解析概論/第6章/直交函数系

71. 直交函数系

区間 $[a,b]$において $f(x), g(x)$ が積分可能で，

$\int_a^b f(x)g(x)dx = 0$

なるとき，$f(x), g(x)$ を互に直交（orthogonal）という．

直交というのは幾何学との類似による．直角座標に関して，ベクトル $(a_1, a_2, a_3),(b_1, b_2, b_3)$ は $a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0$ なるとき互に直交する．上記直交の定義はそれの拡張である．

区間が指定されているとき，上記のような積分を $(f,g)$ と略記する．すなわち

$(f,g) = \int_a^b f(x)g(x)dx.$

特に

$(f,f) = \int_a^b f(x)^2 dx \geqq 0.$

さて$f(x)$を連続とすれば，$(f,f)=0$ は $f(x)=0$ なるときに限る．従って $f(x) \neq 0$ とすれば，$(f,f) > 0$．そのとき $f(x)$ を定数 $\sqrt{(f,f)}$ で割って

$f_0(x) = \frac{f(x)}{\sqrt{(f,f)}}$

と置けば

$(f_0,f_0) = \frac{1}{(f,f)}\int_a^b f(x)^2 dx = 1.$

このとき $f_0(x)$ は正規化（または標準化）されている（normalized）という． 区間 $[a,b]$ において与えられた函数

$\phi_1(x), \phi_2(x), \ldots, \phi_n(x), \ldots$

が二つずつ互に直交で，かつ各 $\phi_i(x)$ が正規化されているとき，その全体を正規直交函数系という．すなわち

$(\phi_i, \phi_i)=1,\qquad(\phi_i, \phi_j)=0.\qquad(i \neq j)$

例えば

$1,\ \cos x,\ \sin x,\ \ldots,\ \cos nx,\ \sin nx,\ \ldots$

は区間$[-\pi,\pi]$において直交系であるが，それは正規化されてはいない．正規系を得るためには

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \ldots, \frac{\cos nx}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sin nx}{\sqrt{\pi}}, \ldots$

を取ればよい． 直交函数系の他の一例は，区間 $[-1, +1]$ における Legendre の多項式

$P_0(x), P_1(x), \cdots, P_n(x), \cdots$

である．これも正規化されてはいない．正規系を得るためには $\textstyle\sqrt{\frac{2n+1}{2}}P_n(x)$ を取ればよい（§36, (3º) 参照）．

重要なのは直交性で，正規化は一般論において記述の簡約のためである．

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