解析概論/第6章/積分法の第二平均値定理

79. 積分法の第二平均値定理

積分法の第二平均値定理は，本書ではこれまで応用の機会に出会わなかったから，それを述べなかったが，定理は重要だから，ここに附記する．

すでに §45 に述べた Abel の級数変形法で用いた初等的の不等式が，ここでも証明の根拠になる．すなわち

$\varepsilon_0 \geqq \varepsilon_1 \geqq \cdots \geqq \varepsilon_{n-1} \geqq 0,$

$a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$

から，和

$\begin{align} s_\nu &= a_0 + a_1 + \cdots + a_\nu, \qquad (\nu = 0, 1, \cdots, n-1) \\ S &= \varepsilon_0 a_0 + \varepsilon_1 a_1 + \cdots + \varepsilon_{n-1}a_{n-1} \end{align}$

を作るとき，もしも

$A \leqq s_\nu \leqq B \qquad (\nu = 0, 1, \ldots, n-1)$

ならば

(1)

$A \varepsilon_0 \leqq S \leqq B \varepsilon_0.$

次の証明でこれを用いる．

定理 68． ［積分法の第二平均値定理］

区間 $[a,b]$ において $f(x)$ は積分可能，また $\varphi(x)$ は有限で単調とする．然らば

$\int_a^b f(x) \varphi(x) dx = \varphi(a) \int_a^\xi f(x) dx + \varphi(b) \int_\xi^b f(x) dx, \quad a \leqq \xi \leqq b,$

なる $\xi$ が存在する．

［証］

仮定によって，$[a,b]$ において $f(x)$ も $\varphi(x)$ も積分可能だから，従って $f(x)\varphi(x)$ も積分可能である（§31，(6º)）．

$f(x)$ が積分可能だから，§30 の記号によれば，区間 $[a,b]$ の分割 $\Delta$ において，細区間 $\delta_i$ の最大幅を $\delta$ とすれば

$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\delta\to 0}\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)\,\delta_i,$

そうして $\textstyle\int_a^b$ と $\textstyle\sum$ との間の誤差は，絶対値において，$\textstyle\sum_{i=0}^{n-1} v_i \delta_i$ 以内に止まる．積分可能は，すなわち $\delta \to 0$ のとき $\textstyle\sum v_i \delta_i \to 0$ を意味する．

今任意に $\varepsilon > 0$ を取る．その $\varepsilon$ に対応して $\delta$ を十分小さく取って，分割 $\Delta$ に関して $\textstyle\sum v_i \delta_i < \varepsilon$ とする．

この誤差の限界は $[a,b]$ に含まれる部分区間 $[a,x_\nu]$ に関して通用する．すなわち $v_i \geqq 0$ に注意すれば

(2)

$\left| \int_a^{x_\nu} f(x) dx - \sum_{i=0}^{\nu-1} f(x_i) \delta_i \right| \leqq \sum_{i=0}^{\nu-1} v_i \delta_i \leqq \sum_{i=0}^{n-1} v_i \delta_i < \varepsilon.$

さて $[a,b]$ において $\textstyle\int_a^x f(x) dx$ は $x$ に関して連続である（定理 34）．それの最小値，最大値をそれぞれ $A, B$ とする．

然らば (2) から

(3)

$A-\varepsilon \leqq \sum_{i=0}^{\nu-1} f(x_i) \delta_i \leqq B+\varepsilon.$

さてまず $\varphi(x)$ を単調減少（不増大），かつ $\varphi(x) \geqq 0$ と仮定して，上記不等式 (1) の $\varepsilon_i$ と $a_i$ とに $\varphi(x_i)$と $f(x_i) \delta_i$ とをあてる．然らば (3) から

$(A-\varepsilon)\varphi(a) \leqq \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \varphi(x_i) \delta_i \leqq (B+\varepsilon)\varphi(a).$

故に $\varepsilon$ をきめておいて，$\delta \to 0$ とすれば

$(A-\varepsilon)\varphi(a) \leqq \int_a^b f(x) \varphi(x) dx \leqq (B+\varepsilon)\varphi(a),$

$\varepsilon$ は任意であったから，

$A\varphi(a) \leqq \int_a^b f(x) \varphi(x) dx \leqq B\varphi(a),$

すなわち

$\int_a^b f(x) \varphi(x) dx = C\varphi(a), \qquad A \leqq C \leqq B.$

$C$ は $A, B$ の中間値である．$A, B$ は $[a,b]$ において連続なる函数 $\textstyle\int_a^x f(x) dx$ の最小，最大の値であったから， $a \leqq \xi \leqq b$ なる或る値 $\xi$ に関して（中間値の定理）

$\int_a^\xi f(x) dx = C.$

従って

(4)

$\int_a^b f(x) \varphi(x) dx = \varphi(a) \int_a^\xi f(x) dx$．

上記，$\varphi(x)$ は単調減少で $\varphi(x) \geqq 0$ としたが，後の条件 $\varphi(x) \geqq 0$ を撤回して $\varphi(x)$ を単に単調減少とすれば， $\varphi(x) - \varphi(b) \geqq 0$ だから， $\varphi(x)$ に $\varphi(x) - \varphi(b)$ を代用して (4) から

$\int_a^b f(x) (\varphi(x) - \varphi(b)) dx = (\varphi(a) - \varphi(b)) \int_a^\xi f(x) dx.$

すなわち

$\int_a^b f(x) \varphi(x) = \varphi(b) \int_a^b f(x) dx + (\varphi(a) - \varphi(b)) \int_a^\xi f(x) dx.$

右辺の第一項で $\textstyle\int_a^b = \int_a^\xi + \int_\xi^b$ だから

$\int_a^b f(x) \varphi(x) dx = \varphi(a) \int_a^\xi f(x) dx + \varphi(b) \int_\xi^b f(x) dx, \qquad a \leqq \xi \leqq b.$

$\varphi(x)$ に $-\varphi(x)$ を代用すれば，この公式は $\varphi(x)$ が有界で単調増大なるときにも成り立つ．

$a$ または $b$ において $\varphi(x)$ が連続でないとき， $\varphi(a), \varphi(b)$ を $\varphi(a+0), \varphi(b-0)$ に換えても定理は成り立つ．すなわち

$\int_a^b f(x) \varphi(x) dx = \varphi(a+0) \int_a^\xi f(x) dx + \varphi(b-0) \int_\xi^b f(x) dx.$

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