解析概論/第6章/Fourierの積分公式

81. Fourier の積分公式

前節で証明したことは，つまり区間 $[-\pi,\pi]$ において有界変動の函数 $f(x)$ に関して

$\frac{\pi}{2}(f(x+0)+f(x-0))=\lim_{u\to\infty}\int_{-\pi}^\pi f(x+t)\,\frac{\sin ut}{t}\,dt$

が成り立つことである．証明の根拠は Dirichlet の積分（289 頁，(1)）であったから，今もし $f(x)$ を $(-\infty,\infty)$ において（すなわち任意の閉区間において）有界変動とするならば，右辺の積分区間は $a< 0< b$ なる任意の $[a,b]$ でよい．そのとき $\lim$ は $a,b$ に無関係だから，もしも積分が可能ならば，区間を $(-\infty,\infty)$ としてもよい．そのためには

(1)

$\int_{-\infty}^\infty |f(x)|dx = k$

が存在すれば十分である．すなわち，この条件の下において，

(2)

$\frac{\pi}{2} (f(x+0) + f(x-0)) =\lim_{u\to\infty} \int_{-\infty}^\infty f(x+t)\,\frac{\sin ut}{t}\,dt.$

さて

$\frac{\sin ut}{t} = \int_0^u \cos ut\,du$

だから，上記 $\lim$ の下は

(3)

$\int_{-\infty}^\infty dt \int_0^u f(x+t)\cos ut\,du$

になる．もしも，ここで積分の順序を換えてよいならば，(2) の右辺は

$\int_0^\infty du \int_{-\infty}^\infty f(x+t)\cos ut\,dt$

になる．あるいは積分変数 $t$ を $t-x$ にかえて，次の公式が得られる．

定理 70．

$f(x)$ は $(-\infty,\infty)$ において有界変動で，かつ (1) が成り立つとすれば，

(4)

$\frac{f(x+0) + f(x-0)}{2} =\frac{1}{\pi} \int_0^\infty du \int_{-\infty}^\infty f(t)\cos u(t-x)\,dt.$

これを Fourier の積分公式という．

［証］

まず $f(x)$ は任意の閉区間で滑らか，または区分的に滑らかであるとする．然らば（定理 41）

(5)

$\int_a^b dt\int_0^u f(x+t)\cos ut\,du =\int_0^u du\int_a^b f(x+t)\cos ut\,dt.$

$a \to -\infty, b \to \infty$ のとき左辺は積分 (3) に収束するから，

(6)

$(3)=\lim_{a\to-\infty \atop b\to\infty}\int_0^u du\int_a^b f(x+t)\cos ut\,dt.$

さて，条件 (1) によって $\textstyle\int_{-\infty}^\infty f(x+t)\cos ut\,dt$ は収束するから，

$\int_a^b f(x+t) \cos ut\,dt = \int_{-\infty}^\infty f(x+t)\cos ut\,dt -\int_{-\infty}^a - \int_b^\infty .$

これを (6) へ持ち込めば，

$\begin{align}(3) = &\int_0^u du \int_{-\infty}^\infty f(x+t) \cos ut\,dt \\ &-\lim_{a\to-\infty}\int_0^u du\int_{-\infty}^a f(x+t)\cos ut\,dt -\lim_{b\to \infty}\int_0^u du\int_b^\infty f(x+t)\cos ut\,dt. \end{align}$

この最後の二つの $\lim$ は $0$ に等しい．実際，条件 (1) によって任意の $\varepsilon > 0$ に対して $|a|, b$ が十分大きいとき

$\left|\int_{-\infty}^a f(x+t)\cos ut\,dt\right| < \varepsilon, \quad \left|\int_b^\infty\right| < \varepsilon.$

従って，$\lim$ の下はどちらも絶対値において $\varepsilon u$ よりも小さい．$\varepsilon$ は任意であったから，$\lim$ は $0$ である．すなわち

$(3) = \int_0^u du\int_{-\infty}^\infty f(x+t)\cos ut\,dt.$

これを (2) の右辺の $\lim$ の下へ入れれば，よかったのである．

［注意］ 

上記証明では，既知の定理 41 から (5) を得るために，特に $f(x)$ を滑らかと仮定したのであるが，実際は一般に $f(x)$ が有界変動なるとき，(5) における積分順序の変更は許されて（§93 参照），(4) は成り立つ．それを見越して， を上記のように述べたのである．

積分公式 (4) の右辺は

$\frac{1}{\pi}\int_0^\infty du\int_{-\infty}^\infty f(t)\cos ut\cos ux\,dt +\frac{1}{\pi}\int_0^\infty du\int_{-\infty}^\infty f(t)\sin ut\sin ux\,dt$

であるから，$f(x)$ が偶函数または奇函数ならば，どちらか一項が $0$ になって，公式 (4) の右辺が次のようになる．

偶函数：

$\frac{2}{\pi}\int_0^\infty\cos ux\,du\int_0^\infty f(t)\cos ut\,dt.$

奇函数：

$\frac{2}{\pi}\int_0^\infty\sin ux\,dx\int_0^\infty f(t)\sin ut\,dt.$

［例］

$f(x) = \begin{cases} 1, & |x| < 1, \\ 1/2, & |x| = 1, \\ 0, & |x| > 1 \end{cases}$

とすれば，$f(x)$ は偶函数だから

$f(x) = \frac{2}{\pi}\int_0^\infty \cos ux\,du \int_0^1 \cos ut\,dt = \frac{2}{\pi}\int_0^\infty \frac{\sin u \cos ux}{u}\,du,$

すなわち

$\int_0^\infty \frac{\sin u \cos ux}{u} du = \begin{cases} \pi/2, & |x| < 1, \\ \pi/4, & |x| = 1, \\ 0, & |x| > 1. \end{cases}$

これを Dirichlet の不連続因子（Diskontinuitätsfaktor）という．

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