x}{\mu^2-n^2},$

(2)

$\sin \mu x = -\frac{2\sin\mu x}{\pi}\left(\frac{\sin x}{\mu^2-1} -\frac{2\sin 2x}{\mu^2-2^2}+\frac{3\sin 3x}{\mu^2-3^2}-\cdots\right), \qquad (-\pi < x < \pi).$

$x=\tfrac{\pi}{2}$ として（ $\mu = 2z$ と書けば）

$\pi\sec\pi z=4\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n(2n-1)}{4z^2-(2n-1)^2}.$ 　（236 頁参照）

［注意］

項別微分をすれば (2) は (1) から出る（定理 57）．

［例 5］

$f(x) = \frac{1}{1-2a\cos x + a^2} \qquad (|a| < 1)$

は $[-\pi,\pi]$ において正則なる解析函数．従って滑らかで，かつまた周期的だから，Fourier 級数に展開される．しかしその展開は直接に求められる．すなわち

$\begin{align} \frac{1-a^2}{1-2a\cos x+a^2} &= \frac{1}{1-a^{ix}}+\frac{ae^{-ix}}{1-ae^{-ix}} \\ &= 1+\sum_{n=1}^\infty a^n e^{inx}+\sum_{n=1}^\infty a^n e^{-inx} \\ &= 1+2\sum_{n=1}^\infty a^n\cos nx. \end{align}$