解析概論/第6章/練習問題(6)

練習問題（6）

(1)

区間 $[0,1]$ において Bernoulli の多項式を Fourier 級数に展開すれば

$\begin{align} &B_{2n}(x)=(-1)^{n+1}2(2n)!\sum_{\nu=1}^\infty\frac{\cos2\pi\nu x}{(2\pi\nu)^{2n}},\\ &B_{2n+1}(x)=(-1)^{n+1}2(2n+1)!\sum_{\nu=1}^\infty\frac{\sin2\pi\nu x}{(2\pi\nu)^{2n+1}}. \end{align}$

［解］

これは既出である（263 頁，［注意］）が，直接に計算するならば

$\frac{tx^{xt}}{e^t-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n(x)}{n!}\,t^n$　（§64，(12) 参照．）

の左辺を $\textstyle\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{2n\pi xi}$ の形に展開してから，$t^n$ の係数を比較するがよい．

(2)

$f(x)$ は連続で，$\textstyle\int_a^b x^n f(x)\,dx=0\ (n=0,1,2,\ldots)$ ならば，$[a,b]$ において $f(x)=0$．

(3)

$f(x)=e^{-|x|}$ に Fourier 積分公式を適用すれば

$\int_0^\infty\frac{\cos\alpha x}{1+x^2}\,dx=\frac\pi2 e^{-|\alpha|}$

を得る（264 頁，問題 (9) 参照）．